CEROS DE FUNCIONES. Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Universitat Politècnica de Catalunya (UPC)

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Vicente Acuña Godoy
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1 CEROS DE FUNCIONES Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Universitat Politècnica de Catalunya (UPC)

2 Diseño de un colector solar Diseño óptimo de un colector solar plano para obtener la máxima eficiencia energética con el mínimo coste posible

3 Existe una distancia óptima entre los conductos del colector que se obtiene resolviendo la ecuación

4 Deep Penetrating Anchor El DPA (Deep Penetrating Anchor) es un sistema de anclaje que permite fijar estructuras flotantes al fondo marino a grandes profundidades.

5 Para determinar el ángulo de incidencia de la fuerza transmitida a la pluma metálica que ejerce el ancla, hay que resolver la ecuación no lineal

6 Diseño chimenea de equilibrio con vertedero Esquema de una central hidroeléctrica Oscilaciones de nivel en la chimenea 7

7 Chimenea de equilibrio con vertedero Idea: La altura de la chimenea es menor A cambio, se vierte un cierto caudal de agua Cuál es la cota máxima de agua en la chimenea? 8

8 Chimenea simple (sin vertedero) Fórmula de Prasil Cota inicial 9

9 Chimenea simple (sin vertedero) El flujo de agua se detiene para la cota máxima: 10

10 Chimenea con vertedero Caudal evacuado por el vertedero Para la cota máxima, el caudal que circula por la galería de presión coincide con el caudal vertido: 11

11 Chimenea con vertedero 12

12 MÉTODOS ITERATIVOS PARA CEROS DE FUNCIONES Problema a resolver: 1 ecuación con 1 incógnita Notación: solución analítica cero/raíz de f, no conocida en general, puede haber varias Esquema iterativo: Dada una aproximación inicial x 0, se calcula una sucesión de aproximaciones x 0, x 1, x 2, x 3... hasta obtener un valor x k suficientemente bueno (similar a α). 13

13 Idea Método de la bisección Utilizando el teorema de Bolzano, determinar un intervalo (tan pequeño como se quiera) que contenga la solución CEROS DE FUNCIONES 14

14 Algoritmo del método de la bisección Inicialización 1. Contador de iteraciones k = 0 2. Aproximaciones iniciales x 0, a tales que f(x 0 )f(a) < 0 Iteración k 3. Calcular el punto medio del intervalo x k+1 = (x k +a)/2 4. Evaluar la función en la nueva aproximación 5. Si x k+1 es suficientemente buena Parar Si no Actualización Actualización 6. Si f(x k+1 )f(x k ) < 0 a = x k 7. k = k+1 8. Volver a 3 CEROS DE FUNCIONES 15

15 Propiedades del método de la bisección Requisitos f continua aproximaciones iniciales x 0 y a tales que f(x 0 )f(a) < 0 Características convergencia lineal robusto (si se verifican los requisitos, podemos asegurar que el algoritmo converge) Inconvenientes lentitud no se tienen en cuenta las características de la función f CEROS DE FUNCIONES 16

16 Idea: Método de Newton Aproximar la función por la recta tangente (Taylor de primer orden) e imponer que la siguiente aproximación sea solución de la ecuación Escribiremos y entonces Imponiendo que x k+1 sea solución se obtiene CEROS DE FUNCIONES 17

17 Interpretación gráfica del método de Newton CEROS DE FUNCIONES 18

18 Algoritmo del método de Newton Inicialización 1. Contador de iteraciones k = 0 2. Aproximaciones iniciales x 0 Iteración k 3. Evaluar la función f en el punto x k 4. Evaluar la derivada de la función en el punto x k 5. x k+1 = x k - f(x k ) / f (x k ) 6. Si x k+1 es suficientemente buena Parar Si no k = k+1 Volver a 3 CEROS DE FUNCIONES 19

19 Propiedades del método de Newton Requisitos f tiene que ser derivable la derivada de f tienen que ser siempre diferente de cero Características convergencia cuadrática (si la aproximación inicial es suficientemente buena y la derivada está bien calculada) método caro: en cada iteración se evalúa la función y su derivada Inconvenientes coste por iteración elevado es necesario calcular la derivada de la función CEROS DE FUNCIONES 20

20 Método de la secante Idea: Utilizar el esquema del método de Newton aproximando la derivada de la función por la pendiente de la recta que pasa por las dos aproximaciones anteriores En cada iteración, se calcula la aproximación como El incremento es donde s k es la pendiente de la recta que pasa per x k y x k-1 CEROS DE FUNCIONES 21

21 Interpretación gráfica del método de la secante CEROS DE FUNCIONES 22

22 Algoritmo del método de la secante Inicialización 1. Contador de iteraciones k = 0 2. Aproximaciones iniciales x 0, x 1 Iteración k 3. Evaluar la función f en el punto x k 4. Calcular la aproximación de la derivada 5. x k+1 = x k - f(x k ) / s k 6. Si x k+1 es suficientemente buena Parar Si no k = k+1 Volver a 3 CEROS DE FUNCIONES 23

23 CRITERIOS DE CONVERGENCIA Una sucesión {x k } converge a α si Dividiendo por α : Diremos que una aproximación x k es suficientemente buena si CEROS DE FUNCIONES 24

24 En la práctica, supondremos que utilizaremos como criterio de convergencia y Para tener en cuenta el caso α=0 se utiliza el siguiente criterio ampliado En algunos casos se puede verificar este criterio aun estando lejos de la solución del problema. Para evitarlo, basta tener en cuenta que si es convergente entonces Por esto, es conveniente utilizar un criterio complementario CEROS DE FUNCIONES 25

25 y CEROS DE FUNCIONES 26

26 Métodos iterativos para resolver F(z) = 0 Controles de convergencia: y CEROS DE FUNCIONES 27

27 Tienen los métodos siempre el mismo comportamiento? Cómo se puede medir lo rápido que es un método? 28

28 ANÁLISIS DE LA CONVERGENCIA Análisis de la convergencia de un método: Consistencia Convergencia (orden, velocidad) Consideramos esquemas iterativos de la forma: iteración funcional Las propiedades dependen de la función de iteración y de la raíz α que se analice. 29

29 Ejemplo Método de Newton Función de iteración 30

30 Consistencia y convergencia Dado un esquema iterativo y una raíz 1. Consistencia: se dice que el esquema es consistente si y sólo si es un punto fijo de 3. Convergencia: 31

31 Convergencia Convergencia lineal (orden 1) Convergencia de orden p>1 (convergencia cuadrática para p=2) Convergencia superlineal 32

32 Esquema iterativo con convergencia lineal Velocidad de convergencia para esquemas lineales Iteración k-ésima con 0 Pregunta: cuántas iteraciones ν más hay que hacer para conseguir m cifras correctas más? ν tal que? 33

33 Por lo tanto, basta con donde velocidad de convergencia 34

34 Análisis de la convergencia Objetivo: estudiar la convergencia y el orden de convergencia de un esquema iterativo consistente para el cálculo de una raíz Si Asintóticamente (cerca de la raíz) 35

35 Si con convergencia lineal Si no convergente 36

36 Si Si y convergencia de orden p 37

37 Ejemplo convergencia del método de Newton Conv. cuadrática La convergencia es cuadrática cerca de la raíz 38

38 Aproximación inicial: 4 40

39 Análisis de la convergencia (2) Factor asintótico de convergencia 42

40 Métodos híbridos Idea Combinar: La robustez del método de la bisección para acercarse a la raíz La velocidad de los métodos de Newton o secante (o similares) cerca de la raíz 1. Método híbrido bisección-secante: Si el paso con método de la secante es muy grande, se recurre a la bisección 43

41 2. Método de Brent (función fzero de Matlab) Combinación de: Bisección Interpolación cuadrática inversa: Tres puntos [a,f(a)], [b,f(b)], [c,f(c)] Métodos híbridos Ajuste de función cuadrática inversa (x función cuadrática de y) se toma su valor en y=0 como siguiente x Ref.: Numerical recipes (bibliografía asignatura) 44

42 45

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