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Cristina Maidana Zúñiga
hace 6 años
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1 Universidad Diego Portales Facultad de Ingeniería. Instituto de Ciencias Básicas Asignatura: Cálculo II LABORATORIO Nº 0 Longitud de arco y Volumen de sólido de revolución Contenido: Longitud de arco en coordenadas rectangulares. Longitud de arco en coordenadas paramétricas y polares. Volumen de un sólido de revolución con eje de rotación uno de los ejes coordenados. Para desarrollar las actividades de este Laboratorio trabajaremos con la calculadora gráfica Class Pad 300 con una configuración del Formato Básico siguiente: ángulo Radián, visualización Fijo 4 (significa que nuestros cálculos serán expresados con 4 cifras decimales) y desactivando las 3 opciones en Avanzado, es decir, la calculadora quedará en formato real y presentación simbólica. Recordemos que si una curva C está definida por la función y = f(x), en donde a x b, la longitud de C se aproxima mediante:, n L Pi Pi i= donde P = {a = x 0 < x < < x n = b} es una partición de [a, b], P i (x i, f(x i )) son puntos de la curva C y P i - P i denota la distancia entre P i y P i. Sin embargo, es posible deducir una fórmula integral para calcular la longitud de la curva C para el caso en que f tenga derivada f continua en [a, b]; esta es, b L = + ( f '( x)) a dx Actividad : Considerar la curva dada por y xsen x x x = 5 ( /), con 0 4.

2 a) Graficar la curva en su dominio. b) Determinar una aproximación para L, la longitud de la curva, cuando se consideren n =, n = y n = 4 lados de la poligonal. c) Calcular la longitud de la curva mediante una integral. d) Comparar los resultados obtenidos en b) y c). Desarrollo de las actividades propuestas: a) En el menú de la calculadora, abrimos Gráficos y Tablas, definimos la función y xsen x x = 5 ( /), visualizando su gráfico para x entre - y 5 y para y entre - y 8. b) La partición P = {0,,, 3, 4} determina los puntos de la curva P 0 (0, 0), P (;.397), P (; 4.447), P 3 (3; 5.964) y P 4 (4;.859). Las ordenadas las obtuvimos evaluando la función en Principal como se indica: Para n =, se trata del segmento P 0 P 4 que lo graficamos tocando Análisis, Esbozo, Línea y tocando 0 para abrir una ventana y poder digitar las coordenadas restantes.

3 También calculamos la distancia entre los puntos tocando Análisis, Resolución G, distancia y entrando los valores de las coordenadas de los puntos (tocar el primer valor 0 y se abrirá la ventana). La distancia resulta ser D = (Fig. ) que es una (muy mala) aproximación de L. Para n =, obtenemos los segmentos P 0 P y P P 4 (Fig. ) y calculamos las distancias d(p 0, P ) = y d(p, P 4 ) = La aproximación de L, en este caso, es L = 7.84 Para n = 4, se trata de los segmentos P 0 P, P P, P P 3 y P 3 P 4 (Fig. 3) cuyas distancias son d(p 0, P ) =.78, d(p, P ) = 3.789, d(p, P 3 ) =.846 y d(p 3, P 4 ) = En este caso, la aproximación de L es (suma de las distancias anteriores) Fig Fig Fig 3 c) Usamos la calculadora así: d) El valor obtenido en b) cuando usamos una partición de [0, 4] en 4 subintervalos es cercano al valor real de la longitud de la curva en [0, 4] obtenido en c): L = La aproximación mejorará si n es mayor. 3

4 Actividad : Sea C la curva que se describe con las ecuaciones paramétricas x = 3t 3t 3, y = 3t. a) Grafique la curva para el intervalo paramétrico [-, ] y observe que C tiene un lazo. b) Determine los valores de t para los cuales la curva intersecta el eje Y. c) Calcule la longitud del lazo que tiene la curva C. Desarrollo de Actividades: a) Usamos la calculadora así: Ecuaciones paramétrica Intervalo paramétrico Lazo b) La curva intersecta el eje Y para los valores de t que hacen que x = 0; resolvemos 3t 3t 3 = 0 (t = 0 o t = o t = -) Efectivamente, para t = 0, t = y t = - obtenemos los puntos de la curva (0, 0), (0, 3) y (0, 3) respectivamente. dx dy c) Para calcular la longitud de la curva mediante L = ( dt ) + ( dt ) dt debemos determinar el intervalo paramétrico para el cual se recorre el lazo sólo una vez. La calculadora nos presta ayuda en esto: t t 4

5 con t =- t = 0 t = Como el intervalo es [-, ], calculamos la longitud L = (6 t) + (3 9 t ) dt Longitud del lazo : L = unid lineales Actividad 3: Demostrar que la longitud de arco de un pétalo de la rosa de ecuación polar r = senθ es igual a la longitud de arco total de la elipse x + 4y =. a) Estudiemos la rosa de 4 pétalos: Observe que r = 0 sin θ = 0 θ = k π, k Z Un pétalo de la rosa se obtiene con θ [ 0, π / ]. Verifique esto con su calculadora! 5

6 La longitud de arco del pétalo es: π 0 4sen θ + 6cos θ dθ = (*) La integral involucrada no es posible calcularla por los métodos algebraicos tradicionales; se procede a aproximarla por métodos numéricos (Simpson, Trapecio). b) La ecuación x + 4y = de la elipse corresponde a las ecuaciones paramétricas x = cos t, y = sen t. Y la recorremos sólo una vez cuando consideramos el parámetro t en [ 0, π ]. Calculamos la longitud de arco de la elipse mediante la integral π π dx dy ( ) + ( ) = + 4 cos 0 0 dt dt dt sen t t dt con la ayuda de la calculadora: De a) y b) concluimos que las longitudes son iguales (*) De la ecuación 4 x + y = es posible considerar y = x. Es posible determinar la longitud de arco de la elipse mediante el uso de la fórmula para curvas dadas en coordenadas rectangulares? 6

7 Actividad 4: Sea R la región acotada por las curvas f ( x) x, g( x) x = + =. Calcular el volumen del sólido que se obtiene al hacer girar la región R en torno al eje X. Recordemos que si S es el sólido que se obtiene al hacer girar, en torno al eje X, la región limitada por las curvas y = f(x), y = g(x), entre x = a y x = b, en donde f(x) g(x), entonces el volumen de S se obtiene mediante b [ ( ( )) ( ( )) ] V = π f x g x dx (Método de aros o arandelas) a Para realizar la actividad, grafiquemos las curvas, busquemos los puntos de intersección y grafiquemos la región acotada R. Región R Intersecciones: (-0.744, 0.549) (.07,.490) Para calcular el volumen pedido cualquiera de las dos maneras siguientes: ().07 4 [ ] V = π x+ x dx utilizamos la calculadora de Volumen:

8 () Considerar la función última opción: A( x) x x 4 = +, graficarla, escoger Resolución G y tocar la Con este método se puede divisar el sólido, aunque no quedan a la vista sus agujeros. Volumen:

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