INTEGRACION EN VARIAS VARIABLES: Integrales dobles. 1. e x+y dy dx. 3. Evaluar las siguientes integrales en los recintos que se indican:

Transcripción

1 INTEGACION EN VAIAS VAIABLES: Integrales dobles.. Evaluar las siguientes integrales iteradas: (x y + y )dy dx xye x+y dy dx ( x ln y)dy dx ln [((x + )(y + )] dx dy. 3 ; ; ; ln. 5. Sea I = [, ] [, 3]. Calcular (x + y) dx dy.. 3. Evaluar las siguientes integrales en los recintos que se indican: (x + y ) da, = [, ] [, ]. sin(x + y) da, = [, ] [, ]. ( xe x sin πy ) da, = [, ] [, ]. y cos πx da, = [, ] [, ]. 3 ; sin sin ; π I ( + e ) ; π.. Evaluar las siguientes integrales iteradas y trazar las regiones determinadas por los límites: x dy dx e x (x + y)dy dx y 3 (x + y)dx dy π/ cos x y sin x dy dx (e) x x e x+y dy dx (f) ( x ) / x dy dx. 3 ; e ; ; e ; (e) 6 + e + 3e ; (f) 3.

2 INTEGACION EN VAIAS VAIABLES: Integrales dobles. 5. Sea el recinto plano limitado por las rectas y =, y =, x =, x = y. Hallar (xy y 3 ) dx dy Calcular (x y) dx dy, siendo la región comprendida entre las gráficas de las curvas y = x, y = x, y las rectas x =, x = Hallar xy dx dy, siendo la región del primer cuadrante encerrada por las parábolas y = x, y = x.. 8. Sea la región acotada por las partes positivas de los ejes OX, OY y la recta 3x + y =. Calcular (x + y ) da Sea la región dada como el conjunto de los puntos (x, y) del plano donde x + y e y. Evaluar ( + xy) da.. Hallar satisfacen π. xy dx dy, siendo el conjunto de los puntos (x, y) del plano que 3 6. y x +, x + 9y 36.. Cambiar el orden de integración, esbozar las regiones correspondientes y evaluar las integrales de las dos maneras: x xy dy dx π/ cos θ cos θ dr dθ y/ e x dx dy 3 9 y x 9 y dx dy. 8 ; π ; e ; arcsin 3 + 8π 8.

3 INTEGACION EN VAIAS VAIABLES: Integrales dobles. 3. Cambiar el orden de integración en cada una de las integrales siguientes: x x f(x, y) dy dx y y f(x, y) dx dy x x f(x, y) dy dx. y y y f(x, y) dx dy + f(x, y) dx dy; y y x f(x, y) dx dy + f(x, y) dy dx+ 8 y x f(x, y) dx dy. 3. Cambiar el orden de integración en las integrales del problema y evaluarlas. (e) e ln y arccos y e y dxdy = 3 ; (x + y)dxdy = e ; x (x + y)dydx + y x 3 y sin xdxdy = 6 ; e x+y dxdy + y + e + 3e ; (f) xdxdy = y 3. (x + y)dydx + e x+y dxdy + y 9 x 3 e x+y dxdy + f(x, y) dy dx; (x + y)dydx = ; y e x+y dxdy =. Sea elparalelogramo limitado por y = x, y = x +, y = x, y = x 3. Calcular (x + y) dx dy Sea la región del primer cuadrante delimitada por las curvas x +y =, x +y = 9, x y =, x y =. Hallar xy dx dy Sea la región y x, x. Evaluar (x + y) dxdy haciendo el cambio x = u + v, y = u v. Verificar la respuesta calculando directamente la integral mediante integrales iteradas..

4 INTEGACION EN VAIAS VAIABLES: Integrales dobles. 7. Sea T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)) = ( u, u + 3 v). Sea = [, ] [, ]. Hallar = T ( ) y calcular: xy dxdy, (x y) dxdy, haciendo un cambio para evaluarlas como integrales sobre. { x = (x, y) : x, + 3 y x } + 6 ; ;. 8. Mediante un cambio de variable a coordenadas polares, calcúlense las siguientes integrales: ( + x + y ) 3/ dx dy, donde es el triángulo de vértices (, ), (, ), (, ). (x 3 +y 3 ) dx dy, siendo = {(x, y) : x, y, x + y, x + y x }. π ; ( ) π Sea el círculo unidad. Evaluar e (x +y ) dxdy haciendo un cambio de variables a coordenadas polares. π(e ).. Probar que e x dx = π/, haciendo uso de integrales dobles. Sugerencia: Calcular e (x +y ) dxdy, cuando es el primer cuadrante.. Calcular (x + y ) 3/ dxdy, donde es el disco x + y. 6π 5.. Hallar ( x a y x ) dx dy, donde es el recinto acotado por la elipse b a + y b = (a, b > ). πab.

5 INTEGACION EN VAIAS VAIABLES: Aplicaciones de la integral doble.. Usar integrales dobles para calcular el área de un círculo de radio r. πr.. Hallar el área del recinto encerrado por una elipse de semiejes a y b. πab. 3. Hallar el área comprendida entre las circunferencias x + y = x, x + y = x y las rectas y = x, y =. ( ) 3 π +.. Una pirámide está limitada por los tres planos coordenados y el plano x+y+3z = 6. epresentar el sólido y calcular su volumen por integración doble Usar integrales dobles para calcular el volumen de una esfera de radio r. πr Calcular el volumen del sólido acotado por el plano OXY, el plano OY Z, el plano OXZ, los planos x =, y = y la superficie z = x + y Calcular el volumen del sólido acotado por la superficie z = x + y, el rectángulo = [, ] [, ] y los lados verticales de La temperatura de una placa es proporcional a su distancia al origen. icha placa se halla situada en la región = {(x, y) : x + y 5}. Sabiendo que en el punto (, ) su temperatura es de C, hallar la temperatura media de la placa. C eterminar el centroide de la región plana limitada por un arco de sinusoide. ( π C, π ). 8

6 INTEGACION EN VAIAS VAIABLES: Integrales dobles. 6. Una lámina delgada de densidad constante c está limitada por dos circunferencias concéntricas de radios a, b y centro el origen, con < b < a. Calcular el momento polar de inercia. π c ( a b ).