Elementos Básicos de Análisis Funcional en. Dr. Oldemar Rodríguez Rojas

Transcripción

1 Elementos Básicos de Análisis Funcional en Análisis Numérico Dr. Oldemar Rodríguez Rojas Agosto 2008

2 Contents 1 Elementos Básicos de Análisis Funcional Espacios normados Productos escalares Completitud El teorema de punto fijo de Banach El teorema de la mejor aproximación

3 Chapter 1 Elementos Básicos de Análisis Funcional En los siguientes capítulos se presentarán métodos iterativos para encontrar la solución de sistemas de ecuaciones lineales y no lineales, para la solución numérica de ecuaciones diferenciales, etc. Para hacer esto necesitaremos algunos conceptos y teoremas del análisis funcional. 1.1 Espacios normados Definición 1 Sea X un espacio vectorial complejo (o real). Una función : X R con las siguientes propiedades: 1. x 0, 2. x = 0 si y solamente si x = 0, 3. αx = α x 4. x + y x + y, para todo x, y X y para todo α C (o R) se llama norma en X. El espacio vectorial X provisto de una norma se llama espacio normado. Ejemplo 1 Algunas normas de R n y C n son: x 1 := ( n ) 1/2 x i, x 2 := x i 2 i=1 para x = (x 1, x 2,..., x n ) t. i=1, x := max i=1,2,...,n x i, 2

4 Las normas del ejemplo 1 son conocidas como las normas l 1, l 2 y l respectivamente. Las tres normas anteriores son casos particulares de la norma l p : ( n ) 1/p x p := x i p, (1.1) definida para p 1. La norma l es el límite de 1.1 cuando p (ejercicio). Proposición 1 Para toda norma se tiene la segunda desigualdad triangular. para todo x, y X. i=1 x y x y, Prueba: De la desigualdad triangular se tiene que x = x y + y x y + y, por lo tanto x y x y. Análogamente cambiando el rol de x y y se tiene que y x y x por lo que se obtiene la desigualdad. Definición 2 Para dos elementos x, y en un espacio normado X la norma x y se llama distancia entre x y y. Definición 3 Una sucesión (x n ) de elementos en un espacio normado X se llama convergente si existe un elemento x X tal que: lim x n x = 0, n es decir, para todo ε > 0 existe un entero N(ε) tal que x n x < ε para todo n > N(ε). El elemento x es llamado el límite de la sucesión (x n ) y se escribe: lim x n = x. n Si una sucesión no converge se llama divergente. Proposición 2 El límite de una sucesión convergente es único. Prueba: (Ejercicio) Definición 4 Dos normas en un espacio vectorial se llaman equivalentes si tienen el mismo conjunto de sucesiones convergentes. Teorema 1 Dos normas a y b en un espacio vectorial X son equivalentes si y solamente si existen números positivos c y C tal que: para todo x X. c x a x b C x a (1.2) 3

5 Prueba: Sean las normas a y b equivalentes, suponga que no existe C > 0 tal que x b C x a para todo x X, entonces existe una sucesión (x n ) con x n a = 1 y x n b n 2. Luego la sucesión y n := x n /n converge a cero con respecto a a pero no con respecto a b porque y n b n 2. Recíprocamente si se tiene 1.2 entonces si x n x a 0 es claro que x n x b 0 y viceversa. Teorema 2 En un espacio vectorial de dimensión finita todas las normas son equivalentes. Prueba: Ejercicio. Definición 5 Un subconjunto U de un espacio normado se llama cerrado si este contiene el límite de todas las sucesiones convergentes de U. La clausura U de un conjunto U de un espacio normado X es el conjunto de todos los límites de sucesiones convergentes de U. Un subconjunto U de X se llama abierto si su complemento X\U es cerrado. Un conjunto U se llama denso en otro conjunto V si V U, es decir si cada elemento de V es el límite de una sucesión convergente de U. Para cada x 0 X y r > 0 el conjunto B[x 0, r] := {x X tal que x x 0 r} es cerrado y se llama la bola cerrada de radio r y centro x 0. El conjunto B(x 0, r) := {x X tal que x x 0 < r} es abierto y se llama la bola abierta de radio r y centro x 0. Definición 6 Un conjunto U se llama acotado si existe un número positivo C tal que x < C para todo x U. Teorema 3 Toda sucesión acotada en un espacio normado de dimensión finita X contiene una subsucesión convergente. Prueba: Sea u 1, u 2,..., u n una base de X y sea (x ν ) una sucesión acotada. Entonces se puede escribir: x ν = α jν u j j=1 Como x ν una sucesión acotada y usando la norma x ν B := max j=1,2,...,n α jν, se tiene que cada una de las sucesiones (α jν ) es acotada en C para cada j = 1, 2,..., n. Por lo tanto, usando el teorema de Bolzano Weierstrass se puede seleccionar una subsucesión α jν(l) α j cuando l para cada j = 1, 2,..., n. Esto implica que: x ν(l) α j u j X, cuando l. j=1 4

6 1.2 Productos escalares Definición 7 Sea X un espacio vectorial complejo (o real). Entonces una función, : X X C (o R) con las siguientes propiedades: 1. x, x 0, 2. x, x = 0 si y solamente si x = 0, 3. x, y = y, x, 4. αx + βy, z = α x, z + β y, z, para todo x, y, z X y α, β C (o R) es llamado producto interno en X. El espacio vectorial X provisto de un producto interno se llama espacio pre Hilbert. Observación 1 Una consecuencia inmediata de 3. y 4. es la antilinealidad: x, αy + βz = α x, y + β x, z. Ejemplo 2 Un ejemplo de producto interno en C n (o R n ) está dado por: x, y := x i y i i=1 donde x := (x 1, x 2,..., x n ) t y y := (y 1, y 2,..., y n ) t. Teorema 4 Para todo producto interno se tiene la desigualdad de Cauchy Schwarz: x, y 2 x, x y, y, para todo x, y X, además se tiene igualdad si para todo x, y son linealmente dependientes. Prueba: Si x = 0 la desigualdad es trivial. Si x 0, tome luego es claro que z, x = 0 y que: z = y y, x x, x x, 0 z 2 y, x y, x = y x, y x, x x, x x y, x x, y = y, y x, x = y 2 x, y 2 x, x, de donde se tiene la desigualdad. Además se tiene igualdad si para todo x, y son linealmente dependientes (ejercicio). 5

7 Teorema 5 Sea X un espacio vectorial complejo (o real). Entonces la función: x := x, x 1/2 define una norma en X, es decir un espacio pre Hilbert es siempre un espacio normado. Prueba: Ejercicio (use la desigualdad de Cauchy Schwarz para probar la desigualdad triangular). Definición 8 Dos elementos x y y de un espacio pre Hilbert se llaman ortogonales si: x, y = 0. Dos subconjuntos U y V se llaman ortogonales si u, v = 0 para todo u U y v V. Si dos elementos son ortogonales se denota x y y si dos conjuntos son ortogonales se denota U V. Un subconjunto U X se llama un sistema ortogonal si x, y = 0 para todo x, y U con x y. Un sistema ortogonal U de X se llama ortonormal si x = 1 para todo x U. Teorema 6 Los elementos de un sistema ortogonal son linealmente independientes. Prueba: Sea {q 1, q 2,..., q n } un sistema ortogonal, si α k q k = 0, i=1 y se multiplica a ambos lados por q j es inmediato que α j = 0 para todo j = 1, 2,..., n. Teorema 7 [Gram Schmidt] Sea {u 0, u 1,...} un conjunto finito o numerable de elementos linealmente independientes de un espacio de pre Hilbert. Entonces existe un sistema ortogonal único {q 0, q 1,...} de la forma: q n = u n + r n, para n = 0, 1,..., (1.3) con r 0 = 0 and r n gen{u 0, u 1,..., u n 1 }, para n = 1, 2,..., además se tiene que: gen{u 0, u 1,..., u n } = gen{q 0, q 1,..., q n }, para n = 0, 1,... (1.4) Prueba: Asumamos que hemos construido elementos de la forma 1.3 con la propiedad 1.4 hasta q n 1. Por la propiedad 1.4 los elementos {q 0, q 1,..., q n 1 } son linealmente independientes y por lo tanto q k 0 para k = 0, 1,..., n 1. Por lo tanto n 1 u n, q k q n = u n q k, q k q k k=0 está bien definido, y usando la hipótesis de inducción es fácil notar que q n, q k = 0 n 1 u para k = 0, 1,..., n 1. Es claro que r n = n,q k q k,q k q k gen{q 0, q 1,..., q n 1 } = k=0 gen{u 0, u 1,..., u n 1 }. La unicidad queda de ejercicio al lector. 6

8 1.3 Completitud Definición 9 Una sucesión de elementos en un espacio normado X se llama sucesión de Cauchy si para todo ε > 0 existe un N(ε) N tal que: x n x m < ε para todo n, m N(ε), es decir si lim x n x m = 0. n,m Teorema 8 Toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy. Prueba: Sea x n x cuando n, entonces para todo ε > 0 existe un N(ε) N tal que x n x < ε/2 para todo n N(ε), ahora usando la desigualdad triangular se tiene que: x n x m = x n x + x x m x n x + x m x < ε para todo n, m N(ε). Observación 2 El recíproco del teorema anterior no es válido en general, por esto tiene sentido dar la siguiente definición. Definición 10 Un subconjunto U de un espacio normado X se llama completo si toda sucesión de Cauchy de elementos de U converge a un elemento en U. Un espacio normado completo se llama espacio de Banach. Un espacio pre Hilbert se llama espacio de Hilbert si este es un espacio completo. Ejemplo 3 El espacio vectorial C[a, b] provisto con la norma: es un espacio de Banach. Prueba: (Ejercicio) f := max x [a,b] f(x) Ejemplo 4 El espacio vectorial C[a, b] provisto con la norma L 1 : NO es un espacio de Banach. f 1 := b a f(x) dx Prueba: Es evidente que f 1 es una norma. Sin pérdida de generalidad se toma [a, b] = [0, 2] y se escoge: { x n si 0 x 1, f n (x) := 1 si 1 < x 2. 7

9 Para todo m > n se tiene que: f n f m 1 = 1 0 (x n x m ) dx = 1 n cuando n, m, m + 1 por lo tanto (f n ) es una sucesión de Cauchy. Ahora, supongamos que la sucesión (f n ) converge a una función continua f con respecto a la norma L 1, es decir: Luego: 1 0 f(x) dx 1 0 f n f 1 0 cuando n. f(x) x n dx x n dx f f n n cuando n, de donde f(x) = 0 para 0 x 1. Además se tiene que 2 1 f(x) 1 dx = 2 1 f(x) f n (x) dx f f n 1 0 cuando n, esto implica que f(x) = 1 para 1 < x 2, por lo tanto f no es continua, lo cual es una contradicción. Sin embargo, se sabe que el espacio L 1 [a, b] de funciones medibles y Lebesgue integrables es completo con respecto a la norma L 1. Ejemplo 5 El espacio vectorial C[a, b] provisto con la norma L 2 : ( ) 1/2 b f 1 := f(x) 2 dx NO es un espacio de Banach. Prueba: Ejercicio (sug. use la misma sucesión del ejemplo 4). Teorema 9 Todo espacio normado de dimensión finita es un espacio de Banach. a Prueba: Sea X un espacio normado con base u 1, u 2,..., u n y sea (x ν ) una sucesión de Cauchy en X. Se puede escribir: x ν = α jν u j j=1 usando el Teorema 1 se tiene que existe un C > 0 tal que: max α jν α jµ C x ν x µ j=1,2,...,n para todo ν, µ N. Por lo tanto (α jν ) es una sucesión de Cauchy en C, entonces existen α 1, α 2,..., α n tales que α jν α j cuando ν para cada j = 1, 2,..., n por lo tanto (x ν ) converge a: x ν x := α j u j X cuando ν. j=1 8

10 1.4 El teorema de punto fijo de Banach Definición 11 Sea U un subconjunto de un espacio normado X. Un operador (una función) A : U X se llama una contracción si existe una constante q [0, 1[ tal que: Ax Ay q x y para todo x, y U. Definición 12 Sea U un un subconjunto de un espacio normado X, sea Y un espacio normado, entonces una función A : U Y se llama continua en x U si para toda sucesión (x n ) de U tal que lim x n = x se tiene que lim Ax n = Ax. Un operador n n A : U Y se llama continuo si es continuo en x para todo x U. Proposición 3 Toda contracción es un operador continuo. Prueba: La prueba es evidente, puesto que si x n x 0 cuando n entonces Ax n Ax 0 cuando n ya que Ax n Ax q x n x 0 cuando n. Definición 13 Un operador A : U X se llama Lipschitz con constante de Lipschitz L si existe una constante positiva L tal que: Ax Ay L x y para todo x, y U. Es decir, una contracción es un operador Lipschitz con constante menor que uno. Definición 14 Un operador A : X Y donde X y Y son espacios normados se llama lineal si: A(αx + βy) = αax + βay para todo x, y X y α, β C (o R). Teorema 10 Un operador lineal es continuo si solo si es continuo en un elemento. Prueba: Sea A : X Y un operador lineal continuo en x 0 X. Entonces para todo x X y para toda sucesión (x n ) x cuando n, se tiene que: Ax n = A(x n x + x 0 ) + A(x x 0 ) A(x 0 ) + A(x x 0 ) = Ax, cuando n. Definición 15 Un elemento x X (espacio normado) se llama punto fijo de un operador A : U X X si: Ax = x. (1.5) Teorema 11 Toda contracción tiene a lo más un único punto fijo 1. 1 Es decir, en caso de que la contracción tenga puntos fijos entonces tendrá solamente un punto fijo. 9

11 Prueba: Supongamos que x y y son puntos fijos de una contracción A, entonces 0 x y = Ax Ay q x y, de donde q 1, lo cual es una contradicción. Teorema 12 [Banach] Sea U un subconjunto completo de un espacio normado X y sea A : U U una contracción. Entonces A tiene un punto fijo único. Prueba: Sea x 0 U entonces definimos recursivamente la siguiente sucesión en U: De donde se tiene que: x n+1 := Ax n, para n = 0, 1, 2,.... x n+1 x n = Ax n Ax n 1 q x n x n 1, luego por inducción se deduce que: x n+1 x n q n x 1 x 0, para n = 0, 1, 2,.... Por lo tanto para m > n se tiene que: x n x m x n x n+1 + x n+1 x n x m 1 x m (1.6) ( q n + q n q m 1) x 1 x 0 qn 1 q x 1 x 0. Como q n 0 cuando n entonces (x n ) es una sucesión de Cauchy y como U es completo entonces existe x U tal que x n x cuando n. Finalmente por la continuidad de A se tiene que: La unicidad se tiene por el teorema 11. x = lim n x n+1 = lim n Ax n = Ax. Ejemplo 6 Pruebe que la función f(x) = x2 2x, x [ 1, 1] tiene un punto fijo 6 único en [ 1, 1]. Solución: Como R es un espacio de Banach con la norma valor absoluto, se debe probar que f(x) [ 1, 1] x [ 1, 1]. Como f (x) = 1 x 1 (2x 2) = = x = 1 de donde los máximos o mínimos posibles están en x = 1 o x = 1, así el valor máximo es f( 1) = 1 2 y el valor mínimo es f(1) = 1 por lo que para todo 6 x [ 1, 1] se tiene que f(x) [ 1, 1], o sea que f tiene un punto fijo en [ 1, 1]. Para probar la unicidad, por el teorema del valor medio la constante L de Lipschitz está dada por: L = max f (x) = max x 1 x [ 1,1] x [ 1,1] 3 = = 2 3 < 1. Por lo tanto f es una contracción en [ 1, 1], luego la unicidad se tiene por el teorema 11 10

12 1.5 El teorema de la mejor aproximación Definición 16 Sea U un subconjunto de un espacio normado X y sea w X. Un elemento v U se llama la mejor aproximación a w con respecto a U si: w v inf w u, u U es decir, es el elemento u en U más cercano a w. Teorema 13 Sea U un subespacio de dimensión finita de un espacio normado X. Entonces para todo elemento w en X existe una mejor aproximación con respecto a U. Prueba: Sea w X y escojamos una sucesión (u n ) tal que u n U y satisface lo siguiente: w u n d := inf w u cuando n. u U Como u n w u n + w entonces (u n ) es una sucesión acotada. Por el Teorema 3 la sucesión (u n ) contiene una subsucesión convergente ( ) u n(l) con límite v U. Entonces: w v = lim w un(l) = d, l con lo que se prueba el teorema. Teorema 14 Sea U un subespacio vectorial de un espacio de pre Hilbert X. Un elemento v es la mejor aproximación a w X con respecto a U si y solo si: w v, u = 0 (1.7) para todo u U. Es decir, si y solamente si w v U. Además para cada w X existe a lo más una única mejor aproximación con respecto a U. Prueba: (ejercicio) Definición 17 Un operador A : X Y donde X y Y son espacios normados, se llama acotado si existe un número positivo C tal que: para todo x X. Ax C x Teorema 15 Un operador lineal A : X Y es acotado si y solamente si: A := sup Ax <. x =1 El número A es la más pequeña cota para A y se llama la norma de A. 11

13 Prueba: Asuma A es acotado con una cota C. Entonces sup Ax < C <, x =1 y entonces A es menor o igual que cualquier otra cota para A. Inversamente si A <, entonces usando la linealidad de la norma se tiene que: ( ) Ax = x A x A x x para todo x 0, por lo tanto A es acotado con cota C = A. Teorema 16 Sea U un subespacio vectorial completo de un espacio pre Hilbert X. Entonces para cada elemento w X existe una única mejor aproximación con respecto a U. El operador P : X U que le asigna a w X su mejor aproximación es un operador lineal acotado con las siguientes propiedades: P 2 = P y P = 1. Este operador se conoce como la proyección ortogonal de X sobre U. Prueba: (ejercicio) Corolario 1 Sea U un subespacio vectorial de dimensión finita de un espacio pre Hilbert X con base u 1, u 2,..., u n. Entonces la combinación lineal: v = α k u k k=1 es la mejor aproximación para w X con respecto a U si y solamente si los coeficientes α 1, α 2,..., α n satisfacen las ecuaciones normales: α k u k, u j = w, u j, para j = 1, 2,..., n. (1.8) k=1 Prueba: Es evidente que la ecuación 1.8 es equivalente a la ecuación 1.7. Corolario 2 Sea U un subespacio vectorial de dimensión finita de un espacio pre Hilbert X con base ortonormal u 1, u 2,..., u n. Entonces la proyección ortogonal está dada por: P w = w, u k u k, con w X. k=1 Prueba: Es evidente de 1.8 puesto que u k, u j = w, u k para k = 1, 2,..., n. { 0 si k j 1 so k = j luego α k = 12

14 Ejemplo 7 P 2 [0, 1] es un subespacio de dimensión finita del espacio pre Hilbert C[0, 1] dotado del producto interno f, g := 1 f(x)g(x)dx. Es fácil verificar que B = 0 {1, 3(2x 1), 5(6x 2 6x + 1)} es una base ortonormal de P 2 [0, 1]. Si tomamos f(x) = e x entonces la mejor aproximación de f(x) en P 2 [0, 1] es: P f = e x, e x, 3(2x 1) 3(2x 1) + e x, 5(6x 2 6x + 1) 5(6x 2 6x + 1) Gráficamente: = (e 1) + 3(3 e) 3(2x 1) + 5(7e 19) 5(6x 2 6x + 1) x x 2. Figure 1.1: Mejor aproximación 13