I. NOCIONES GENERALES SOBRE ESPACIOS

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1 I. NOCIONES GENERALES SOBRE ESPACIOS MÉTRICOS En este primer capítulo se recuerdan los conceptos topológicos básicos y se adopta la terminología y notación que se manejarán a lo largo del curso; se introducen además los ejemplos que servirán de modelo para las aplicaciones esenciales de la teoría a desarrollar. SECCIONES 1. Definiciones previas y primeros ejemplos. 2. Nociones topológicas en espacios métricos. 3. Aplicaciones entre espacios métricos. 4. Completitud en espacios métricos. 5. Compacidad en espacios métricos. 6. Ejercicios. 1

2 1. DEFINICIONES PREVIAS Y PRIMEROS EJEMPLOS. La estructura más importante del análisis funcional es el espacio vectorial. Un conjunto X se llama espacio vectorial (y sus elementos se llamarán vectores) respecto al cuerpo E (a cuyos elementos llamaremos escalares) si en X se definen dos operaciones, suma y multiplicación por escalar, con las propiedades algebraicas siguientes: (a) X es un grupo abeliano respecto a la suma, es decir: a.1) x X : x + y = y + x. a.2) x, y, z X : (x + y) + z = x + (y + z). a.3) Existe un único 0 X tal que x + 0 = 0 + x, x X (no confundirlo con el neutro de E). a.4) x X, x X : x + ( x) = 0. (b) La multiplicación por escalar verifica: b.1) x X, α, β E : α(β x) = (αβ) x. b.2) x X, 1 x = x (1 es la identidad en E). b.3) x X, α, β E : (α + β) x = α x + β x. b.4) x, y X, α E : α (x + y) = α x + α y. Un espacio vectorial real es aquél donde E = R y un espacio vectorial complejo es aquél donde E = C. Siempre que no se especifique el cuerpo E, entenderemos que se trata de R ó C. Notación: Si X es un espacio vectorial, A X, B X, λ E, escribiremos A + B = {x + y : x A, y B}, A B = {x y : x A, y B}, A \ B = {x : x A, x B} (en particular A c = X \ A), λa = {λx : x A} (obsérvese que 2A A + A), A B = {(x, y) : x A, y B}. Una familia finita de vectores {x 1,..., x n } X se dice linealmente independiente cuando α 1 x α n x n = 0 = α 1 = = α n = 0. 2

3 Análogamente, una colección arbitraria de vectores es linealmente independiente si cualquier subconjunto finito de ella es linealmente independiente. Se dice que un conjunto A X linealmente independiente es base de Hamel de X si todo vector x X puede expresarse como combinación lineal de elementos de A, es decir si existen escalares α 1,..., α n E y vectores x 1,..., x n A tales que x = α 1 x α n x n. Entenderemos siempre las combinaciones lineales finitas, aunque haya un número infinito de elementos en la base. Se puede probar (como una aplicación del lema de Zorn) que todo espacio vectorial posee una base de Hamel. Además todas las bases tienen el mismo número de elementos, llamado dimensión (algebraica) del espacio. Un conjunto Y X es subespacio de X si Y es también espacio vectorial (con las mismas operaciones, por supuesto). Esto ocurre si y sólo si 0 Y y αy + βy Y, α, β E. Dada una familia U X, el menor subespacio de X que contiene a U se llama subespacio generado por U, y lo denotaremos por U. Se dice que X es suma directa de los subconjuntos M 1,..., M n, lo cual denotaremos por X = M 1 M n, si X = M M n y M i j i M j = {0}, i = 1,..., n. Si esto es cierto, todo vector en X se puede escribir en forma única como suma x = m 1 + +m n con m i M i, i = 1,... n. A diferencia de lo anterior, se define la suma directa externa de dos espacios X e Y al producto X Y con las operaciones usuales. En un conjunto arbitrario (no necesariamente con estructura algebraica) se puede definir el concepto de métrica. Si además posee estructura de espacio vectorial, ciertas métricas darán lugar a la noción de norma, como veremos en el capítulo II Definición. Un espacio métrico es un par (X, d), donde X es un conjunto arbitrario no vacío y d : X X R una aplicación, llamada distancia o métrica, tal que, para cualesquiera x, y, z X, se verifica: (1) d(x, y) 0. (2) d(x, y) = 0 x = y. (3) d(x, y) = d(y, x). (4) d(x, z) d(x, y) + d(y, z). De la definición son evidentes las siguientes propiedades: 3

4 i) d(x 1, x n ) d(x 1, x 2 ) + d(x 2, x 3 ) + + d(x n 1, x n ), x 1, x 2,..., x n X. ii) d(x, z) d(y, z) d(x, y), x, y, z X. iii) Si Y es un subconjunto del espacio métrico (X, d) y se define d (y 1, y 2 ) = d(y 1, y 2 ), y 1, y 2 Y, entonces (Y, d ) es también un espacio métrico y d se llama métrica inducida por d a Y Ejemplos. { 1) Sea X un conjunto cualquiera. La aplicación d definida 1 si x y por d(x, y) = es la llamada métrica trivial o discreta. 0 six = y, 2) Si X = R, d(x, y) = x y es la distancia usual (euclídea). 3) Para X = R 2, d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 es también la distancia euclídea. Las aplicaciones d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 y d(x, y) = máx{ x 1 y 1, x 2 y 2 } son también métricas en X. 4) En X = R n son distancias d p (x, y) = ( n x i y i p) 1/p (p 1), y i=1 d (x, y) = máx 1 i n x i y i. Un hecho interesante es que todas ellas van a dar topologías equivalentes (ver teorema 5.9, capítulo II).. 5) Sean X = Q, c R (0 < c < 1), p primo. Todo x Q se puede escribir como x = p α a donde p no divide a a ni a b. Así definimos el valor p-ádico b de x como x p = c α si x 0 y 0 p = 0. De este modo, d(x, y) = x y p es una métrica (ver [BN]). 6) En el espacio X = {x = (x n ) n N : x n C, (x n ) n N sucesión acotada} definimos d(x, y) = sup n x n y n. Así (X, d) es un espacio métrico y se denota por l. 7) En general, si llamamos l p = {x = (x n ) n N : n=1 x n p < }, (p 1), las aplicaciones d p (x, y) = ( n=1 x n y n p) 1/p son también distancias. El espacio correspondiente a p = 2 fue estudiado por Hilbert (1912) en su estudio sobre las ecuaciones integrales y constituyó el primer ejemplo de los que posteriomente definiremos como espacios de Hilbert. 4

5 Para comprobar los axiomas (concretamente la desigualdad triangular) son necesarias las desigualdades de Hölder y Minkowski que veremos posteriormente (capítulo II, sección 2). Como la desigualdad triangular falla precisamente cuando p < 1, no tiene sentido definir el espacio l p con p < 1. 8) Los espacios c = {(x n ) n N : x n C, (x n ) n N convergente} y c 0 = {(x n ) n N : x n C, lím n x n = 0}, al ser subespacios de l, son espacios métricos con la métrica inducida por l. 9) Si llamamos C[a, b] al espacio de las funciones continuas en [a, b], la aplicación d(f, g) = máx x [a,b] f(x) g(x) define también una distancia en el conjunto. 10) Más generalmente, si B(A) es el espacio de las funciones acotadas en A, d(f, g) = sup x A f(x) g(x) es también una distancia. Dejamos como ejercicio la comprobación de los axiomas de espacio métrico en los ejemplos anteriores. 2. NOCIONES TOPOLÓGICAS EN ESPACIOS MÉTRICOS. Sea (X, d) un espacio métrico. Si x X, r > 0, la bola abierta de centro x y radio r es el conjunto B(x, r) = {y X : d(x, y) < r}. Análogamente se definen las correspondientes bolas cerradas B(x, r) = {y X : d(x, y) r} y las esferas S(x, r) = {y X : d(x, y) = r}. En general, se llama diámetro de un conjunto A a diám A = sup{d(x, y) : x, y A}. { {x} si r 1, Ejemplos. 1) Si d es la métrica trivial en X, B(x, r) = X si r > 1. 2) En (R, ), las bolas abiertas son B(x, r) = {y R : x y < r} Definición. Sea A X. Se dice que x A es punto interior de A si existe r > 0 tal que B(x, r) A. Se llama interior de A al conjunto int A = {x A : x es punto interior de A}. Si int A = A, A se llama abierto. Si llamamos A a la colección de todos los conjuntos abiertos de X, tenemos las siguientes propiedades: 5

6 P1) A α A, α I = α I A α A (I es cualquier conjunto de índices). P2) A 1,..., A n A = n i=1 A i A. P3), X A. Observación. Recordemos que un espacio topológico es aquél en el que existe una familia A de subconjuntos de X que verifican los axiomas (P1), (P2), (P3). De aquí se deduce que todo espacio métrico es a su vez un espacio topológico Definición. Dado A X, un punto x X es de adherencia de A si r > 0 : B(x, r) A. El conjunto A = {x X : x es punto de adherencia de A} se llama clausura de A. Un conjunto A se dice cerrado cuando A = A. Las siguientes propiedades son elementales: (1) A A; (2) A B = A B; (3) A B = A B Proposición. A es abierto si y sólo si A c es cerrado. Demostración. Supongamos que A es abierto. Entonces x A c = r > 0 : B(x, r) A c = B(x, r) A = x int A = (como A es abierto) x A = x A c. Esto quiere decir que A c es cerrado. El recíproco también es directo. De esta proposición y de las propiedades análogas para los abiertos, se deducen las siguientes: P1) Si {A i } i I es una familia arbitraria de conjuntos cerrados, entonces i I A i es cerrado. P2) Si {A 1,..., A n } son cerrados, n i=1 A i es cerrado. P3), X son cerrados Definición. Un punto x X es punto límite (o de acumulación) de A X cuando r > 0, B(x, r) A contiene infinitos puntos de A (lo que es equivalente a decir que contiene algún punto de A distinto de x). Se llama conjunto derivado de A, A = {x X : x es punto límite de A}. Es fácil comprobar que A es cerrado si y sólo si A A. 6

7 2.5.- Definición. Dada una sucesión (x n ) n N de puntos de X, se dice que converge al punto x, y se escribe x n x, cuando r > 0, N : x n B(x, r), n > N. La condición anterior equivale a que la sucesión de números reales {d(x n, x)} n N converge a cero. Análogamente, una sucesión de subconjuntos {A n } n N de X converge a un punto x X si para toda bola B centrada en x, existe un índice m tal que A n B para todo n > m. Es inmediato que: Proposición. Dada una sucesión arbitraria (x n ) n N en X, si llamamos A k = {x n : n > k}, entonces x n x si y sólo si A k converge a x. Ejemplos. 1) Sea X un conjunto arbitrario con la métrica trivial. Si x n x, entonces x n = x, n > N. 2) Sea Q con la distancia p-ádica. Dada la sucesión {p n } n N, d(0, p n ) = p n p = c n y como c < 1, p n Definición. Una sucesión (x n ) n N en X es acotada cuando sup{d(x n, x m ) : n, m N} <. En general, un subconjunto M X es acotado cuando M B(x 0, r) con x 0 arbitrario y r suficientemente grande. Un concepto más general, y que relacionaremos posteriormente con el de compacidad, es el siguiente: Definición. Un conjunto A de un espacio métrico X se dice totalmente acotado o precompacto si, dado cualquier ε > 0, existe un número finito de conjuntos A 1,..., A p tales que A = A 1 A p y diám A i ε, i = 1,..., p Proposición. Si A es totalmente acotado, entonces es acotado. Demostración. Tomemos ε = 1; por hipótesis A = A 1 A p con diám A i 1. Para cada i {1,..., p}, elegimos x i A i y llamamos δ = máx{d(x i, x j ), i, j = 1,..., p}. Dados x, y A, existirán i, j tales que x A i, y A j ; luego d(x, y) d(x, x i ) + d(x i, x j ) + d(x j, y) 1 + δ + 1 = 2 + δ, lo que prueba la acotación de A. El recíproco no es cierto: basta considerar un conjunto infinito A con la métrica discreta pues toda esfera de radio ε < 1 sólo posee un punto y A no 7

8 puede cubrirse con un número finito de esferas de radio ε < 1. Sin embargo, es evidente que se trata de un conjunto acotado Lema. Sea (X, d) un espacio métrico. a) Si (x n ) n N es convergente, entonces está acotada y su límite es único. b) Si x n x, y n y, entonces d(x n, y n ) d(x, y). Demostración. a) Haciendo ε > 1, existe N N tal que d(x n, x) < 1, n > N. Por otra parte, para los valores n N, existe a = máx{d(x 1, x),..., d(x N, x)}. Entonces d(x n, x) 1 + a, n y d(x n, x m ) 2(1 + a), n, m. Si x n x, x n y, entonces 0 d(x, y) d(x, x n ) + d(x n, y) 0. b) Por la desigualdad triangular, d(x n, y n ) d(x n, x) + d(x, y) + d(y, y n ). Entonces d(x n, y n ) d(x, y) d(x n, x) + d(y, y n ) 0. Observación. En R con la métrica euclídea se verifica además que toda sucesión monótona y acotada es convergente. Otro resultado importante es el teorema de Bolzano-Weierstrass que afirma que toda sucesión acotada en R tiene alguna sub-sucesión convergente. Muy útiles en lo sucesivo serán las siguientes caracterizaciones de la clausura de un conjunto Proposición. x A (x n ) n N A tal que x n x. Demostración. Si x A, por definición, n N, B(x, 1/n) A. Elegimos un punto x n B(x, 1/n) A. Está claro que x n x porque d(x n, x) < 1/n. Recíprocamente, si x n x con x n A, dado cualquier r > 0, existe N(r) tal que x n B(x, r), n > N(r), de donde B(x, r) A Corolario. A es cerrado si y sólo si dada cualquier sucesión (x n ) n N contenida en A y x n x, entonces x A Definición. Un subconjunto M de un espacio métrico X es denso en X si M = X. El espacio X se dice separable si posee algún subconjunto numerable que es denso en X. En la práctica se prefieren los espacios separables, más simples que los otros. Veamos algunos ejemplos. Ejemplos. 1) Si X es un espacio con la métrica discreta, es separable si y sólo si es numerable, pues ningún subespacio propio puede ser denso. 2) R es separable pues Q R es numerable y denso en R. 3) C es separable pues {x + iy : x, y Q} es numerable y denso en C. 8

9 4) Veamos que l no es separable: Sea M = {y = (y n ) n N sucesión formada por ceros y unos}. Asociamos a cada y otro número ŷ [0, 1] cuya representación binaria es y 1 /2 + y 2 / y n /2 n +... Así, como [0, 1] no es numerable y dos puntos distintos ŷ, ẑ [0, 1] tienen distintas representaciones binarias, el conjunto de las sucesiones M formadas por ceros y unos es también no numerable. (Otra forma de ver que M es no numerable es aplicar el procedimiento diagonal de Cantor.) Además, dos de ellas verifican d(y, z) = 1. Por tanto, {B(y, 1/3) : y M} es una familia no numerable de conjuntos disjuntos. Si un conjunto arbitrario D fuera denso en l, cada una de esas bolas tendría algún punto de D; como hay un conjunto no numerable de bolas, debe haber un conjunto no numerable de elementos de D. De esto se deduce que l no es separable. 5) Los espacios l p, con 1 p <, son separables: En efecto, si M = {y = (y 1,..., y n, 0,... ) : y k Q, k}, M es numerable. Además, x = (x n ) n N l p, dado cualquier ε > 0, n = n(x) : x k p < ε p /2 (por ser el resto de una serie convergente). k=n+1 Como Q es denso en R, y k Q : n k=1 x k y k p < ε p /2. Si definimos el elemento y = (y 1,..., y n, 0,... ), entonces d(x, y) p = n x k y k p + j=1 j=n+1 Esto demuestra que M es denso en l p. x k p < ε p = d(x, y) < ε. 3. APLICACIONES ENTRE ESPACIOS MÉTRICOS Definición. Sean (X, d), (Y, d ) espacios métricos. Se dice que una aplicación f : X Y es continua en x 0 X cuando ε > 0, δ > 0 : f(b(x 0, δ)) B(f(x 0 ), ε). 9

10 Si f es continua en todo x X, se llama aplicación continua. (Es evidente que esta definición extiende el concepto de continuidad de funciones reales.) Proposición. f : X Y es continua en x 0 si y sólo si toda sucesión (x n ) n N que converge a x 0 verifica f(x n ) f(x 0 ). Demostración. a) Sea f continua en x 0. Entonces ε > 0, δ > 0 : f(b(x 0, δ)) B(f(x 0 ), ε). Si x n x 0, dado tal δ, existe N tal que x n B(x 0, δ), n > N. Entonces f(x n ) B(f(x 0 ), ε). En definitiva, ε > 0, N : f(x n ) B(f(x 0 ), ε), n > N lo que significa que f(x n ) f(x 0 ). b) Si f no es continua en x 0, entonces ε > 0 : δ > 0, y B(x 0, δ) : f(y) B(f(x 0 ), ε). Si elegimos δ n = 1/n, encontramos una sucesión (y n ) n N tal que y n B(x 0, δ n ) y f(y n ) B(f(x 0 ), ε). Entonces y n x 0 pero f(y n ) f(x 0 ) Proposición. Sean X e Y dos espacios métricos y f : X Y. Son equivalentes: i) f es continua. ii) x n x = f(x n ) f(x), x X. iii) F Y es cerrado = f 1 (F ) X es cerrado. iv) A Y es abierto = f 1 (A) X es abierto. Demostración. i) = ii). Ya probado en la proposición anterior. ii) = iii). Supongamos que f verifica ii); sea F cerrado en Y y A = f 1 (F ). Veamos que A A. Si x A, (x n ) n N con x n A tal que x n x (por la proposición 2.11). Por hipótesis, f(x n ) f(x), pero f(x n ) F = f(x) F. Como F es cerrado, f(x) F = x f 1 (F ) = A. iii) = iv). Sea A Y abierto. Entonces Y \ A es cerrado y, por hipótesis, f 1 (Y \ A) es cerrado. Como f 1 (Y \ A) = X \ f 1 (A), entonces f 1 (A) es abierto. iv) = i). Sea x X y elegimos ε > 0 arbitrario. Es claro que B(f(x), ε) es abierto. Esto implica por hipótesis que f 1 (B(f(x), ε)) es abierto. Como 10

11 x f 1 (B(f(x), ε)), debe existir δ > 0 tal que B(x, δ) f 1 (B(f(x), ε)). De aquí se deduce que f(b(x, δ)) B(f(x), ε), como queríamos demostrar. 4. COMPLETITUD EN ESPACIOS MÉTRICOS. Cuando un conjunto tiene ciertas propiedades, es interesante saber qué tipo de aplicaciones conservan dichas propiedades. Así, un isomorfismo preserva la linealidad de los vectores de un espacio e incluso permite identificar los dos espacios y tratarlos como uno solo. Veremos aquí un concepto similar para los espacios métricos Definición. Dados dos espacios métricos (X, d), (Y, d ), sea f : X Y. Si f es biyectiva y bicontinua (es decir, tanto f como f 1 son continuas), f se llama homeomorfismo. Los homeomorfismos preservan las propiedades topológicas esenciales: así aplican abiertos de X en abiertos de Y y si x A, f(x) f(a) Definición. a) Si una aplicación f : X Y entre dos espacios métricos verifica que entonces f se llama isometría. x 1, x 2 X : d(x 1, x 2 ) = d (f(x 1 ), f(x 2 )), b) Si existe una isometría biyectiva f : X Y, diremos que los espacios métricos X e Y son isométricos. Dos espacios isométricos son indistinguibles respecto a la métrica aunque difieran en la naturaleza de sus puntos Definición. Sea (X, d) un espacio métrico. Una aplicación T : X X se llama contracción si x, y X, existe algún r (0, 1) tal que d(t x, T y) r d(x, y) Proposición. Toda contracción T en un espacio métrico (X, d) es continua. Demostración. Para probar que T es continua en x 0 X, debemos ver que B(T x 0, ε), B(x 0, δ) : T (B(x 0, δ)) B(T x 0, ε). Sea pues x B(x 0, δ) un punto arbitrario; debe cumplirse que T x B(T x 0, ε), es decir d(t x, T x 0 ) < ε. Como T es contracción, existe r (0, 1) tal 11

12 que d(t x, T x 0 ) r d(x, x 0 ) < r δ. Tomando δ = ε/r, se verifica que d(t x, T x 0 ) < ε, como queríamos probar Definición. Sea (X, d) un espacio métrico. Una sucesión (x n ) n N es de Cauchy cuando ε > 0, N : d(x n, x m ) < ε, n, m > N. Es fácil comprobar que toda sucesión convergente es de Cauchy. Además, en R ó C toda sucesión de Cauchy converge, pero en general esto no es cierto Definición (Fréchet, 1906). Un espacio métrico es completo si toda sucesión de Cauchy es convergente Ejemplos. 1) Cualquier conjunto X con la métrica trivial es completo. 2) R n con cualquier distancia de las ya definidas es completo. 3) El intervalo X = (0, 1), con d(x, y) = x y, no es completo, porque la sucesión {1/n} n N es de Cauchy pero su límite es cero. 4) El conjunto X = Q con la métrica euclídea d(x, y) = x y no es completo (hay sucesiones de racionales cuyo límite es irracional). 5) X = Q, con d(x, y) = x y p, no es completo como muestra el siguiente ejemplo: Eligiendo p = 5, la sucesión x n = 1 n 2 k=0 ( 1)k( 1/2) k 5 k es de Cauchy y converge a 1 que no es racional. 6) Veamos que el espacio l es completo: Sea {x (n) } n N = {(x (n) 1, x(n) 2,... )} n N una sucesión de Cauchy en l. Entonces, ε > 0, N tal que, para n, m > N, d(x (m), x (n) ) < ε = x (m) i x (n) i < ε, i = x i : d(x (m) i, x i ) < ε. Si llamamos x = (x 1, x 2,... ), entonces d(x (m), x) ε, es decir x (m) x. Por otra parte, como la sucesión (x (m) i ) m N converge a x i, está acotada, es decir k > 0 : x (m) i < k, m. Aplicando la desigualdad triangular, x i x i x (m) i + x (m) i < ε + k, lo que significa que (x i ) i N está acotada. Esto prueba que x l. 7) También son completos los espacios l p, para 1 p <. 12

13 Para comprobarlo, sea {x (n) } n N una sucesión de Cauchy en l p. Entonces N tal que, para n, m > N: ( d(x (n), x (m) ) = i x (n) i x (m) i p) 1/p (n) < ε = x i x (m) i < ε, i. Esto implica que {x (n) i } n N es de Cauchy, por lo que x (n) i x i C. Si llamamos x = (x 1,... x i,... ), veamos que x (n) x y x l p : Como k i=1 x(n) i x (m) i p < ε p, k, entonces, haciendo m, k i=1 x (n) i x i p ε p = i=1 x (n) i x i p ε p = x (n) x l p. Por la desigualdad de Minkowski (capítulo II, sección 2), x = x (n) + (x x (n) ) l p. Además, d(x (n), x) p = i=1 x(n) i x i p ε p = x (n) x. 8) Si X = C[a, b] y d(f, g) = máx x [a,b] f(x) g(x), entonces X es completo: Si {f n } n N es de Cauchy, máx x [a,b] f n (x) f m (x) < ε, para n, m > N. Entonces f n (x) f m (x) < ε, x [a, b]. Por tanto, por el criterio de convergencia de Cauchy, {f n } n N converge uniformemente en [a, b] y, como f n son continuas, la función límite también lo será. Así, X es completo. ( b 1/2 9) X = C[a, b] con la métrica d(f, g) = a dx) f(x) g(x) 2, f, g X no es completo. Si hacemos por ejemplo a = 1, b = 1, la sucesión {f n } n N por 0 si 1 x 0 f n (x) = nx si 0 < x 1/n, 1 si 1/n < x 1 definida 13

14 es de Cauchy pero el límite f(x) = x = 0. { 0 si 1 x 0 1 si 0 < x 1, no es continua en 10) X = {p : [a, b] C : p polinomio} con d(p, q) = máx x [a,b] p(x) q(x) no es completo. Para demostrarlo, basta tomar una sucesión de polinomios que converja uniformemente a una función continua (por ejemplo, e x = n 0 xn n! ). Otros ejemplos de espacios completos se obtienen gracias a la siguiente caracterización Proposición. Un subconjunto M de un espacio métrico completo X es completo si y sólo si M es cerrado en X. Demostración. Sea M completo. Entonces, x M, {x n } n N con x n M, n tal que x n x. Pero como {x n } n N converge, es de Cauchy; por tanto converge en M, lo que prueba que x M. Recíprocamente, sea M cerrado y {x n } n N de Cauchy en M. Por ser X completo, x n x X = x M = x M. Ejemplo. El espacio c = {x = (x n ) n N l : (x n ) n N converge en C} es completo con la métrica inducida por l. En efecto, sea x = (x n ) n N c. Entonces y k = (y k n) n N c : y k x = y k n x n d(y k, x) < ε/3, k N. Como {y N n } n N es convergente, es de Cauchy y y N p y N q < ε/3, p, q N 1. Entonces x p x q x p y N p + y N p y N q + y N q x q < ε. Esto implica que (x n ) n N es de Cauchy y, en consecuencia, x c. Un hecho importante de la completitud es que todo espacio métrico puede verse como subespacio de un espacio métrico completo Definición. Dado un espacio métrico (X, d), un espacio (X, d ) se llama compleción de (X, d) si existe X 0 subespacio denso de X tal que (X, d) es isométrico a (X 0, d ) Teorema. Todo espacio métrico tiene una compleción y dos compleciones de un mismo espacio métrico son isométricas. Demostración (esquema): Sea X el conjunto de las clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy en X, mediante la relación: {x n } n N {y n } n N : lím n d(x n, y n ) = 0. 14

15 Se define d : X X R como d (x, y ) = lím n d(x n, y n ) siendo {x n } x, {y n } y. Se debe probar: a) Dicho límite existe (para ello basta que {d(x n, y n )} sea de Cauchy en R). b) La definición no depende de los representantes elegidos. c) d es una métrica. d) X contiene un subespacio X 0 isométrico a X. Para ello definimos y f : X X 0 como f(x) = x. e) X 0 = X. f) X es completo. X 0 = {x X : (x, x,... ) x } g) Si (X, d ) es compleción de X, f : X X isometría. Otra caracterización importante de los espacios completos, que sólo enunciaremos, viene dada en términos de sucesiones decrecientes de conjuntos o encajes Definición. Diremos que una sucesión {A n } n N de subconjuntos de X es un encaje cuando A 1 A n... y diám A n Proposición. Sea {A n } n N un encaje de conjuntos no vacíos. Entonces A n converge a x si y sólo si x n N A n Teorema (Principio de encaje de Haussdorf). Sea X un espacio métrico. Son equivalentes: i) X es completo. ii) Todo encaje {F n } n N de conjuntos cerrados no vacíos tiene intersección no vacía. iii) Todo encaje {A n } n N de conjuntos no vacíos converge a un punto x X. 15

16 5. COMPACIDAD EN ESPACIOS MÉTRICOS Definición. Una familia {A i } i I de conjuntos se llama cubrimiento de un conjunto A cuando A i I A i. Dado un cubrimiento {A i } i I de A, se llama subcubrimiento a todo cubrimiento {A i } i J tal que J I Definición. Un subconjunto M de un espacio métrico X es compacto si todo cubrimiento por abiertos de M posee algún subcubrimiento finito (llamada propiedad de Borel-Lebesgue). Así, por ejemplo, en R con la métrica usual, el intervalo abierto (0, 1) no es compacto pues del cubrimiento {(1/n, 1), n N} no se puede extraer ningún subcubrimiento finito. Por otra parte, si un conjunto X posee la métrica discreta, ningún subconjunto infinito M puede ser compacto; para comprobarlo basta considerar la familia de bolas abiertas {B(x, 1/2)} x M que es un cubrimiento de M pero que no posee ningún subcubrimiento finito Definición. Una familia {X i } i I de conjuntos es un sistema centrado o tiene la propiedad de intersección finita si toda subfamilia finita tiene intersección no vacía. Un conjunto A X tiene la propiedad de Riesz si para todo sistema centrado {F i } i I de cerrados tal que F i A, i I, se tiene que i I F i Proposición. Un conjunto A en un espacio métrico X es compacto si y sólo si es cerrado y tiene la propiedad de Riesz. (Ver la demostración en [CC], [KF].) Proposición. Todo subconjunto cerrado contenido en un compacto es a su vez compacto. La siguiente caracterización de los conjuntos compactos será útil en lo sucesivo Teorema. Sea X un espacio métrico y A X. Son equivalentes: i) A es totalmente acotado y completo. ii) A es compacto. iii) Toda sucesión {x n } n N contenida en A posee alguna subsucesión {x nk } k N convergente en A (propiedad de Bolzano-Weierstrass). Demostración. i) = ii): Sea {A i } i I un cubrimiento por abiertos de A y supongamos que ningún subconjunto finito cubre a A. Por hipótesis, dado ε > 0, existen K 1,..., K p tales que A = K 1 K p y diám K i ε. Además al menos uno de los K i no puede cubrirse con ningún sistema finito 16

17 de conjuntos de {A i } i I ; digamos que es K 1. Por ser K 1 A, es también totalmente acotado. Repitiendo el argumento anterior, existirá K 2 K 1 con diám K 2 ε/2 que no puede cubrirse con un número finito de conjuntos de {A i } i I. Formamos así un encaje {K n } n N de conjuntos contenidos en A que es completo. Por el teorema 4.13 existe x A tal que K n converge a x. Como x A i I A i, existe A 0 {A i } i I con x A 0 ; luego para n grande será K n A 0 lo que contradice que K n no se puede cubrir con un número finito de conjuntos de {A i } i I. ii) = iii): Sea A compacto y {x n } n N una sucesión de elementos de A. Definimos X n = {x n, x n+1,... }. Es evidente que {X n } n N es una familia con la propiedad de intersección finita. Por ser A compacto, existe x A tal que x X n para todo n. Podemos suponer que para algún m es x X m (en caso contrario la tesis es evidente). Como x X m \ X m, por la proposición 2.11, x es el límite de alguna subsucesión de {x n } n N. iii) = i): Sea {x n } n N una sucesión de Cauchy en A; por hipótesis existe una subsucesión convergente en A lo que implica que la propia sucesión converge en A. Luego A es completo. Si A no fuese totalmente acotado, existiría ε > 0 tal que A no puede cubrirse con un número finito de bolas de radio ε/2. Elegimos x 1 A y llamamos B 1 = B(x 1, ε/2). Como B 1 no cubre a A, existe x 2 B 1 ; sea B 2 = B(x 2, ε/2). Razonando en la misma forma, encontramos una sucesión {x n } n N de puntos de A tal que x n B 1 B n 1, es decir d(x i, x j ) ε/2 con lo que ninguna subsucesión de {x n } n N puede ser convergente Lema. Un subconjunto compacto de un espacio métrico es cerrado y acotado. Demostración. Sea M un conjunto compacto y x M. Entonces existe una sucesión {x n } n N M que converge a x. Como M es compacto, x M (pues las subsucesiones deben tener el mismo límite que {x n } n N ). Si M no fuera acotado, dado b M, {y n } n N sucesión en M no acotada tal que d(y n, b) > n. Como {y n } n N no está acotada, no puede tener ninguna sub-sucesión convergente. El recíproco es falso, como muestra el siguiente ejemplo: La sucesión {e n } n N l 2, donde e n = (δ nj ) j=1, está acotada y es cerrada pues se trata de un conjunto formado por puntos aislados para los que d(x n, x m ) = 2. Sin embargo, no es compacto por la misma razón. En el caso de espacios normados de dimensión finita el recíproco también es cierto como probaremos más adelante (capítulo II, teorema 5.7). Hemos probado así que si un conjunto no es cerrado no puede ser compacto. 17

18 Sin embargo su clausura sí puede serlo. Esto origina la siguiente definición Definición. Un conjunto A de un espacio métrico X es relativamente compacto si su clausura A es compacta. Las siguientes caracterizaciones (cuya demostración omitiremos) serán útiles Proposición. La condición necesaria y suficiente para que un conjunto A de un espacio métrico completo X sea relativamente compacto, es que sea totalmente acotado Proposición. La condición necesaria y suficiente para que un conjunto A de un espacio métrico X sea relativamente compacto es que sea secuencialmente compacto, es decir que toda sucesión de elementos de A posea alguna subsucesión convergente (pero no necesariamente a un punto de A). En el análisis, uno de los espacios métricos más importantes es C[a, b] y un criterio importante para el estudio de la compacidad en estos espacios (que aplicaremos posteriormente en el estudio de ciertos operadores integrales) es el teorema de Arzelá-Ascoli que enunciaremos tras definir los conceptos necesarios Definición. Una familia F = {ϕ} de funciones definidas en [a, b] se llama equiacotada cuando existe una constante k > 0 tal que ϕ(x) < k, x [a, b], ϕ F. La familia F se dice equicontinua cuando para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que ϕ F, d(x 1, x 2 ) < δ = ϕ(x 1 ) ϕ(x 2 ) < ε Teorema (Arzelá-Ascoli). Una familia F C[a, b] es relativamente compacta en C[a, b] si y sólo si es equiacotada y equicontinua Teorema (Arzelá-Ascoli generalizado). Dados dos espacios métricos compactos X e Y, llamamos C(X, Y ) = {f : X Y : f es continua}, que es espacio métrico con la distancia d(f, g) = sup x X d(f(x), g(x)). Una condición necesaria y suficiente para que un conjunto A C(X, Y ) sea relativamente compacto es que ε > 0, δ > 0 : d(x 1, x 2 ) < δ = d(f(x 1 ), f(x 2 )) < ε, para cualesquiera f A, x 1, x 2 X. Los conjuntos compactos tienen propiedades interesantes que los hacen comportarse como conjuntos finitos. Así por ejemplo la imagen continua de un compacto es un compacto. 18

19 Teorema. Sea f : X Y una aplicación continua y X, Y espacios métricos. Si M es compacto en X, f(m) es compacto en Y. La prueba es directa Corolario. Si f : X R es continua y M es compacto en X, entonces f alcanza el máximo (y el mínimo) en algún punto de M. Demostración. f(m) R es compacto, con lo que f(m) es cerrado y acotado. Esto implica que ínf f(m) f(m) y sup f(m) f(m) y las imágenes inversas de esos puntos están en M. 19

20 6. EJERCICIOS. 1. Sea d una métrica en X. Determinar todas las constantes k para las que i) kd, ii) d + k es una métrica sobre X. Resp.: i) Sea d = kd. Para que d (x, y) > 0, debe ser k > 0. Para que d (x, y) = 0 x = y, debe ser k 0. Como las otras dos propiedades son siempre ciertas, toda constante k > 0 hace de d una métrica. ii) Sea d = d + k. Para que d (x, y) = 0 x = y, hace falta que k = 0 porque x = y = d(x, y) = 0 = d (x, y) = d(x, y) + k = k. Así pues, sólo para k = 0 es d un métrica. 2. Si A es el subespacio de l formado por las sucesiones de ceros y unos, cuál es la métrica inducida sobre A? Resp.: Como d(x, y) = sup n x n y n = métrica discreta. { 1 si x y 0 si x = y, se trata de la 3. Sea X el conjunto de las ternas ordenadas de ceros y unos. Mostrar que X tiene 8 elementos y que d(x, y) = número de lugares en que x e y tienen valores diferentes. es una métrica sobre X. (Esta es la llamada distancia de Hamming y es útil en teoría de autómatas y códigos.) Resp.: card X = 2 3 = 8. i) Es evidente que d(x, y) 0. 20

21 ii) d(x, y) = 0 = x e y no tienen ningún valor diferente = x = y. El recíproco es similar. iii) Por la simetría de la definición, d(x, y) = d(y, x). iv) Sean x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ), z = (z 1, z 2, z 3 ); debido a que d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3, por la desigualdad triangular en R se deduce que d(x, y) = = x i y i = x i z i + z i y i ( x i z i + z i y i ) i=1 3 x i z i + i=1 i=1 i=1 i=1 3 z i y i = d(x, z) + d(z, y). 4. Determinar si la aplicación d : R R R definida por d(x, y) = x 2 y 2 es una distancia. Si no lo es, decir si existe un subconjunto de la recta en que sí lo sea. Dar el mayor de los conjuntos que lo cumplen. Resp.: Si x = y, es claro que d(x, y) = 0. Sin embargo, si d(x, y) = 0 = x 2 = y 2, pero puede ser x = y lo que implica que d no es distancia. Si d está definida en R + {0} ó R {0}, x 2 = y 2 = x = y. En cualquier caso, d(x, y) = d(y, x) y d(x, y) = x 2 y 2 x 2 z 2 + z 2 y 2 = d(x, z) + d(y, z), de modo que d es distancia en dichos subconjuntos de R. 5. a) Encontrar una sucesión que converja a cero, pero no esté en ningún l p, con 1 p <. b) Encontrar una sucesión que esté en l p con p > 1, pero no en l 1. Resp.: a) La sucesión (1/ ln n) n 2 evidentemente converge a cero pero, 1/(ln n) debido a que lím p n 1/n =, p 1, la serie 1/(ln n) p es divergente. 21

22 b) La sucesión (1/n) n 1 no está en l 1, pues la serie 1/n es divergente, pero está en l p con p > 1 pues 1/n p <, p > Sea (X, d) un espacio métrico cualquiera. Demostrar que la aplicación D : X X R definida por D(x, y) = d(x,y) 1+d(x,y) es también una distancia sobre X. Resp.: Es evidente que D(x, x) = 0 y, si D(x, y) = 0 = d(x, y) = 0 = x = y. Por ser d distancia, también D(x, y) = D(y, x). Por último, teniendo en cuenta que la función y = resulta: D(x, y) = = x 1+x es creciente, d(x, y) d(x, z) + d(y, z) 1 + d(x, y) 1 + d(x, z) + d(y, z) d(x, z) 1 + d(x, z) + d(y, z) + d(y, z) 1 + d(x, z) + d(y, z) d(x, z) d(y, z) + = D(x, z) + D(y, z). 1 + d(x, z) 1 + d(y, z) 7. Sea (X, d) un espacio métrico y P (X) el conjunto de partes de X. Se define la aplicación D : P (X) P (X) R por D(A, B) = ínf{d(a, b) : a A, b B}. a) Probar que D no es una métrica en P (X). b) Si A B, probar que D(A, B) = 0. Qué se puede decir del recíproco? c) Si x X, B X, se define δ(x, B) = ínf b B d(x, b). Probar que x, y X, δ(x, B) δ(y, B) d(x, y). Resp.: a) Si A B, x A B = D(A, B) = d(x, x) = 0. Sin embargo A B. b) Si D(A, B) = 0 = a n A, b n B : d(a n, b n ) 0, pero puede ser A B (ver por ejemplo las bolas B(0, 1) y B(2, 1) en la distancia euclídea de R). 22

23 c) Sean b, b B; por la desigualdad triangular, d(x, b) d(x, y) + d(y, b) d(x, y) + d(y, b ) + d(b, b). Esto implica que ínf d(x, b) d(x, y)+ ínf d(y, b B b B b )+ ínf b,b B d(b, b) = d(x, y)+ ínf d(y, b B b ), o bien δ(x, B) d(x, y) + δ(y, B). Análogamente se prueba que δ(y, B) δ(x, B) + d(x, y). 8. Si (X 1, d 1 ) y (X 2, d 2 ) son espacios métricos, probar que en el espacio producto X = X 1 X 2 se pueden definir las métricas siguientes: d(x, y) = d 1 (x 1, y 1 ) + d 2 (x 2, y 2 ), d(x, y) = máx{d 1 (x 1, y 1 ), d 2 (x 2, y 2 )}, donde x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ) X. Resp.: i) Es evidente que d(x, y) 0 y d(x, y) 0. ii) De la definición se deduce también que: d(x, y) = 0 d 1 (x 1, y 1 ) = d 2 (x 2, y 2 ) = 0 x 1 = y 1, x 2 = y 2 x = y; d(x, y) = 0 d 1 (x 1, y 1 ) = d 2 (x 2, y 2 ) = 0 x 1 = y 1, x 2 = y 2 x = y. iii) Es claro también que d(x, y) = d(y, x), d(x, y) = d(y, x). iv) En el caso de d, se prueba fácilmente que d(x, y) = d 1 (x 1, y 1 ) + d 2 (x 2, y 2 ) d 1 (x 1, z 1 ) + d 1 (z 1, y 1 ) + d 2 (x 2, z 2 ) + d 2 (z 2, y 2 ) = d(x, z) + d(z, y). Para probar la desigualdad triangular en el otro caso, supongamos, sin pérdida de generalidad, que d 1 (x 1, y 1 ) d 2 (x 2, y 2 ); así, d(x, y) = d 1 (x 1, y 1 ). Entonces d(x, y) = d 1 (x 1, y 1 ) d 1 (x 1, z 1 ) + d 1 (z 1, y 1 ) máx{d 1 (x 1, z 1 ), d 2 (x 2, z 2 )} + máx{d 1 (z 1, y 1 ), d 2 (z 2, y 2 )} = d(x, z) + d(z, y). 23

24 9. En R definimos la distancia d(a, b) = a b 1+ a b (ver ejercicio 6). a) Determinar las bolas abiertas. b) Hallar δ(2, A) donde A = {x R : 0 x 1}. c) Hallar D(A, B) donde B = {x R : 2 < x < 1}. (Las aplicaciones δ y D están definidas en el ejercicio 7.) Resp.: a) Sea x B(a, r); entonces x a < r = x a < r + r x a = (1 r) x a < r. 1 + x a - Si r < 1: x a < r 1 r = B(a, r) = ( a - Si r = 1: B(a, r) = R. - Si r > 1 se obtiene también que B(a, r) = R. b) Por definición, δ(2, A) = pues y = 2 x 3 x ínf d(2, x) = ínf 0 x 1 0 x 1 r 1 r, a + es una función decreciente en [0, 1]. r 1 r ). 2 x x = ínf 2 x 0 x 1 3 x = 1 2, c) D(A, B) = ínf{d(x, y) : x [0, 1], y ( 2, 1)}. Si x [0, 1], y ( 2, 1), d(x, y) = d Como la derivada parcial constante. Análogamente, como d x es constante. y = x y 1+x y. x = 1 (1+x y) 2 1 (1+x y) 2 > 0, d es creciente si y es < 0, entonces d es decreciente si En el cuadrado [0, 1] [ 2, 1], el mínimo se alcanza en (0, 1) y vale 1/2. 24

25 10. Probar que la clausura B(x 0, r) de una bola abierta B(x 0, r) en un espacio métrico puede ser distinta de la bola cerrada B(x 0, r). Resp.: Sea X un conjunto cualquiera con la métrica discreta, y x 0 X arbitrario. Entonces B(x 0, 1) = {x X : d(x, x 0 ) < 1} = {x 0 } = B(x 0, 1) = {x 0 }; sin embargo, B(x 0, 1) = {x X : d(x, x 0 ) 1} = X. 11. Demostrar que si X es un espacio métrico, A X y r R +, entonces V r (A) = {x X : d(x, A) r} es cerrado. Resp.: Veamos en primer lugar que la aplicación f : X R + definida por f(x) = d(x, A) = ínf{d(x, y) : y A} es continua: Sean ε > 0 y x 0 X arbitrarios. Por la desigualdad triangular, para cualesquiera a, b A, d(x, a) d(x, x 0 ) + d(x 0, b) + d(b, a). Entonces ínf d(x, a) d(x, x 0)+ínf d(x 0, b)+ ínf d(b, a) = f(x) d(x, x 0)+f(x 0 ). a A b A a,b A Análogamente se prueba que f(x 0 ) d(x, x 0 ) + f(x). En definitiva f(x) f(x 0 ) d(x, x 0 ). Si elegimos δ = ε, entonces d(x, x 0 ) < δ = f(x) f(x 0 ) < ε. Como [0, r] es cerrado en R +, entonces f 1 [0, r] también es cerrado en X. Además f 1 [0, r] = {x E : f(x) r} = {x E : d(x, A) r} = V r (A). Otra forma consiste en probar que el complementario V c r (A) es abierto: Sea para ello x Vr c (A) = d(x, A) > r. Si llamamos s = d(x, A), veamos que B(x, (s r)/2) Vr c (A). y B(x, (s r)/2), d(x, y) < (s r)/2. Como d(x, A) d(x, y) + d(y, A), entonces d(y, A) d(x, A) d(x, y) > s s r 2 = s+r 2 > r. 12. Probar que un espacio métrico X es separable si y sólo si existe Y X numerable tal que ε > 0, x X, y Y : d(x, y) < ε. 25

26 Resp.: Si X es separable, existe por definición M X numerable tal que x X, {x n } n N M : x n x. Entonces ε > 0, N : d(x n, x) < ε, n > N. Recíprocamente, si x X, y Y : d(x, y) < ε, entonces x Y. Esto implica que X = Y con Y numerable, es decir X es separable. 13. Sea {x n } n N una sucesión en un espacio métrico X. Probar: a) Si x n x, entonces toda sub-sucesión {x nk } k N de {x n } n N converge a x. b) Si {x n } n N es de Cauchy y tiene alguna sub-sucesión convergente, entonces {x n } n N converge al mismo límite que dicha sub-sucesión. Resp.: a) Basta tener en cuenta que, si d(x n, x) < ε, n > N, entonces d(x nk, x) < ε, con n k > N. b) Por hipótesis, ε > 0, N 1 : d(x nk, x) < ε/2 si n k N 1 N 2 : d(x n, x m ) < ε/2 si n, m N 2. Tomando N = máx{n 1, N 2 }, d(x n, x) d(x n, x nk ) + d(x nk, x) < ε, si n > N. 14. Sea {x n } n N una sucesión en un espacio métrico y consideramos las subsucesiones {x 2n } n N, {x 2n+1 } n N, {x 3n } n N que suponemos convergentes. Demostrar que {x n } n N es convergente. Poner un ejemplo de una sucesión no convergente y que k 2, {x kn } n N sea convergente. Resp.: Supongamos que lím x 2n = a, lím x 3n = b, lím x 2n+1 = c. Por ser {x 6n } n N subsucesión de {x 2n } n N y {x 3n } n N, lím x 6n = a = b. Por ser {x 6n+3 } n N subsucesión de {x 3n } n N y {x 2n+1 } n N, lím x 6n+3 = b = c. 26

27 Así pues, lím x 2n = lím x 2n+1 = a. Veamos que lím x n = a: ε > 0, n 1 : x 2n a < ε, n > n 1, n 2 : x 2n+1 a < ε, n > n 2. Si p = máx{n 1, n 2 }, x n a < ε, n > p. { 1 si n no es primo En cuanto a la segunda parte, si definimos x n = n si n es primo, entonces x kn = 1, n, pero {x n } n N no converge. 15. Sea {u n } n N, u n R, u n 0 tal que lím n u n = 0. Demostrar que existe una infinidad de índices n tales que para cada m > n, u n u m. Resp.: Por hipótesis, ε > 0, N : u N, u N+1,... < ε. Por ser convergente, {u n } n N está acotada superiormente, con lo que tiene supremo. Dicho supremo está en el conjunto porque, en caso contrario, sería un punto de acumulación no nulo y la sucesión no podría ser convergente a 0. Si u ν0 es dicho máximo, u m u ν0, m > ν 0. Tomamos ahora la sucesión {u ν0 +1,... } y aplicamos el mismo razonamiento anterior : ν 1 > ν 0 tal que u ν1 u m, m > ν 1, y así sucesivamente. Es evidente que la sucesión {u ν0, u ν1,... } es decreciente. Otra forma (por reducción al absurdo): Si sólo existiera un conjunto finito de índices {n 0,..., n k } para el que u m u ni, m > n i (i = 0,..., k), entonces m 1 : u m1 > u nk +1, m 2 > m 1 : u m2 > u m1,. Esto indica que la subsucesión {u mk } k N es creciente y no tiene límite cero, lo que contradice la hipótesis. 27

28 16. Si d 1, d 2 son métricas equivalentes sobre X, probar que las sucesiones de Cauchy en (X, d 1 ) y (X, d 2 ) son las mismas. Resp.: Por hipótesis, a, b > 0 : a d 1 (x, y) d 2 (x, y) b d 1 (x, y). Si {x n } n N es de Cauchy en (X, d 1 ), d 1 (x n, x m ) < ε/b, n, m > N ε. Entonces d 2 (x n, x m ) b d 1 (x n, x m ) < ε. Esto implica que {x n } n N es de Cauchy respecto a d 2. Análogamente se prueba la segunda parte. 17. Si A y B son cerrados y disjuntos en un espacio métrico X, demostrar que existe f : X [0, 1] continua tal que f(x) = 0, x A y f(x) = 1, x B. d(x,a) Resp.: Basta definir f(x) = d(x,a)+d(x,b). El denominador nunca se anula por lo que f está definida en todo X. 18. Sea f : R R una aplicación continua y periódica tal que el conjunto {T : T es período de f} es denso en R. Demostrar que f es constante. Resp.: x R, (T n ) n N : T n x y f(a + T n ) = f(a), a R. En particular f(t n ) = f(0 + T n ) = f(0). Como T n x y f es continua, f(t n ) f(x). Por tanto, f(x) = f(0), x R. 19. Sea f : X Y una aplicación tal que f A : A f(a) es continua, con A X. Es f continua en A? { 0 si x Q Resp.: No, pues la función de Dirichlet f(x) = no lo 1 si x Q, satisface. La restricción f Q es continua y constante pero lím x a f(x) f(a) con a Q. 28

29 20. Sea f : R R una función aditiva y continua en x 0. Demostrar que f es continua en R y que f(x) = ax, x R con a fijo. Resp.: a) Veamos que f es continua en R. Por hipótesis, ε > 0, δ > 0 : x x 0 < δ = f(x) f(x 0 ) < ε. Debemos probar que f es continua en x, es decir ε > 0, δ > 0 : y x < δ = f(y) f(x) < ε. Pero si y x < δ, entonces y x + x 0 x 0 < δ = f(y x + x 0 ) f(x 0 ) < ε = f(y) f(x) + f(x 0 ) f(x 0 ) = f(y) f(x) < ε. b) n N, es claro que f(n) = nf(1). Llamamos a = f(1). Por una parte, f(x) = f(0 + x) = f(0) + f(x) = f(0) = 0. Además, 0 = f(1+( 1)) = f(1)+f( 1). Esto implica que f( 1) = a y f( m) = mf( 1) = am. Por otra parte, a = f(1) = f(q/q) = qf(1/q) = f(1/q) = a (1/q). Entonces f(p/q) = pf(1/q) = p a (1/q) = a (p/q). Por último, x R, x n Q : x n x. Por ser f continua, f(x n ) f(x). Como f(x n ) = ax n, f(x n ) ax, de modo que ax = f(x). 21. Sean las aplicaciones f : E F, g : F G, donde f es continua y sobre, g es continua y g f es homeomorfismo. Demostrar que f y g son homeomorfismos. Resp.: Como g f es biyectiva, g es sobre y f es inyectiva. Entonces f es biyectiva. Dado A abierto en E, (g f)(a) es abierto en G. Como g es continua, f(a) es abierto en F. Esto implica que f 1 es continua y f es homeomorfismo. x, y F, si g(x) = g(y), entonces (g f) 1 (g(x)) = (g f) 1 (g(y)) = f 1 (x) = f 1 (y) = x = y. Esto prueba que g es inyectiva con lo que g es biyectiva. 29

30 Dado B abierto en F, f 1 (B) es abierto en E. Entonces (g f)f 1 (B) = g(b) es abierto en G = g 1 continua = g homeomorfismo. Otra forma: g = g f f 1 con g f biyectiva y f 1 biyectiva = g biyectiva. g 1 = f f 1 g 1 con f continua y f 1 g 1 continua = g 1 continua. f 1 = f 1 g 1 g con g continua y f 1 g 1 continua = f 1 continua. 22. Sea f : R R una aplicación estrictamente creciente. Probar que la función D(x, y) = f(x) f(y) es una distancia sobre R pero D no es equivalente a. Resp.: a) D(x, y) = 0 f(x) = f(y) x = y (f es inyectiva por ser estrictamente creciente). D(x, y) = f(x) f(y) = f(x) f(z)+f(z) f(y) D(x, z)+d(z, y). El resto es evidente. b) Si f no es continua en x 0, ε > 0 : δ > 0, x x 0 < δ pero f(x) f(x 0 ) ε. Si fuera D equivalente a, a, b > 0 : a x y f(x) f(y) b x y. Eligiendo δ = ε/b, ε f(x) f(x 0 ) b x x 0 < b ε/b = ε, lo cual es absurdo. 23. Sea M l el subespacio de las sucesiones con un número finito de términos no nulos. Probar que M no es completo. Resp.: Construimos la sucesión {x (n) } n N siguiente: Si m > n, d(x (n), x (m) ) = sup x (n) j x (1) = (1, 0,... ) x (2) = (1, 1/4, 0,... )... x (n) = (1, 1/4,..., 1/n 2, 0,... ). 30 x (m) j = 1 (n+1) 2 0.

31 Así definida, x (n) M, n, pero lím n x(n) = x = (1, 1/4,..., 1/n 2,... ) M. 24. Consideremos para cada n N la sucesión s n = ! n!. Demostrar que {s n } n N es de Cauchy en Q y deducir de ello que Q no es completo. Resp.: Para probar que es de Cauchy, veamos que s n s m 0. En efecto, si suponemos que n > m, s n s m = 1 (m + 1)! n! k=m+1 1 k! 0 por ser el resto de una serie convergente (como es sabido, e = n=0 1/n!). Ahora bien, como lím n s n = e Q, se deduce que Q no es completo. 25. Probar que todo espacio con la métrica discreta es completo. Resp.: Si X posee la métrica discreta, y {x n } n N es de Cauchy en X, entonces n, m > N, x n = x m. Esto implica que {x n } n N es convergente. 26. Si (X 1, d 1 ), (X 2, d 2 ) son espacios métricos isométricos y X 1 es completo, probar que X 2 es completo. Resp.: Sea {y n } n N una sucesión de Cauchy en X 2. Como X 1 y X 2 son isométricos, f : X 1 X 2 isometría biyectiva. Por tanto, x n X 1 : f(x n ) = y n. Además, d 2 (y n, y m ) = d 2 (f(x n ), f(x m )) = d 1 (x n, x m ). Por tanto, {x n } n N es de Cauchy en X 1. Al ser X 1 completo, existe x X tal que x n x, de donde d 2 (y n, f(x)) = d 1 (x n, x) 0 = {y n } n N converge a f(x). 31

32 27. Demostrar que toda isometría f : R R cumple que f(x) = a + x ó f(x) = a x. Resp.: Por ser f isometría, f(x) f(y) = x y. En particular, f(x) f(0) = x, es decir f(x) f(0) = x ó f(x) f(0) = x. Ahora bien, si existieran x 1, x 2 R, x 1 x 2 tales que f(x 1 ) f(0) = x 1 y f(x 2 ) f(0) = x 2, entonces f(x 1 ) f(x 2 ) = x 1 + x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) = x 1 + x 2 x 1 x 2 si x 1, x 2 0. Llamando f(0) = a, se obtiene el resultado. 28. Un espacio métrico se dice localmente compacto si todo punto tiene un entorno compacto. Probar que R n y C n son espacios localmente compactos pero no compactos. Resp.: Dado un punto arbitrario x en R n ó C n, cualquier bola cerrada centrada en x es un compacto (por ser un conjunto cerrado y acotado contenido en un espacio de dimensión finita). Sin embargo, los espacios R n y C n no son compactos pues no son acotados. 29. Sea X un conjunto no vacío. Una aplicación d : X X R se llama pseudométrica si se verifica lo siguiente: i) d(x, y) 0, x, y X. ii) d(x, x) = 0, x X. iii) d(x, y) = d(y, x), x, y X. iv) d(x, y) d(x, z) + d(y, z), x, y, z X. La función d(x, y) = b a x(t) y(t) dt define una métrica o pseudométrica en C[a, b]? Y en las funciones R[a, b] integrables Riemann en [a, b]? Resp.: Los apartados i), ii) y iii) son evidentes. Por otra parte, como x(t) y(t) x(t) z(t) + z(t) y(t), t [a, b], 32

33 entonces b a x(t) y(t) dt b a x(t) z(t) dt + b a z(t) y(t) dt. Además, si x, y C[a, b] y b a x(t) y(t) dt = 0, entonces x = y. Sin embargo si x e y se diferencian en su valor en un punto c (a, b) y son integrables, b a x y = 0 pero x y. Esto indica que la aplicación, definida en R[a, b], es una pseudométrica. 30. a) Si tenemos una pseudométrica d sobre X, vamos a establecer una relación binaria x y d(x, y) = 0. Demostrar que es de equivalencia y que el conjunto cociente se puede estructurar en espacio métrico mediante una distancia que se puede definir de forma natural a partir de d. b) Demostrar que d : R 2 R 2 R 2 definida por d(a, b) = a 1 b 1, si a = (a 1, a 2 ), b = (b 1, b 2 ), es pseudométrica sobre R 2. Determinar el conjunto cociente y la distancia definida sobre él. Resp.: a) Sea x = {y X : y x} = {y X : d(x, y) = 0}. Definimos d : X/ X/ R por d (x, y ) = d(x, y), donde x x, y y. - d está bien definida: x, x x, y, y y : d(x, y) d(x, x ) + d(x, y ) + d(y, y) = d(x, y } ) d(x, y ) d(x, x) + d(x, y ) + d(y, y ) = d(x, y) = d(x, y) = d(x, y ). - d es una métrica: d (x, y ) = 0 d(x, y) = 0 x y x = y. d (x, y ) = d(x, y) d(x, z) + d(z, y) = d (x, z ) + d (z, y ). b) Es fácil comprobar que d es pseudométrica. Debido a que a b a 1 b 1 = 0 a 1 = b 1, podemos caracterizar a = {x = (x 1, x 2 ) R 2 : x 1 = a 1 }. De este modo, R 2 / = {(x, 0) : x R} y la distancia en el espacio cociente es d (a, b ) = a 1 b 1. 33

34 31. Sea d una distancia en un conjunto X. Diremos que d es ultramétrica si d(x, z) máx{d(x, y), d(y, z)}, x, y, z X. Supongamos que d es ultramétrica. a) Demostrar que si d(a, b) d(b, c), d(a, c) = máx{d(a, b), d(b, c)}. b) Probar que cada B(a, r) es, a la vez, un conjunto abierto y cerrado y que b B(a, r), B(b, r) = B(a, r). c) Demostrar que cada B(a, r) es, a la vez, un conjunto abierto y cerrado y que b B(a, r), B(b, r) = B(a, r). d) Probar que, si dos bolas tienen un punto en común, una de ellas está contenida en la otra. e) Probar que la distancia de dos bolas abiertas distintas de radio r contenidas en una bola cerrada de radio r es igual a r. Resp.: a) Supongamos que d(a, b) < d(b, c). Entonces d(a, c) máx{d(a, b), d(b, c)} = d(b, c) máx{d(b, a), d(a, c)} = d(a, c) = d(a, c) = d(b, c) = máx{d(a, b), d(b, c)}. Si d(a, b) > d(b, c), entonces d(a, c) máx{d(a, b), d(b, c)} = d(a, b) máx{d(a, c), d(c, b)} = d(a, c) = d(a, c) = d(a, b) = máx{d(a, b), d(b, c)}. b) Sea x B(a, r). Entonces ε > 0, y B(a, r) : d(x, y) < ε. Eligiendo ε < r, d(a, x) máx{d(a, y), d(y, x)} < r = x B(a, r). Probemos la igualdad B(b, r) = B(a, r) por doble inclusión: c B(b, r) = d(a, c) máx{d(a, b), d(b, c)} < r = c B(a, r), c B(a, r) = d(c, b) máx{d(c, a), d(a, b)} < r = c B(b, r). c) La bola B(a, r) es un conjunto abierto si y sólo si y B(a, r), ε > 0 : B(y, ε) B(a, r). Si elegimos ε < r, todo z B(y, ε) verifica d(y, z) < ε y d(a, z) máx{d(a, y), d(y, z)} r. 34