Resolución de ecuaciones no lineales y Método de Bisección

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1 Resolución de ecuaciones no lineales y Método de Bisección Recordemos algunas ecuaciones 1) Resolver [ ] [ ] Sol: 2) Resolver la siguiente ecuación literal para la variable ; Sol: 3) Resolver Solución: En este caso [ ] [ ] 4) Resolver No es posible despejar la variable por los métodos algebraicos conocidos, para obtener su solución recurriremos a métodos numéricos Un problema fundamental de las matemáticas aplicadas es determinar valores Estos valores se denominan raíces de la ecuación. tal que En general no es posible resolver una ecuación como esta y por lo tanto encontrar los valores exactos no es alcanzable en todos los casos, por esto se han desarrollados métodos que permiten determinar las aproximaciones numéricas suficientemente cercana a las raíces buscada. El siguiente ejemplo ilustra el tipo de problemas que queremos estudiar Problema: En los estudios sobre recolección de energía solar al enfocar un campo de espejos planos en un colector solar central, un investigador obtuvo la siguiente ecuación para el factor de concentración geométrica C. Donde A es el ángulo de anillo del campo, F es la cobertura fraccionaria del campo con los espejos, D es el diámetro del colector y h es la altura del mismo. Encuentre A, si h=300, C=1200, F=0,8 y D=14. Para resolver este tipo de problemas consideremos 3 métodos que ilustran el tipo de argumentos y herramientas usadas en el cálculo numérico. 1

2 Dada una función, resolver una ecuación de la forma es hallar todos los valores que anulan dicha función. A dichos valores se les denomina raíces o soluciones de la ecuación, también se les llama ceros de la función Previo: Supongamos que se tiene una ecuación, donde la función f es continua en intervalo Definición 1: Diremos que es una raíz de la ecuación si y solo si Definición 2: Diremos que es un cero de si y solo si es una raíz de Teorema 1 (Bolzano) Si una función continua asume valores de signo opuestos en los extremos de un intervalo, entonces el intervalo contendrá al menos una raíz de. es decir, El cálculo aproximado de las raíces reales de, se efectúa en dos etapas: Etapa 1: Establecer los intervalos más pequeños posibles que contengan una y solo una raíz de Etapa 2: Estimación de la raíz. Calcular la raíz usando algún algoritmo con cierto grado de precisión. 2

3 Etapa 1: Debemos estimar el valor de, tal que (Lo cual geométricamente significa el valor de la abscisa donde la gráfica de intersecta al eje X ) Un modo sería graficar la función, para graficar se puede apoyar en el trazado de curvas, aplicando derivadas. Por ejemplo: Estimar la solución de La gráfica de es la siguiente Se observa que hay una intersección con el eje encuentra en el intervalo, tenemos una raíz real para la ecuación y ésta se Si la gráfica se complica, es conveniente a veces sustituir la ecuación equivalente de la forma: por una ecuación Donde las funciones de son más sencillas de graficar que. Se grafican cada una de ellas en un mismo plano. Entonces las abscisas de los puntos de intersección de la gráfica de. son las raíces reales de Pues si por lo que es raíz real de 3

4 Ejemplo Determinar el número de raíces de la ecuación y los intervalos donde ellas se encuentran Solución. Usando la observación anterior, podemos expresar en la forma, haciendo y y graficando estas funciones. Se concluye que la ecuación tiene dos raíces reales. Para determinar los intervalos donde están raíces, usamos el teorema de Bolzano. ; como, ; como, 4

5 Método de la Bisección. Está basado en el teorema del valor intermedio que dice: si una función tal que y tienen signos distintos y además es continua en un intervalo que concluye entonces existe tal que. De este modo debemos determinar dos puntos donde la función cambie de signo, esto es posible mediante evaluando la función, de modo que supongamos que ya tenemos estos valores. Intervalo donde se encuentra la raíz. El método consiste en considerar el punto medio entre ambos extremos y determinar donde se produce el cambio de signo, en o en según corresponda Se descarta uno de los dos intervalos y se continúa con el restante, al que se aplica el mismo procedimiento. De este modo en cada iteración del proceso la amplitud del intervalo se reduce a la mitad y la raíz buscada quedara encerrada en el intervalo restante. El intervalo inicial tiene amplitud, de este modo, después iteraciones, obtendremos un intervalo de amplitud. Este método permite obtener una sucesión, donde cada, es el punto medio obtenido en cada iteración. Dado que la amplitud del intervalo tiende a 0, tenemos que la sucesión es convergente y su límite es una de las raíces buscadas. Algortimo: Tenemos que, evaluamos Se pueden presentar 3 situaciones: 1) Si, por lo que es raíz 2) Si entonces ; 3) Si entonces ; 5

6 Nota 1 Usualmente el control de parada en el método de la bisección es, en donde si la aproximación pedida es λ cifras decimales exactas. Teorema El numero de iteraciones requeridas para garantizar una aproximación a una raíz de exactitud E está dada por, donde L es la longitud del intervalo. Demostración: donde Ejemplo n indica el número de iteraciones necesarias. 1) Considere la ecuación a) Determine cuantas raíces posee la ecuación y el intervalo de números enteros consecutivos donde se encuentra la mayor raíz. b) Determine el número de iteraciones necesarias para asegurar una exactitud de 8 cifras decimales en el método de bisección si [ ] 6

7 c) Estimar el valor de la raíz si [ ] utilizando el método de Bisección realizando 5 iteraciones y determine el número de cifras decimales exactas. Respuesta: a) Para determinar cuántas raíces reales tiene la ecuación debemos graficar y Hay dos puntos de intersección por lo que tenemos 2 raíces b) Determinamos el intervalos donde se encuentran las raíces, usando teorema Sea Por lo que luego c) Determine el número de iteraciones necesarias para asegurar una exactitud de 10 cifras decimales en el método de bisección y usando el intervalo encontrado en b) Para obtener el número de iteraciones usamos la fórmula,,,,, Se necesitan 34 iteraciones 7

8 d) Calcular el valor de la raíz encontrada en b) utilizando el método de Bisección con una aproximación de 4 cifras decimales y 4 iteraciones i a b m f(a) f(m) f(a)*f(m) Dif neg neg neg neg neg La mayor raíz estimada corresponde a Para determinar con cuantas cifras decimales exacta se obtuvo, debemos agregar una fila y así obtener La raíz se obtuvo con una cifra decimal exacta. 8

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