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Transcripción

1 Similitudes entre el espacio y las series de Fourier Funciones Ortogonales En esta sección se muestra la forma en que los conceptos vectoriales de producto interno, o producto escalar, y el de ortogonalidad de vectores pueden extenderse fácilmente a espacios de funciones. Es decir, una función se considerara como una generalización de vector. Preliminares de algebra lineal a) Producto interno: Si y son vectores de, se define su producto punto, producto interno o producto escalar como El producto punto a veces se escribe Se recuerda que el producto interno o producto escalar tiene las siguientes propiedades: 1) ; 2) ; f3) si ; 4) Por qué el producto interno es un concepto clave? Las siguientes razones motivan su importancia b) Vectores ortogonales: Dos vectores diferentes de cero de son perpendiculares u ortogonales, si y sólo si c) La norma o longitud de un vector : La longitud de un vector esta dada por d)angulo entre dos vectores El ángulo θ entre dos vectores y esta dado por José Humberto Serrano Devia Página 1

2 Una de las grandes ideas de los matemáticos del siglo XX fué dotar otros espacios diferentes de de un producto interno de tal manera que fuera posible una geometría en dicho espacio. e) Espacio Vectorial: Se dice que un conjunto no vacio es un espacio vectorial real si esta provisto de: i) Una operación de adición: La cual es conmutativa, asociativa, existe elemento neutro e inverso aditivo únicos. Es decir, para todo Existe un único elemento en denotado tal que para todo existe un único elemento denotado tal que ii) Una operación exterior entre y La cual satisface las siguientes propiedades para, y α β números reales arbitrarios: Ejemplo 1 José Humberto Serrano Devia Página 2

3 [ ] { [ ] [ ] } es un espacio vectorial real con las operaciones usuales de suma de funciones y multiplicación por escalar. Es decir,, para todo, para todo [ ] f) es un espacio vectorial sobre se encuentra equipado de un producto interno que representamos por, si existe una función tal que : 1) 2) 3) 4) g) Norma: El producto interno dá origen al concepto de longitud o norma ( la norma inducida por el producto interno ) definida por : La norma tiene las siguientes propiedades, para, y 1) y si y sólo si 2) 3) (Desigualdad triangular ) En este caso se dice es una norma y que es un espacio vectorial normado. h) Propiedades del producto interno y la norma Sea un espacio vectorial y un producto interno en dicho espacio. Sea la norma inducida por José Humberto Serrano Devia Página 3

4 h1) Desigualdad de Cauchy Schwarz- Bunyakovski: Si, Entonces h2) Desigualdad triangular: Si,. Entonces Demostracion de h2 Ejemplo 2 ( Producto interno entre funciones ). Sea [ ] se define un producto interno en este espacio por, para todo i) Funciones ortogonales Dos funciones y son ortogonales en un intervalo [ ] si y sólo si Ejemplo 3 Las funciones y g son ortogonales en el intervalo [ ], ya que José Humberto Serrano Devia Página 4

5 j) Angulo entre dos funciones El ángulo θ entre dos funciones y g está dado por k) Norma: La longitud o norma (la norma inducida por el producto interno) de un elemento esta dada por En el caso del ejemplo 2, la norma inducida es :. [ ] / El espacio En el estudio de las series de Fourier, el espacio con producto interno más importante es [ ]). Este es el espacio de funciones definidas en el intervalo [ ] tales que [ ] Es decir, el conjunto de todas las funciones definidas en el intervalo [ cuadrado integrable en [ ] ] de El producto interno en este espacio es obviamente José Humberto Serrano Devia Página 5

6 La desigualdad de Cauchy Schwarz- Bunyakovski en i,, entonces [ ] [ ] Notese que en virtud de la desigualdad anterior, si, [ ] entonces la integral existe y es finita ( luego el producto interior esta bien definido ) Otro espacio vectorial ( De Hilbert ) muy importante en el análisis de Fourier discreto es el espacio El espacio Ejemplo 4 Sea {{ } }, es un espacio vectorial con las operaciones usuales de suma de sucesiones y multiplicación por escalar. Se define el producto interno como La longitud o norma de una sucesión { } está dada por { } Ejercicios 1) Demostrar la ley del paralelogramo en el espacio : En un paralelogramo la suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus lados. 2) Demostrar el teorema de Pitágoras en el espacio : la función es ortogonal a la función si y sólo si 3) En el espacio, demostrar que si es continua y entonces para todo 4) Demostrar la desigualdad de Cauchy Schwarz- Bunyakovski en,, Entonces José Humberto Serrano Devia Página 6

7 (Sugerencia: Considerar la función auxiliar y observar que la gráfica es una parábola que se abre hacia arriba del eje y por lo tanto el discriminante es negativo ) 5) Conjuntos Ortogonales de funciones Un conjunto de funciones { } con valores reales se denomina ortogonal en un intervalo [ ] si y [ ] Conjuntos ortonormales Un conjunto ortogonal de funciones { } definidas en el intervalo en un intervalo [ ] se denomina ortonormal en el intervalo cuando, para.es decir: [ ] Cualquier conjunto { } ortogonal de funciones diferentes de la función cero puede normalizarse dividiendo cada elemento de entre su norma. Es decir, un conjunto de funciones { } se dice que es ortonormal en un intervalo [ ] cuando i) es un conjunto de funciones mutuamente ortogonales en [ ] y además, para toda y para todo entero no negativo En este caso, Ejercicios 1) a) Demostrar que el conjunto de funciones definidas el el intervalo [ ]: { } { } José Humberto Serrano Devia Página 7

8 cos ( ) ( ) { }, ( ) ( )- es decir, es el conjunto formado por las funciones : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) es un conjunto ortogonal en el intervalo [ ]. Este conjunto ortogonal fue introducido por Fourier en 8 en su obra THEORIE ANALYTIQUE DE LA CHALEUR Para la demostración se utilizan las identidades trigonométricas producto suma. Las normas son: ( ) ( ) Para determinar las correspondientes constantes de normalización del conjunto dado en(a) dividimos cada elemento del conjunto por su correspondiente norma, de modo que el conjunto sea ortonormal en [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) Ejercicio: a) Demostrar que el conjunto de funciones { } forma un conjunto ortogonal ( incompleto ) en el intervalo [ norma de cada función en el conjunto. ]. Encontrar la b) Determinar las correspondientes constantes de normalización del conjunto dado en (a), de modo que el conjunto sea ortonormal en [ ]. José Humberto Serrano Devia Página 8

9 Una analogía más entre vectores y funciones Sea { } un conjunto de tres vectores diferentes de cero y mutuamente ortogonales en. Luego es una base para. Esto es, cualquier vector se puede expresar como combinación lineal de los elementos de la base donde los, son escalares reales llamados componentes del vector Formando el producto interior de cada miembro de la expresión anterior con aplicando propiedades del producto interior, se obtiene y Ahora, puesto que y Se tiene que de manera análoga por lo tanto En Particular si es una base ortonormal, cada. Luego. En general si { } es una base ortogonal de. Entonces cualquier vector puede ser escrito como combinación lineal de los elementos de la base. José Humberto Serrano Devia Página 9

10 Entonces sus componentes relativas a la base son En particular si si es una base ortonormal, cada. Luego Serie generalizada de Fourier- Motivacion Si { } { } un conjunto de funciones mutuamente ortogonales en el intervalo [ ]. Se supone que cualquier función [ ] puede ser expresada como combinación lineal infinita de los elementos de (Serie generalizada de Fourier),donde son los coeficientes de Fourier de respecto a este conjunto ortogonal ( ) de donde Otra forma José Humberto Serrano Devia Página 10

11 Sea { } un conjunto de funciones mutuamente ortogonales en el intervalo [ ]. Si es una función definida en [ ] existen escalares tales que Demostraremos que si converge uniformemente a en. Entonces En efecto: Multiplicando ambos miembros de Por e integrando de a, se obtiene Donde el intercambio de integración y sumatoria esta justificado debido a que la serie de funciones converge uniformemente a. Ahora, como las funciones del conjunto son mutuamente ortogonales en el intervalo [ ], se tiene que { Por lo tanto, o bien Puesto que { } es un conjunto ortogonal se tiene que Esto implica que José Humberto Serrano Devia Página 11

12 Luego La serie Se denomina serie generalizada de Fourier de { } en el intervalo [ ]. respecto al conjunto ortogonal Si el conjunto { } es ortonormal en [ ] Entonces En este caso la serie generalizada de Fourier de { } es respecto al conjunto ortonormal Ejemplo. El conjunto { } { } ( ) ( ) es ortogonal en el intervalo [ ]. suponga que ( ) ( ) José Humberto Serrano Devia Página 12

13 * + [ ] Utilizando las relaciones de ortogonalidad se obtiene Luego, ( ) ( ) Conjuntos ortogonales y función peso En el espacio vectorial [ ] definimos el producto interior:, donde es una función positiva fija en [ ]. La función se denomina función peso. El conjunto { }, ( ) ( )- Es ortogonal en el intervalo [ ]respecto a la función peso. Ortogonalidad respecto a una función peso Un conjunto de funciones { } definidas en el intervalo [ ] se denomina ortogonal respecto a una función de peso en el intervalo [ ] cuando José Humberto Serrano Devia Página 13

14 y [ ] Sea { } un conjunto de funciones definidas que son mutuamente ortogonales respecto a la función de peso en el intervalo [ ]. Fácilmente se demuestra que si converge uniformemente a en [ ], entonces Conjuntos ortogonales completos [ ] Para desarrollar en una serie de funciones ortogonales, es necesario suponer que no es ortogonal a cada elemento del conjunto ortogonal { }. Si fuera así, entonces implica que para y. Para evitar esta dificultad suponemos que el conjunto es completo, es decir satisface la siguiente condición Definicion Un conjunto ortogonal { } de funciones definidas en el intevalo [ ] se denomina completo si la única función de [ ] ortogonal a cada función del conjunto es la función cero. Definicion Un sistema ortonormal { } es completo si para cualquier [ ] tal que entonces (Nota: obsérvese nuevamente que si es ortogonal a cada. Entonces ) Ejemplo { } donde es ortogonal en el intervalo [ ] pero no es completo. Conjunto de funciones linealmente independiente José Humberto Serrano Devia Página 14

15 Sea espacio vectorial y sea { } un subconjunto finito de Se dice que es linealmente dependiente si existen escalares reales no todos nulos tales que Si no es linealmente dependiente en este caso se dice que es linealmente independiente. Si es un subconjunto de ( no necesariamente finito ), se dice que es linealmente independiente si todo subconjunto de es linealmente independiente. En otro caso se dice que es linealmente dependiente Ejemplo { } { } es un conjunto linealmente independiente en [ ]. El proceso de ortogonalizacion de Gram-Schmidt Sea { } un subconjunto de [ ] si es linealmente independiente. Entonces puede ortogonalizarse, es decir, convertirse en un conjunto ortogonal utilizando el procedimiento de ortogonalizacion de Gram Schmidth. Para lo cual se define el siguiente conjunto de funciones Ejercicio s 1) a) Escribir y b) Por construcción el conjunto { } es ortogonal en [ ]. Demostrar que son mutuamente ortogonales José Humberto Serrano Devia Página 15

16 2) Considerar el conjunto de funciones { } { } definidas en el intervalo [ ]. Aplicar a este conjunto el procedimiento de ortogonalizacion de Gram-Schmidth para encontrar las tre primeras funciones del conjunto { }. Ejercicios 1) Sea [ ] { [ ] [ ] } el espacio vectorial de todas las funciones reales continuas en el intervalo [ ]. Se define a) Si, calcular b) Hallar un polinomio de primer grado que sea ortogonal a la función constante. 2) Sea [ ] y Se consideran las tres funciones Demostrar que dos de ellas son ortogonales, dos de ellas forman entre si un ángulo de, y dos forman entre si un ángulo de En el siguiente ejercicio se solicita verificar que las funciones dadas son ortogonales respecto a la función de peso indicada en el intervalo dado 3) Los tres primeros polinomios de Legendre son Verificar que son mutuamente ortogonales en el intervalo [ ]. Sea, Encontrar los tres primeros coeficientes en el desarrollo de José Humberto Serrano Devia Página 16

17 4) Repetir el ejercicio anterior para la función 5) Los tres primeros polinomios de Hermite son Verificar que son mutuamente ortogonales en el intervalo con respecto a la función de peso ( esto implica que ). Encontrar los tres primeros coeficientes en el desarrollo de Para la función 6) ) Los tres primeros polinomios de Chebyshev son Verificar que son mutuamente ortogonales en el intervalo [ ] con respecto a la función de peso ( esto implica nuevamente que ). Encontrar los tres primeros coeficientes en el desarrollo de Para la función Ejercicios 1) Sea { } un conjunto ortonormal en [ ]. Demostrar que [ ] es un mínimo cuando, donde José Humberto Serrano Devia Página 17

18 2) Si se aproxima por la suma de los primeros términos de una serie de Fourier donde las funciones { } son ortonormales en [ ] a) Demostrar que [ ] [ ] b) Si [ ] es el error cuadrático medio. Establecer la desigualdad de Bessel [ ] c) Demostrar que si son los coeficientes de Fourier de respecto al conjunto ortonormal { }, entonces [ ] Este resultado se conoce como fórmula o identidad de Parseval Conjuntos Ortogonales de funciones complejas Un conjunto de funciones de valores complejos { } definidas en el intervalo [ ] se denomina ortogonal en dicho intervalo si Y Conjuntos ortonormales de funciones complejas José Humberto Serrano Devia Página 18

19 Un conjunto ortogonal de funciones de valores complejos { } definidas en el intervalo [ ] se denomina ortonormal en dicho intervalo cuando, para s decir Cualquier conjunto { } ortogonal de funciones complejas diferentes de la función cero puede normalizarse. Para funciones (o señales ) periódicas es conveniente escoger como base ortogonal el conjunto de las exponenciales complejas armónicamente relacionadas. Esta elección es adecuada ya que las exponenciales complejas [ ] son funciones periódicas de periodo. Veamos que el conjunto de funciones complejas [ ] para forma un conjunto ortogonal en el intervalo [ ] [ ] [ ], Por lo tanto, el conjunto { [ ] } donde forma un conjunto ortonormal en el intervalo [ ]. Los conjuntos ortonormales son de utilidad ya que los desarrollos en serie de Fourier son más sencillos. Podemos utilizar la ortogonalidad del conjunto de exponenciales complejas armónicamente relacionadas { [ ]} para determinar los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier de exponenciales complejas: Sea una señal periódica con periodo, y sea el desarrollo en serie de Fourier en exponenciales complejas dado por [ ] donde José Humberto Serrano Devia Página 19

20 Multiplicando ambos lados por [ ], e integrando en el intervalo[ ], se obtiene que [ ] [ ] [ ] Por lo tanto, [ ] Debido a la periodicidad el intervalo de integración [ ] en esta ecuación puede sustituirse por, donde representa cualquier intervalo de longitud. El producto interno de dos funciones y de período y de valor complejo se define en la siguiente forma ( donde la barra sobre indica conjugación compleja ) Debido a la periodicidad el valor del producto interno no cambia si usamos un intervalo de longitud en la integral. Con frecuencia la función se conoce solo en los puntos equidistantes,. En este caso se define: Como la norma usual de la función esta definida por Se pueden hacer cálculos con este producto interno en la misma forma como con el producto interno definido en, con ciertas obvias modificaciones. Nótese especialmente que en el caso continuo se tiene que Donde es el complejo conjugado de. En particular José Humberto Serrano Devia Página 20

21 Relaciones de ortogonalidad para las exponenciales complejas armónicamente relacionadas Caso continuo: Caso discreto { [ ],, Demostracion En el caso continuo, si se tiene que [ ] [ ] 0 e p 1 con lo cual la ortogonalidad esta probada. Ahora, para [ ] [ ] En el caso discreto, sea, luego, [ ] [ ] [ ] [ ] Esta es una suma geométrica finita con razón [ ]. Si ( es un entero. Entonces y la suma es igual a. De otra forma si. Entonces [ ]. Aplicando la fórmula para la suma de un serie geométrica finita se tiene que José Humberto Serrano Devia Página 21

22 Si sabemos que la función tiene una expansión de la forma Donde en el caso continuo y en el caso discreto. Entonces formalmente se sigue que a Como para. Por lo tanto, cambiando por, se obtiene : Caso continuo Caso discreto [ ] [ ] Estos coeficientes se denominan coeficientes de Fourier. El tratamiento puramente formal se puede justificar fácilmente en el caso discreto. Para caso continuo, se requieren métodos avanzados que se escapan del objetivo de este curso. Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el universo José Humberto Serrano D-Universidad distrital Electrónica. José Humberto Serrano Devia Página 22