APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Transcripción

1 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

2 Objetivo: El alumno analizará y comprenderá el uso y la aplicación de la integral definida en la resolución de problemas

3 REGIONES PLANAS LIMITADAS POR DOS CURVAS Sean f y g funciones continuas en el intervalo [a,b] tal que f(x) g(x) x [a,b]. Si se desea obtener el área comprendida entre las curvas f(x) y g(x) y las rectas x=a y x=b se procede de la siguiente manera A = f x g x dx b a

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5 LONGITUD DE ARCO Se tiene una curva rectificable cualquiera, determinada por una función f(x), y se quiere aproximar la longitud del arco de la curva s que va desde un punto a a uno b

6 Con el propósito de calcular la longitud de arco antes dicha es posible diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido

7 LONGITUD DE ARCO Se desea calcular la longitud desde el punto P 1 a P 2. Se efectúa una partición en el intervalo [a,b] y es a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n y la longitud de cada subintervalo está dada por x k = x k x k 1 la longitud de la cuerda es 1 s k = x k x k [f(x k ) f(x k 1 )] 2

8 De acuerdo al TVMCD se sabe que existe un elemento x k * abierto tal que f x k f(x k 1 ) x k x k 1 = f (x k ) 2 f x k f x k 1 = f x k x k x k 1 Sustituyendo 2 en 1 s k = x k x k [f (x k )(x k (x k 1 )] 2 s k = x k x k f x k 2 s k = Δx k 1 + f x k 2

9 La longitud de arco es n n k=1 sk k=1 Δx k 1 + f x k 2 lim n n k=1 sk n lim Δx k 1 + f x k 2 n k=1 b S = 1 + [f x ] a 2 dx

10 Para hacer a este método "más funcional" también se puede hacer que las bases de todos aquellos triángulos sean iguales a Δx, de manera que para cada uno existirá un cateto Δyasociado, siendo entonces cada hipotenusa, Δs = Δx 2 + Δy 2, al aplicarse el teorema de Pitágoras. Entonces, una aproximación de s estaría dada por la sumatoria de todas aquellas n hipotenusas desplegadas. Por eso se tiene que: s n i=1 Δx 2 + Δy 2

11 Ahora bien, mientras más pequeños sean estos n segmentos, mejor será la aproximación buscada; serán tan pequeños como se desee, de modo que Δx tienda a cero. Así, Δx se convierte en dx, y cada cociente incremental Δx/ Δy se transforma en un dx/dy general, que es por definición f (x). Dados estos cambios, la aproximación anterior se convierte en una sumatoria más fina y ahora exacta, una integración de infinitos segmentos infinitesimales;

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13 ÁREA Y LONGITUD DE ARCO EN COORDENADAS POLARES.

14 VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

15 Objetivo: El alumno aplicará métodos de integración y los utilizará en la resolución de problemas geométricos.

16 Aplicaciones de la Integral Definida: Sólidos de Revolución Cómo se genera un sólido de revolución? Se genera cuando se hace girar una región del plano alrededor de una línea. El sólido resultante se conoce como sólido de revolución y la línea se llama eje de revolución.

17 Aplicaciones de la Integral Definida: Sólidos de Revolución MÉTODO DE DISCOS Volumen para giro en el eje X. V = π f(x) 2 dx Volumen para giro en el eje Y. V = π a c b d f(y) 2 dy

18 Aplicaciones de la Integral Definida: Sólidos de Revolución MÉTODO DE LOS ANILLOS. Volumen para giro en el eje X. V = π a b f(x) 2 g(x) 2 dx Volumen para giro en el eje Y. V = π c d f(y) 2 g(y) 2 dy

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20 DEFINICIÓN: Sea R una región del plano delimitada por la curva continua r(θ) y las semirrectas θ = a y θ = b, donde 0 < θ < 2π, entonces el área de R está dada por: A = 1 2 α β f(θ) 2 dθ

21 Aplicaciones de la Integral Definida: Sólidos de Revolución ÁREA EN COORDENADAS POLARES. A = 1 2 LONGITUD DE ARCO. α β f(θ) 2 dθ S= f(θ) 2 + f (θ) 2 dθ β α