COORDENADAS POLARES O CILÍNDRICAS

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Emilio Vera Aguirre
hace 7 años
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1 COORDENADAS POLARES O CILÍNDRICAS Para definir la posición de un punto en un plano (o en el espacio) podemos utilizar distintos tipos de coordenadas, siendo las más normales las coordenadas rectangulares o cartesianas típicas. Pero veamos ahora que también para definir la posición del punto P del plano (de coordenadas cartesianas (x, y)) también podemos dar para definir su posición el valor del ángulo θ (argumento) y la longitud ρ (módulo) llamadas ambas coordenadas polares (como estamos en el plano, para definir un punto nos hacen falta dos números, dos parámetros, dos coordenadas): Y y P(x, y) x X Rectangulares Y P(ρ, θ) ρ θ X Polares Dados el ángulo θ argumento (en azul) y la longitud módulo (en rojo) ρ, la posición del punto que antes quedaba definida por las coordenadas rectangulares P(x, y) ahora queda definida por las coordenadas P(ρ, θ) siendo la relación entre ambas, aplicando trigonometría: Página 1 de 1

2 x = ρcosθ y = ρsenθ Utilizar unas u otras coordenadas depende de la figura que tengamos. Como regla general, las rectas y figuras poligonales quedarán normalmente más sencillas en rectangulares o cartesianas: En cartesianas, la recta Quedaría en polares: Despejando ρ: y = x + 1 x = ρcosθ ρsenθ = ρcosθ + 1 y = ρsenθ ρ(senθ cosθ) = 1 ρ = 1 senθ cosθ ρ θ Recta y = x + 1 Para cada valor del ángulo θ obtenemos un valor de ρ para cada punto de la recta. La expresión polar de la recta es más complicada, aunque también sirve para definirla. Fijarse que si el ángulo θ = 45 el denominador de la expresión polar se anula puesto que para ese ángulo la longitud módulo ρ se hace infinita al estar inclinada la recta también 45 grados respecto el eje OX. Sin embargo, las circunferencias y los círculos o partes de ellos quedan muy cómodamente representadas en polares: Página 2 de 1

3 La circunferencia de radio dos y centro el origen: x 2 + y 2 = 4 Elegimos siempre ρ positivo (ρcosθ) 2 + (ρsenθ) 2 = 4 ρ = 2 ρ y θ Como vemos, la ecuación de esa circunferencia en las variables ρ = 2 Queda muy simple, dado que para cualquier valor del ángulo el valor del módulo es dos y no depende de él (como en cartesianas la recta de ecuación y = 4 no depende de la variable x) Si quisiéramos definir el primer cuadrante del círculo anterior en cartesianas sería x 2 y + 4 x 2 Y en polares: θ π 2 ρ 2 Siendo la forma más sencilla en el segundo caso. Página 3 de 1

4 En tres dimensiones, las coordenadas x e y cambian a ρ y θ pero la coordenada z no varía y en tres dimensiones las coordenadas (θ, ρ, z) que definen a sus puntos se denominan cilíndricas. Así como cuando en una integral simple efectuamos un cambio de variable x = u(t) f(x)dx = dx = u (t)dt = f(u(t)) u (t)dt Aparece un término adicional u (t) también en una integral doble al cambiar las dos variables x e y aparece un término adicional que se llama Jacobiano y que hay que añadir a ésta. Si hacemos el cambio de variable: x = g(u, v) y = h(u, v) El Jacobiano de las variables x, y respecto de las variables u, v se denota por el símbolo Y viene dado por δ(x, y) δ(u, v) δx δ(x, y) δ(u, v) = J = δu δu δx δv δv El valor de este determinante se elige en valor absoluto En nuestro caso del cambio a polares: Página 4 de 1

5 δx δθ = ρ( senθ) x = ρcosθ δx δρ = cosθ δθ = ρcosθ y = ρsenθ δρ = senθ Por lo que δx δθ J = δθ δx δρ ρsenθ cosθ = ρcosθ senθ = ρ δρ sale ρ) Eligiendo, como se ha dicho, su valor absoluto (el determinante Un ejemplo de esto sería: Si elegimos el dominio del cuarto de círculo situado en el primer cuadrante de la circunferencia anterior x 2 + y 2 = 4 x 2 y + 4 x 2 Y en polares: Página 5 de 1 θ π 2 ρ 2

6 La integral doble de una función genérica z = z(x, y) en ese dominio quedaría en rectangulares Y en polares 2 4 x 2 z(x, y)dydx π 2 2 z(ρ, θ)pdpdθ Veamos un ejemplo práctico de aplicación: Calcular el volumen limitado por los cuerpos: z 2 = x 2 + y 2 z = x 2 + y 2 Lo primero que hacemos es dibujar un esbozo de los dos volúmenes: Por ser Empezamos con z = x 2 + y 2 x 2 + y 2 z Por lo que esta superficie está por encima del plano XY, siempre positiva. Si cortamos por planos z = k x 2 + y 2 = k Que son circunferencias de radio k y por lo tanto más grandes cuanto más grande es el valor de k (cuanto más grande es el valor de z) Página 6 de 1

7 Si cortamos por el plano x = para ver la figura que forma en el plano ZY frontal: Parábola típica. z = x 2 + y 2 x = z = y 2 Juntando toda la información (además de que este cuerpo es muy típico y lo podemos ya conocer) nos queda: Llamado paraboloide de revolución. Seguimos con la segunda superficie: Si despejamos z: z 2 = x 2 + y 2 z = ± x 2 + y 2 Lo que nos indica que esta superficie está formada por DOS PLACAS exactamente iguales, una hacia arriba y la otra hacia abajo. Si cortamos ahora por planos z = k como antes: z = k k 2 = x 2 + y 2 Circunferencias de radio k, o sea, más grandes a medida que vamos hacia arriba en la placa superior y más grandes a medida que vamos hacia abajo en la placa inferior. Página 7 de 1

8 Si, por último, cortamos por el plano x = para ver el corte que se produce en el plano frontal ZY: z 2 = x 2 + y 2 x = z 2 = y 2 z = ±y Que son las dos rectas bisectrices de los ejes ZY Poniendo toda esta información en el dibujo, tenemos Siendo un cono con sus dos placas Si ahora dibujamos los dos en el mismo sistema y sólo la parte de arriba del cono pues es la que va a formar un volumen con el paraboloide: Observamos el volumen delimitado por los dos cuerpos (dibujados en rojo y azul) y que hemos rayado con líneas verticales azules. Página 8 de 1

9 Para calcular el dominio de definición de dicho volumen, que es la sombra que produce sobre el plano XY, calculamos la línea intersección de ambas superficies que, como se ve en la figura, va a ser una circunferencia (marcada en verde). Para hallar la intersección de dos superficies resolvemos, como no, el sistema formado por ambas ecuaciones: z = x2 + y 2 z 2 = x 2 + y 2 Si combinando ambas llegamos a una ecuación más simple lo haremos siempre, y sustituiremos la ecuación más simple deducida por una de las dos: Si restamos la segunda menos la primera: z 2 z = z(z 1) = z = z = 1 Lo que nos indica que la intersección de ambas superficies está en el plano z = una (que como vemos en la figura la intersección sólo es un punto, el origen) y en el plano z = 1 la otra. Cogiendo esta última, el sistema nos queda: z = x2 + y 2 z = 1 x 2 + y 2 = 1 Lo que nos indica que la curva intersección es la circunferencia Situada en el plano x 2 + y 2 = 1 z = 1 Pero, para la definición del dominio, que esté en el plano z = 1 nos da igual, nosotros queremos sólo saber para qué puntos del plano XY existe el volumen cuyo valor queremos conocer y estos puntos son los interiores a dicha circunferencia, esté donde esté. Página 9 de 1

10 Por lo tanto definimos este recinto en polares (intentar, y sólo plantear, si se quiere hacerlo en cartesianas para ver la diferencia) El dominio, como ya hemos dicho, es el círculo marcado del cual la circunferencia x 2 + y 2 = 1 es frontera quedando: θ 2π ρ 1 La superficie de arriba, el cono, quedará en polares: z s = + x 2 + y 2 = + (ρcosθ) 2 + (ρsenθ) 2 = ρ La superficie de abajo, el paraboloide, quedará en polares z i = x 2 + y 2 = (ρcosθ) 2 + (ρsenθ) 2 = ρ 2 Quedando la integral planteada así 2π 1 V = [(ρ p 2 )ρdρ]dθ = [(ρ p 2 )ρdρ] 1 2π dθ = ρ 3 3 ρ4 4 ) 1 2π = 2π( ) V = π 6 u3 Donde la segunda integral en la variable ρ se ha sacado de la integral en la variable θ pues era una constante respecto de ella, pues no tenía la variable θ ni en el integrando ni en los límites de integración. Página 1 de 1

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