Integración múltiple: integrales dobles

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1 Problemas propuestos con solución Integración múltiple: integrales dobles ISABEL MAEO epartamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna Índice. Integrales iteradas 2. Teorema de Fubini 2 3. Cambio de variables 3 4. Cambio de variables: coordenadas polares 4 5. Aplicaciones: cálculo de áreas 4 6. Aplicaciones: cálculo de volúmenes 5 CÁLCULO INTEGAL VECTOIAL OCW-ULL 2/2

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3 INTEGACIÓN MÚLTIPLE: INTEGALES OBLES /5. Integrales iteradas. Evaluar las siguientes integrales iteradas: 2 (x 4 y + y 2 ) dy dx; (b) ( xlny) dy dx; Solución: 3 ; (b) ; ; 4ln xye x+y dy dx; ln[(x + )(y + )] dx dy. 2. Evaluar las siguientes integrales iteradas y trazar las regiones determinadas por los límites: x 2 dy dx; (b) e x (x + y) dy dx; 2 y 2 3 (x 2 + y) dx dy; π/2 cosx ysenx dy dx; (e) x 2 x e x+y dy dx; (f) 2 x 2 x dy dx. Solución: 3 ; (b) e2 ; ; e2 ; (e) e + 3e ; (f) Cambiar el orden de integración en cada una de las integrales siguientes: x 2 Solución: x 4 f (x,y) dy dx; (b) 4 y 2 y y f (x,y) dx dy; (b) f (x,y) dx dy + y y 4 y 2 y/2 x f (x,y) dx dy; f (x,y) dy dx + f (x,y) dx dy y/2 x 4 2x x f (x,y) dy dx; f (x,y) dx dy. 4. Cambiar el orden de integración en las integrales del problema 2 y evaluarlas. Solución: (e) ( f ) 4 2 y dx dy = 3 ; x (x 2 + y) dy dx + arccosy y/2 2 = e2 (b) e lny 4 x 3 ysenx dx dy = 6 ; (x + y) dx dy = e 2 4 ; (x 2 + y) dy dx + e x+y dx dy + e x+y dx dy + 2 y/2 2 + e + 3e ; y 2 x dx dy = x 4 y 3 f (x,y) dy dx. (x 2 + y) dy dx = ; e x+y dx dy + y e x+y dx dy = CÁLCULO INTEGAL VECTOIAL OCW-ULL 2/2

4 2/5 I. MAEO 5. Cambiar el orden de integración, esbozar las regiones correspondientes y evaluar las integrales de las dos maneras: x xy dy dx; (b) π/2 cosθ cosθ dr dθ; 4 2 y/2 e x2 dx dy; 9 y y 2 x2 dx dy. Solución: 8 ; (b) π 4 ; e4 ; arcsen 3 + 8π Teorema de Fubini 6. Evaluar las siguientes integrales en los recintos que se indican: (x 2 + y 2 ) dx dy, = [,] [,]; (b) sen(x + y) dx dy, = [,] [,]; ( xe x sen πy ) dx dy, = [,2] [,]; 2 Solución: 2 3 ; (b) 2sen sen2; 2 ( + e 2 ) ; π 2 π. 7. Sea I = [,2] [,3]. Calcular (x 2 + 4y) dx dy. I Solución: 44. y cos πx 4 dx dy, = [,2] [,]. 8. Sea el recinto plano limitado por las rectas y =, y =, x =, x = y. Hallar (xy y 3 ) dx dy. Solución: Hallar xy dx dy, siendo la región del primer cuadrante encerrada por las parábolas y 2 = x, y = x 2. Solución: 2.. Sea la región acotada por las partes positivas de los ejes OX, OY y la recta 3x + 4y =. Calcular (x 2 + y 2 ) dx dy. Solución: Sea la región dada como el conjunto de los puntos (x,y) del plano donde x 2 + y 2 2 e y. Evaluar ( + xy) dx dy. Solución: π 2. OCW-ULL 2/2 CÁLCULO INTEGAL VECTOIAL

5 INTEGACIÓN MÚLTIPLE: INTEGALES OBLES 3/5 2. Calcular (x 2 y) dx dy, siendo la región comprendida entre las gráficas de las parábolas y = x 2, y = x 2, y las rectas x =, x =. 3. Hallar Solución: y xy dx dy, siendo el conjunto de los puntos (x,y) 2 que satisfacen y x + 2, 4x 2 + Solución: Cambio de variables 4. Sea el paralelogramo limitado por y = x, y = x+, y = 2x, y = 2x 3. Calcular (x+y) 2 dx dy. Solución: Sea la región del primer cuadrante delimitada por las curvas x 2 + y 2 = 4, x 2 + y 2 = 9, x 2 y 2 = 4, x 2 y 2 =. Hallar xy dx dy. Solución: Sea la región y x, x. Evaluar (x+y) dx dy haciendo el cambio x = u+v, y = u v. Verificar la respuesta calculando directamente la integral doble mediante integrales iteradas. Solución: Sea T (u,v) = (x(u,v),y(u,v)) = (4u,2u + 3v). Sea = [,] [,2]. Hallar = T ( ) y calcular: xy dx dy, (b) (x y) dx dy, haciendo un cambio para evaluarlas como integrales sobre. Solución: = {(x,y) 2 : x 4, x y x } ; 4; (b) Efectuando un cambio de variables apropiado, calcular x 2 y 2 dx dy, siendo la porción del primer cuadrante acotada por las hipérbolas xy =, xy = 2 y las rectas y = x, y = 4x. Solución: 7 3 ln2. CÁLCULO INTEGAL VECTOIAL OCW-ULL 2/2

6 4/5 I. MAEO 4. Cambio de variables: coordenadas polares 9. Sea el círculo unidad. Evaluar polares. e x2 +y 2 dx dy haciendo un cambio de variables a coordenadas Solución: π(e ). 2. Mediante un cambio de variable a coordenadas polares, calcúlense las siguientes integrales: (b) ( + x 2 + y 2 ) 3/2 dx dy, donde es el triángulo de vértices (,), (,), (,); (x 3 + y 3 ) dx dy, siendo = { (x,y) 2 : x, y, x 2 + y 2, x 2 + y 2 2x }. Solución: π 2 ; (b) π Calcular (x 2 + y 2 ) 3/2 dx dy, siendo el disco x 2 + y 2 4. Solución: 64π 5. ) 22. Hallar ( x2 a 2 y2 b 2 dx dy, donde es el recinto acotado por la elipse x2 a 2 + y2 = (a,b > ). b2 Solución: πab Calcular (x 2 + y 2 ) dx dy, donde está determinado por las condiciones: x 2 + y 2 x <, x 2 + y 2 y >, y >. Solución: Siendo el semicírculo limitado por el eje OX y la semicircunferencia x 2 +y 2 2x =, y >, calcular la integral doble, extendida a, de la función f (x,y) = x 2 y 2. Solución: π Calcular arcsen(x 2 + y 2 ) dx dy, donde el recinto de integración es el dominio plano limitado por la curva de ecuación polar ρ = senθ ( θ π/2) y la perpendicular al eje polar trazada por el polo. Solución: π Aplicaciones: cálculo de áreas 26. Usar integrales dobles para calcular el área de un círculo de radio r. Solución: πr 2. OCW-ULL 2/2 CÁLCULO INTEGAL VECTOIAL

7 INTEGACIÓN MÚLTIPLE: INTEGALES OBLES 5/5 27. Hallar el área del recinto encerrado por una elipse de semiejes a y b. Solución: πab. 28. Hallar el área comprendida entre las circunferencias x 2 + y 2 = 2x, x 2 + y 2 = 4x y las rectas y = x, y =. Solución: 3 ( π ) Se considera la lemniscata de ecuación ρ 2 = 2a 2 cos2θ (a > ), y el círculo de centro el origen y radio a. Calcular mediante una integral doble el área de la porción de plano limitada por un bucle de la lemniscata que es exterior a dicho círculo. Solución: a2 ( π ) Aplicaciones: cálculo de volúmenes 3. Una pirámide está limitada por los tres planos coordenados y el plano x + 2y + 3z = 6. epresentar el sólido y calcular su volumen por integración doble. Solución: Usar integrales dobles para calcular el volumen de una esfera de radio r. Solución: 4πr Calcular el volumen del sólido acotado por los planos OXY, OY Z, OXZ, x =, y = y la superficie z = x 2 + y 2. Solución: Calcular el volumen del sólido acotado por la superficie z = x 2 + y, el rectángulo = [,] [,2] y los lados verticales de. Solución: Calcular el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide hiperbólico z = xy, el cilindro y = 2x y los planos x + y = 4, y =, z =. Solución: 6. CÁLCULO INTEGAL VECTOIAL OCW-ULL 2/2