10. Series de potencias

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1 FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencial e Integral 7-2 Basado en el apunte del curso Cálculo (2do semestre), de Roberto Cominetti, Martín Matamala y Jorge San Martín. Ingeniería Matemática SEMANA 15: SERIES NUMÉRICAS Y SERIES DE POTENCIAS 1. Series de potencias Definición 1.1 (Serie de potencias). Una serie de potencias es una serie en donde el término general es de la forma a (x α). Serie de potencias No es difícil notar que la convergencia de estas series depende fuertemente del valor de x. Nosotros nos concentraremos en el caso de series de potencias centradas en cero, es decir, consideraremos solamente el caso α =. Ejemplo 1.1. Consideremos la serie de potencias x. Esta serie corresponde a una serie geométrica con razón x. Sabemos que si x < 1 esta serie converge absolutamente y que si x 1 diverge. Esto quiere decir que en el intervalo ( 1,1) podemos definir la función g (x) = x. En este caso podemos calcular el valor de la serie de modo que g (x) = 1 1 x para x ( 1,1). Al analizar el ejemplo anterior parece natural que si la serie converge para x lo haga también para x con x x y recíprocamente, que si diverge para x también lo haga para valores de x con x < x. La siguiente proposición nos acerca a la respuesta. Proposición 1.1. Si la serie a x converge, se tiene que para cada a (, x ) y para todo x [ a,a] la serie a x converge absolutamente. Demostración. Para x [ a,a] y r = a x la sucesión ( an x n ) es mayorada ( ) por a n x n a n a n a n x n a n x = an x n r n. El término a n x n es acotado (converge a cero) pues a x es convergente. Entonces, a n x n Mr n. El lado derecho es una constante por el término general de una serie geométrica con razón r < 1. Usando el criterio de mayoración concluimos que la serie a x converge para todo x [ a,a] Radio e intervalo de convergencia Notar que la Proposición 1.1 nos dice que si a x diverge entonces también diverge la serie a x para x > x. Definamos { R = sup x : } a x < +. Este valor es finito si existe algún x para el cual la serie a x diverge y vale + en otro caso. 17

2 Definición 1.2 (Radio de convergencia). Al valor R lo llamaremos el radio de convergencia de la serie de potencias a x. La Proposición 1.1 nos asegura que para todo x ( R,R) la serie converge y para todo x / ( R,R) la serie diverge. Si aplicamos el criterio del la raíz n-ésima a la serie a x obtenemos r = x lím a n 1 n. Entonces, ρ = lím a n 1 n es igual a 1 R cuando R y vale cero cuando R = +, con lo que tenemos una manera de calcular R basada solamente en (a n ). Radio de convergencia Definición 1.3 (Intervalo de convergencia). Llamamos intervalo de convergencia I al conjunto de reales x para los cuales la serie a x converge. Tenemos que ( R,R) I [ R,R]. Intervalo de convergencia Ejemplo 1.2. Dependiendo de la serie se puede tener que I = ( R,R), I = ( R,R], I = [ R,R) o I = [ R,R]. Caso. I = ( R,R). ( 1) x. Para x ( 1,1) podemos aplicar el criterio de Leibnitz y concluir que la serie converge. En x = 1 la serie diverge y lo mismo ocurre para x = 1. Entonces, el radio de convergencia de la serie es R = 1 y su intervalo de convergencia es ( 1,1). Caso I = ( R,R]. ( 1) +1 x. Para x = 1 la serie es 1 que diverge. Para x = 1 la serie es ( 1) +1 1 que converge. Luego el radio de convergencia es R = 1 y el intervalo de convergencia es ( 1,1]. Caso I = [ R,R). x. Hacerlo como ejercicio. R = 1, I = [ 1,1). Caso I = [ R,R]. x. Para x > 1 la serie diverge pues la sucesión xn 2 n 2 diverge a infinito. Para x = 1 la serie converge por lo que su radio de convergencia es R = 1. Además para x = 1 la serie ( 1) 1 converge 2 absolutamente Series de potencias, integración y derivación Dada una serie de potencias a x con intervalo de convergencia I, es posible definir naturalmente la función f : I x f(x) = a x = lím n = a x. (1.1) Mostraremos a continuación que esta función es integrable y derivable, y de manera fácil a partir de la serie de potencias original. 171

3 Veamos primero el siguiente teorema: Ingeniería Matemática Teorema 1.1. Sea a x una serie de potencias con radio de convergencia mayor que cero. Definiendo la función f como en (1.1), se tiene que ella es continua en int(dom f). Demostración. Como Dom f es un intervalo, entonces probar que f es continua en int(domf) es equivalente a probar que q int(dom(f)) +, f es continua en( q,q). Sea entonces q int(dom f) +. Definimos, para n, la función: Luego f n (x) Sean S n = n = a x = = f n (x) = a x. = a x = a q = = a q. = a q y S = = a q. Para n,m tales que n > m y x [ q,q], se tiene f m (x) f n (x) = En resumen, hemos probado que m =n+1 m =n+1 m =n+1 a x a x a q = S m S n. x [ q,q], n, m > n, f m (x) f n (x) S m S n. Haciendo m, se deduce que x [ q,q], n, f(x) f n (x) S S n. (1.2) Usando esto probemos que f es continua en x ( q,q), es decir ε >, δ >, x ( q,q) x x δ f(x) f(x ) ε. 172

4 Veamos que para cualquier n, Ingeniería Matemática f(x) f(x ) = f(x) f n (x) + f n (x) f n (x ) + f n (x ) f(x ) Sea entonces n f(x) f n (x) + f n (x) f n (x ) + f n (x ) f(x ) S S n + f n (x) f n (x ) + S S n 2 S S n + f n (x) f n (x ) tal que S S n ε 3, luego f(x) f(x ) 2ε 3 + f n (x) f n (x ). Ahora, como f n (x) es un polinomio de grado n, entonces f n (x) es continua en x, por lo tanto δ >, x, x x δ f n (x) f n (x ) ε 3. Con este δ >, se tiene lo buscado, es decir x ( q,q), x x δ f(x) f(x ) ε. Gracias a este teorema, tenemos que la función definida por la serie de potencias es integrable en int(i). Para ver que además es fácil integrarla, debemos probar el siguiente resultado: Proposición 1.2. Sea a x una serie de potencias de radio de convergencia R >. Entonces para todo p, la serie p a x tiene radio de convergencia R. Demostración. Sea q (,R), luego a q converge absolutamente. Gracias al Teorema 9.1, la sucesión (a q ) está acotada, digamos a q C. Luego para cualquier x ( q,q), p a x = p a q x q x Cp q. Consideremos entonces la serie p z, llamando z = x. Usando el criterio de la raíz n-ésima, tenemos ( ) p p z = z z. Es decir, si z < 1 entonces p z converge. Por lo tanto, p a x converge absolutamente si x ( q, q). Como la serie p a x converge para todo x (,R), luego si el radio de convergencia de esta serie es R, entonces R R. Aplicando el mismo razonamiento, a la serie de potencias p p a x = pã x (con ã = p a ), obtenemos que R R. De donde se concluye el q resultado. 173

5 Observación: Gracias a este último resultado, si a x tiene radio de convergencia R >, entonces a x tiene también radio de convergencia R >. Lo mismo sucede para la serie de potencias 1 a x

6 Probemos entonces que para integrar la función definida por una serie de potencias, basta integrar el término general de la serie. Teorema 1.2. Sea a x una serie de potencias, con radio de convergencia R >. Entonces la función f definida como en (1.1), es integrable en ( R,R) y x ( R,R), f(t)dt = ( a t )dt = a x Demostración. Gracias al Teorema 1.1, f es integrable. Definimos, para n, como en el Teorema 1.1: Se tiene que f n (t)dt = f n (x) = a x. = ( n a t ) dt = = = a x n Esto gracias a la observación de la Proposición 1.2. Sea entonces x ( R,R) y veamos x f(t)dt f n (t)dt (f(t) f n (t))dt f(t) f n (t) dt Y usando (1.2) en la demostración del Teorema 1.1, Luego, a x S S n dt x S S n. f n (t)dt y por unicidad del límite, f(t)dt y f n (t)dt a x , f(t)dt = a x

7 Además, gracias a este último teorema, se tiene la misma propiedad para el caso de la derivada. Teorema 1.3. Sea a x una serie de potencias, con radio de convergencia R >. Entonces la función f definida como en (1.1), es derivable en ( R,R) y x ( R,R), f (x) = 1a x 1. Demostración. Gracias al Teorema 1.2, la serie de potencias 1 a x 1 es integrable en ( R,R) y x ( R,R). Luego ( 1a t 1) dt = 1 f (x) = 1 a x = a x = f(x) a. 1 ( a t 1) dt = 1a x 1. Los resultados anteriores nos dicen que el radio de convergencia de una serie y el de la serie derivada son iguales. Más aún, lo mismo es cierto para la serie derivada por lo que también será cierto para las derivadas de cualquier orden. Entonces la función f (x) que se obtiene de la serie de potencias es infinitamente derivable y todas sus derivadas tienen el mismo radio de convergencia. Además se tiene que f (j) (x) = j ( 1) ( j) a x j, es decir, la serie que se obtiene al derivar término a término la serie de la función f representa la derivada de orden j de f. De aquí que, f (j) () = a j j!, y entonces el término a j de la serie que representa a f debe ser f(j) () j!, es decir, aquel de la serie de Taylor para f en torno a cero. Ejemplo Consideremos f (x) = e x. Sabemos que f (j) () = e = 1 para todo j. Entonces la serie candidata es = x!. Dado cualquier x se tiene que x x =! existe pues +1! = x (+1)!x +1. Esto dice que el radio de convergencia es infinito y entonces la serie converge para todo x. Utilizando las fórmulas del residuo para el desarrollo de Taylor es posible probar que para todo x, e x = x!. De modo que no es novedoso que la serie derivada x 1! sea igual a x!. 176

8 2. Busquemos una serie que represente a la función f (x) = 1 + x. Se tiene que f (x) = 1 2 (1 + 1 x) 2, f (x) = (1 + 3 x) 2 y en general f (j) (x) = ( 1) j (2j 1) 2 (1 + x) 2j+1 2 Luego f (j) j (2j 1) () = ( 1) 2 y el término a j j = j (2j 1) ( 1) 2 j j!. La serie a j x j converge para x < 1 pues 1 3 (2j+1) 2 j+1 (j+1)! 1 3 (2j 1) x = (2j+1) 2(j+1) x x. De modo que el radio de convergencia 2 j j! es R = 1 y el intervalo es I = ( 1,1) pues la sucesión a no converge a cero Álgebra de series de potencias Las series de potencias se pueden sumar y multiplicar y los radios de convergencia de las series resultantes estarán determinados por aquellos de las series originales. Teorema 1.4. Dadas dos series de potencias a x y b x convergentes para x. Entonces la serie (a + b ) x converge para todo x ( x, x ) y se tiene que (a + b ) x = a x + b x. Además, si c = a j b j la serie c x converge para todo x ( x, x ) y se tiene que c x = ( a x ) ( b x ). Demostración. Se deja como ejercicio. Ejercicio Ejemplo 1.4. Calculemos el producto ( ) ( x x 2!. Entonces, c x = (2x)! = e 2x. Natural.!! ). El coeficiente c = 1 1 j! ( j)! = 177