Tema XIV: SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES XIV.1. Sucesiones. Sucesiones convergentes

Transcripción

1 Tema XIV: SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES XIV.1. Sucesiones. Sucesiones convergentes

2 1. Sucesiones DEF. Una sucesión infinita de números reales es una función cuyo dominio es N y su imagen un subconjunto de R: x : N R n x(n) x n x 1, x 2, se denominan términos de la sucesión x n es el término general o término n-ésimo Notación: (x n ) para la sucesión

3 2. Sucesiones monótonas DEF. Una sucesión (x n ) se dice que es (monótona) creciente si x n+1 x n n N (monótona) decreciente si x n+1 x n n N estrictamente (monótona) creciente si x n+1 > x n n N estrictamente (monótona) decreciente si x n+1 < x n n N monótona si es creciente o decreciente

4 3. Sucesiones acotadas DEF. Se dice que una sucesión (x n ) está acotada, acotada superiormente o acotada inferiormente si lo está el conjunto de sus términos.

5 4. Subsucesiones DEF. Una subsucesión de una sucesión (x n ) viene definida por una aplicación estrictamente creciente: N N k n k La subsucesión se representa por (x nk ), k N

6 5. Límites DEF. Una sucesión (x n ) tiene límite l R si para cualquier entorno (l ε, l + ε) de l, se cumple que todos los términos de (x n ) a partir de uno de ellos pertenecen al entorno: ε > 0, N N/ si n > N x n (l ε, l + ε) Notación: lim x n = l Las sucesiones que tienen límite se llaman convergentes

7 6. Propiedades de las sucesiones convergentes 1) Si una sucesión tiene límite, éste es único 2) Si dos sucesiones convergentes se diferencian en un número finitos de términos, su límite coincide 3) Si lim x n = l, entonces todas las subsucesiones de (x n ) tienen límite l.

8 6. Propiedades de las sucesiones convergentes (II) 4) Si lim x n = x lim y n = y x n y n n N, entonces x y 5) Si (x n ) tiene límite l 0, entonces existe N N tal que n > N, signo(x n ) = signo(l) 6) Propiedad del Sandwich Sean (x n ),(y n ),(z n ) tales que x n y n z n n N Si lim x n = lim z n = l, entonces lim y n = l

9 7. Convergencia y acotación Toda sucesión convergente es acotada Toda sucesión monótona creciente y acotada superiormente es convergente Toda sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente es convergente

10 8. Límites infinitos DEF. Una sucesión (x n ) tiende a + cuando fijado k R, todos los términos x n a partir de uno de ellos son mayores o iguales que k: k R, N N/ si n N x n k DEF. Una sucesión (x n ) tiende a cuando fijado k R, todos los términos x n a partir de uno de ellos son menores o iguales que k: k R, N N/ si n N x n k

11 9. Operaciones y transformaciones con sucesiones convergentes 1 Si lim x n = x y lim y n = y, entonces: lim (x n + y n ) = x + y lim (x n y n ) = x y y n Si x 0, lim = y x n x lim (λx n) = λx λ R lim (λ + x n) = λ + x λ R 2 Si lim x n = x y f es alguna de las funciones sen x, cos x, e x o ln x, entonces lim f(x n ) = f(x) 3 Si lim x n = x, x n, x > 0 n N y lim y n = y, entonces lim x n yn = x y

12 10. Criterio de Stolz Sea (b n ) estrictamente creciente tal que lim b n = +, y x n = a n b n. a n a n 1 a n Si existe lim = l entonces existe lim = l b n b n 1 b n (l puede ser infinito)