c n sucesiones numéricas. Si n a n. } k=1 dos subsucesiones de la sucesión { } k=1 = an. Entonces, si lím = L se tiene que lím a n = L.

Transcripción

1 147 Matemáticas 1 : Cálculo diferencial en IR Anexo 4: Demostraciones Sucesiones de números Series numéricas Demostración de: Proposición 241 de la página 138 Proposición 241- Sean { }, { } y { } c n sucesiones numéricas Si L, entonces c n = L ( b n c n = c n = Demostración de: Proposición 242 de la página 138 ) ( ) c n = 1 L = L bn = 1 y c n = Proposición 242- Sea { } una sucesión Si existe f: [1, ) R tal que f(n) =, n N, y f(x) = L, entonces = L x + Si f(x) = L, entonces para cada ε > 0 existe K > 0 tal que si x > K, se verifica que f(x) L < ε x + En particular, para todo n > K, se verifica que f(n) L < ε y, por tanto, que L = El resultado es válido también si L = ± Demostración de: Proposición 244 de la página 139 f(n) = Proposición 244- Sean { } una sucesión y { } a una subsucesión de { } nj a n Si existe el y se tiene que entonces existe el j j j = j, En efecto, si n = L R, para cualquier ε > 0 existe n 0 tal que para todo n n 0 se verifica que L < ε, en particular, para todo n j n 0 se verifica que j L < ε, luego n j = L j Si n = +, para cualquier K > 0 existe n 0 tal que para todo n n 0 se verifica que > K, en particular, para todo n j n 0 se verifica que j > K, luego n j j = + Análogamente para n = Demostración de: Proposición 245 de la página 139 Proposición 245- Sean {i } y { k } k=1 dos subsucesiones de la sucesión { }, tales que {a n i } {ank } { } k=1 = an Entonces, si i = k = L se tiene que = L i k Si i = L, para cada ε > 0 existe n 1 tal que si n n 1 se verifica que i L < ε, y si k = L, para i k cada ε > 0 existe n 2 tal que si n n 2 se verifica que k L < ε Luego tomando n 0 = máx{n 1, n 2 }, se tiene que para cad n 0 : ó = i, para algún i, luego n = n i n 0 n 1, de donde L = i L < ε ó = k, para algún k, luego n = n k n 0 n 2, de donde L = k L < ε Análogamente se hace si L = ± Demostración de: Proposición 249 de la página 139 Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing Industrial : Curso

2 148 Matemáticas 1 : Cálculo diferencial en IR Anexo 4 Proposición 249- Toda sucesión convergente está acotada Si { } converge, existe L R tal que L, es decir, para cada ε > 0, existe n 0 N tal que si n n 0, entonces L < ε Luego, para todo n n 0, se verifica que L ε < < L + ε y, por tanto, que máx{ L ε, L + ε } En consecuencia, si tomamos se verifica que K, para todo n N Demostración de: Proposición 251 de la página 139 K = máx{ a 1, a 2,, 0, L ε, L + ε }, Proposición 251- Toda sucesión monótona creciente y acotada superiormente es convergente Toda sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente es convergente Sea { } monótona creciente y acotada superiormente Por estar acotada superiormente, existe L = sup{ : n N} R y, por ser L el superior, para cualquier ε > 0, existe n 0 N tal que L ε < 0 L Como la sucesión es monótona creciente, para todo n n 0, se verifica que 0, luego para todo n n 0, es decir, L L ε < 0 L < L + ε, Análogamente, para las monótonas decrecientes y acotadas inferiormente Demostración de: Proposición 256 de la página 140 Proposición 256- Sea a) una serie numérica Se tiene que λ, para todo λ R {0} b) c) Si la serie es convergente (o es divergente), la serie b j n=k 0+1, para todo k 0 N formada agrupando términos consecutivos, es decir, con b j = j j j, es también convergente (o es también divergente) Sea S n = n, y denotaremos por S n la suma parcial n-ésima de la otra serie involucrada en cada apartado a) S n = n a n = n λ = λ n = λs n, luego se tiene que finito, infinito o no existe si respectivamente b) Sea k 0 N fijo Para cad, se tiene luego S n = k 0+n j=k 0+1 a j = S n = λ S n y, por tanto, S n es finito, infinito o no existe, y viceversa k 0+n k 0 a j a j = S k0+n S k0, S n = (S k 0+n S k0 ) = S k0 + S k 0+n En consecuencia, S n es finito, infinito o no existe si respectivamente existe, y viceversa S n es S n es finito, infinito o no Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing Industrial : Curso

3 149 Matemáticas 1 : Cálculo diferencial en IR Anexo 4 c) Basta tener en cuenta que S 1 = b 1 = a 1 + a = S n1 S 2 = b 1 + b 2 = a = S n2 S j = b b j = a j j = S nj, es decir, que { S j} = { S nj } es una subsucesión de { S n } Por tanto, si el ite de { S n } existe y es finito/infinito, el ite de una subsucesión suya existe y toma el mismo valor finito/infinito Demostración de: Proposición 257 de la página 140 Proposición 257- Sean y dos series convergentes, entonces ( + ) converge y ( + ) = + Sean S = S n = de donde, y, por tanto, n a i y S = S n = S n = n (a i + b i ) = n b i Entonces n a i + n b i = S n + S n, S n = (S n + S n) = S n + S n = S + S ( + ) converge y ( + ) = + Demostración de: Teorema 260 de la página 141 Teorema 260- Una serie de términos positivos { } Sn está acotada superiormente converge si, y sólo si, la sucesión de sumas parciales Como 0 se tiene que S n = S n 1 + S n 1, luego la sucesión de sumas parciales { } S n es monótona creciente Entonces, = si { } S n está acotada superiormente, por ser monótona creciente, es convergente, luego a n converge; = si { } S n no está acotada, por ser monótona creciente, se tiene que S n + luego diverge a + y, por tanto, no converge Demostración de: Primer criterio de comparación 262 de la página 141 Primer criterio de comparación 262- Sean para todo n N o a partir de un término en adelante, entonces: a) Si converge = converge b) Si diverge = diverge y series de términos positivos tales que, Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing Industrial : Curso

4 150 Matemáticas 1 : Cálculo diferencial en IR Anexo 4 Como, se tiene S n = n a) Si b) Si n = S n y, entonces, converge = { S n} está acotada superiormente = { } S n está acotada superiormente = converge diverge = { } S n no está acotada superiormente = { S n} no está acotada superior- mente = diverge Demostración de: Segundo criterio de comparación 263 de la página 142 Segundo criterio de comparación 263- Sean y L, entonces: a) Si 0 < L < + = b) Si L = 0 y a) b) c) Si L = + y a) converge = diverge = b) converge = diverge = converge diverge converge diverge a series de términos positivos tales que n bn = a) Si 0 < L < +, y tomamos ε = L 2, existe n 0 N tal que si n n 0 se tiene que donde L 2 + L < an < L 2 + L y, como 0, se tiene 0 L 2 3L 2 an L < L 2 De para todo n n 0 Aplicando el Primer criterio de comparación a los casos 0 L 2 y 0 3L 2 se obtiene el resultado b) Si L = 0, tomando ε = 1, se tiene que existe n 0 N tal que si n n 0 entonces 0 <, y recaemos en el Primer criterio b c) Si L = +, basta intercambiar los papeles de y, pues entonces se tiene que n = 0 Demostración de: Criterio del cociente (o de D Alambert) 267 de la página 143 Criterio del cociente (o de D Alambert) 267- Sea una serie de términos positivos tal que Entonces: a) si L < 1 = converge b) si L > 1 = diverge +1 = L Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing Industrial : Curso

5 151 Matemáticas 1 : Cálculo diferencial en IR Anexo 4 c) si L = 1 el criterio no decide a) Si L < 1, tomemos k = L + ε > 0 tal que L < k < 1, entonces debe existir n 0 N tal que para todo n n 0 se verifica que an+1 k < 1 y, por tanto, que +1 k, para todo n n 0 Luego Sumando miembro a miembro, se obtiene de donde 0+1 k0 0+2 k0+1 k k0+2 k k0+3 k 4 0 = 0+(n n 0) k 1 k n n0 0 converge, ya que la serie geométrica k n n0 0 = 0 k n0 b) Si L > 1, entonces n 0 N tal que an+1 > 1, para todo n n 0, luego < +1, para todo n n 0, y la serie diverge ya que 0 k n, k n converge ( k = k < 1) Demostración de: Criterio de Raabe 268 de la página 144 Criterio de Raabe 268- Sea a) si R > 1 = converge b) si R < 1 = diverge c) si R = 1 el criterio no decide una serie de términos positivos con ( n 1 an+1 )=R Entonces: a) Si R > 1, tomamos k > 0 tal que 1 < 1 + k < R, entonces existe n 0 N tal que para todo n n 0 se tiene que ( ) n 1 an+1 > 1 + k n ( +1 ) > (1 + k) (n 1) n+1 > k Luego y, sumando todo miembro a miembro, (n 0 1)0 n > k0 (n 0 )0+1 (n 0 + 1)0+2 > k0+1 (n 0 + 1)0+2 (n 0 + 2)0+3 > k0+2 (n 2) 1 (n 1) > k 1 (n 1) (n)+1 > k (n 0 1)0 n+1 > k( ) = k(s n S n0 ) Despejando, S n < 1 k ((n 0 1)0 n+1 ) + S n0 < 1 k ((n 0 1)0 ) + S n0 = K constante, para todo n n 0, luego { } S n está acotada superiormente y a n converge Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing Industrial : Curso

6 152 Matemáticas 1 : Cálculo diferencial en IR Anexo 4 b) Si R < 1, entonces existe n 0 N tal que para todo n n 0 se tiene que ( ) n 1 an+1 < 1 n ( +1 ) < (n 1) < n+1 Luego de donde (n0 1)an 0 n (n 0 1)0 < n < (n 0 + 1)0+2 < < (n 1) < (n)+1, < +1, para todo n n 0, y, por tanto, Como la serie minorante diverge, la serie Demostración de: Teorema 270 de la página 144 (n 0 1)0 n n=n 0 < diverge n=n 0 +1 Teorema 270- Toda serie absolutamente convergente es convergente Si converge, entonces, para cada ε > 0, existe n 0 N tal que si n n 0, se verifica que p < ε, para todo p N Pero, como a p+n p = p < ε la serie también converge + Demostración de: Teorema de Leibnitz 272 de la página 144 Teorema de Leibnitz 272- Sea { } una sucesión de términos positivos, monótona decreciente y de ite cero Entonces la serie ( 1) n+1 converge Para demostrarlo, veamos que { } S n = {S 2n 1} {S 2n} converge, probando que {S 2n 1} y {S 2n } convergen al mismo valor En efecto, los términos S 2(n+1) y S 2(n+1) 1, par e impar, de la sucesión de sumas parciales se obtienen de los anteriores términos par e impar con S 2n+2 = S 2n + ( 1) 2n+2 a 2n+1 + ( 1) 2n+3 a 2n+2 = S 2n + a 2n+1 a 2n+2 = S 2n + (a 2n+1 a 2n+2 ) S 2n+1 = S 2n 1 + ( 1) 2n+1 a 2n + ( 1) 2n+2 a 2n+1 = S 2n 1 a 2n + a 2n+1 = S 2n 1 (a 2n a 2n+1 ) Como { } es decreciente, a k a k+1 0 para todo k, entonces S 2n+2 S 2n, y S 2n+1 S 2n 1, para todo n 1; luego {S 2n } es creciente y {S 2n 1} es decreciente, y se tiene Además, como de 121 se tiene que S 2 S 4 S 2n S 2n+2 y S 2n+1 S 2n 1 S 3 S S 2n = S 2n 1 + ( 1) 2n+1 = S 2n 1 a 2n S 2n 1, S 2 S 2n S 2n 1 S 1 y, en consecuencia, {S 2n } está acotada superiormente por S 1 y {S 2n 1 } está acotada inferiormente por S 2, luego convergen Concluyendo, como existe el S 2n, existe el S 2n 1, = 0 y S 2n = S 2n 1 a 2n, se tiene que luego 0 = a 2n = (S 2n 1 S 2n ) = S 2n 1 S 2n; S 2n 1 = S 2n y { } S n converge Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing Industrial : Curso