Si u y v son vectores cualquiera en W, entonces u + v esta en W. Si c es cualquier numero real y u es cualquier vector en W, entonces cu esta en W.

Transcripción

1 Unidad 4 Espacios vectoriales reales 4.1 Subespacios Si V es un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V. Entonces W es un subespacio de V si se cumplen las siguientes condiciones Si u y v son vectores cualquiera en W, entonces u + v esta en W. Si c es cualquier numero real y u es cualquier vector en W, entonces cu esta en W. Para determinar si u + v esta en W se siguen los siguientes pasos: 1. Elegir dos vectores cualesquiera de W y realizar la suma de ellos 2. Comparar el vector obtenido de la suma y verificar si pertenece a W, esto es, es de la misma forma de los vectores que pertenecen a W. Ejemplos: 1. Considerar el subconjunto W de R 4 de todos los vectores de la forma (a, b, c, d), donde c = d = 0. Se escribe el vector genérico de W considerando las condiciones dadas (a = b = 0). O sea, (a, b, 0, 0) Se eligen los vectores u y v utilizando nombres diferentes para los reales, por ejemplo: u = (a 1, b 1, 0, 0 y v = (a 2, b 2, 0, 0) La suma es (a 1, b 1, 0, 0)+(a 2, b 2, 0, 0) = (a 1 +a 2, b 1 +b 2, 0, 0), para verificar si esta suma esta en W, hacemos a = a 1 + a 2 y b = b 1 + b 2 y verificamos si estos valores coinciden con las características de los vectores en W, (a, b, 0, 0). Para este caso vemos que sí, ya que no hay ninguna relación entre a y b 1

2 4.1. SUBESPACIOS 2. Considerar el subconjunto W de R 4 de todos los vectores de la forma (a, b, c, d), donde a b = 2 Se escribe el vector genérico de W considerando las condiciones dadas (a b = 2). O sea, (a, b, c, d) Se elijen los vectores u y v utilizando nombres diferentes para los reales, por ejemplo: (a 1, b 1, c 1, c 2 ) y v = (a 2, b 2, c 2, d 2 ), donde a 1 b 1 = 2 y a 2 b 2 = 2 La suma es (a 1 + a 2, b 1 + b 2, c 1 + c 2, d 1 + d 2 ), si hacemos a = a 1 + a 2 y b = b 1 + b 2. Para que el vector suma esté en W se debe cumplir que a b = 2. Considerando las condiciones a 1 b 1 = 2 y a 2 b 2 = 2, se obtiene que (a 1 + a 2 ) (b 1 + b 2 ) = (a 1 b 1 ) + (a 2 b 2 ) = = 4 por lo cual u + v no esta en W. Para determinar si cu esta en W se procede de manera similar. Ejercicios sección 6.2: 5, 6, 7, 10, Combinación lineal Sean v 1, v 2, v k vectores en un espacio vectorial V, Un vector v es una combinación lineal de v 1, v 2, v k si v = c 1 v 1 + c 2 v 2 + c k v k (4.1) para ciertos números reales c 1, c 2, c k El desarrollo de la ecuación 4.1 lleva a un Sistema de Ecuaciones Lineales, de manera que, si este sistema el consistente, el vector v es una combinación lineal de v 1, v 2, v k, y si es inconsistente no lo es Conjunto generador de un espacio vectorial Un conjunto de vectores S = v 1, v 2, v k de un espacio vectorial V generan a V, si cada vector en V es una combinación lineal de v 1, v 2, v k. Se dice que S genera a V, y se escribe gen S = V. Para determinar si un conjunto de vectores v 1, v 2, v k generan el espacio vectorial V se realizan los pasos: Paso 1. Seleccionar un vector arbitrario v en V. Paso 2. Determinar si v es una combinación lineal de los vectores dados (Determinar la consistencia del sistema de ecuaciones resultante). Si lo es, los vectores dados generan a V ; si no, los vectores dados no generan a V. Gilberto Aguilar Miranda 2

3 UNIDAD 4. ESPACIOS VECTORIALES REALES Ver ejemplos 1, 2 y 3 (pag. 292) y ejemplo 6 (pag. 293) Hacer los siguientes ejercicios de la sección 6.3: 2, 4, Independencia lineal Un conjunto de vectores v 1, v 2, v k en un espacio vectorial V son linealmente independientes si la ecuación c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 (4.2) tiene solución única y esta es nula (c 1 = c 2 c k = 0). En caso contrario, son linealmente dependientes. El procedimiento para determinar si los vectores v 1, v 2, v k son linealmente independientes o linealmente dependientes es: Paso 1. Plantear la ecuación 4.2, la cual conduce a un sistema de ecuaciones lineales homogéneo. Paso 2. Si el sistema homogéneo tiene solución única (la trivial), entonces los vectores son linealmente dependientes; si tiene un numero infinito de soluciones, entonces los vectores son linealmente dependientes. Ver ejemplos 7, 8 y 9 (pag. 295) y ejemplo 11 (pag. 296). Hacer los siguientes ejercicios de la sección 6.3: 10, 12 y Bases de un espacio vectorial Para describir completamente un espacio vectorial V, se utiliza un conjunto de vectores de V que lo genere. El conjunto mínimo de vectores de V que describe totalmente a V se llama base del espacio vectorial. Definición: Los vectores v 1, v 2, v k en un espacio vectorial V forman una base para V, si son linealmente independientes y generan al espacio V. Si se tiene un conjunto de vectores S = v 1, v 2, v k de vectores en un espacio vectorial V, y gen S = W. Un subconjunto de S es una base para W. Gilberto Aguilar Miranda 3

4 4.3. RANGO DE UNA MATRIZ Para obtener una base para W que contenga vectores de S = {v 1, v 2, v k }, se sigue el siguiente procedimiento Paso 1. Formar la ecuación 4.2 c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 paso 2. Construir la matriz extendida asociada con el sistema de ecuaciones lineales homogéneo resultante y llevarla a la forma escalonada reducida por filas. paso 3. Los vectores de S correspondientes a las columnas que contienen a los 1s principales constituyen una base para gen S = W. Ver ejemplo 2 (pag. 303), ejemplos 3 y 4 (pag. 304) e interpretar teoremas 6.5 (pag. 305) y 6.6 (pag. 306). Ver ejemplo 5 (pag. 309). Hacer los siguientes ejercicios de la sección 6.4: 2, 3, 4, 7,9, 11, 12 Si se tiene la forma de todos los vectores de un subespacio vectorial W, para obtener una base para W, se expresa un vector arbitrario de W como una combinación lineal de vectores (ver ejemplo de clase), los vectores de la combinación lineal constituyen una base para W. Hacer los siguientes ejercicios de la sección 6.4: 19, 20, 21, Dimensión La dimensión de un espacio vectorial no nulo es la cantidad de vectores de una de sus bases. 4.3 Rango de una matriz Para una matriz A de m n, las filas de A v 1 = (a 11, a 12,, a 1n ) v 2 = (a 21, a 22,, a 2n ). v m = (a m1, a m2,, a mn ) considerados como vectores de R n generan un subespacio de R n, denominado espacio fila de A. Análogamente, las columnas de A w 1 = a 11 a 21. a m1, w 2 = Gilberto Aguilar Miranda 4 a 12 a 22. a m2, w m = a 1n a 2n. a mn

5 UNIDAD 4. ESPACIOS VECTORIALES REALES consideradas como vectores de R m, generan un subespacio de R m, denominada el espacio columna de A. Para determinar una base (y la dimensión) del espacio fila de una matriz A, se utiliza la propiedad anterior. Esto es, se lleva la matriz a la forma escalonada reducida por filas, una base para el espacio fila de A está formado por las filas no nulas (ver ejemplo de clase). La dimensión del espacio fila y la dimensión del espacio columna son iguales. Si las matrices A y B son equivalentes por filas, entonces los espacios fila de A y B son iguales La dimensión del espacio fila (columna) de una matriz se conoce como rango de la matriz. El procedimiento anterior se utiliza para determinar una base para un subespacio de R n. Si S = {v 1, v 2, v k } es un conjunto de vectores de R n, y gen S = W, una base para W se obtiene con el siguiente procedimiento: Paso 1. Formar una matriz A con los vectores de S como filas. Paso 2. Determinar la forma escalonada por filas de A. Paso 3. Las filas no nulas de esta matriz forman una base para W La base que se obtiene no necesariamente tiene vectores de S, ver el ejemplo de clase. Ver los ejemplos 1 (pag. 329), 2 (pag. 330) y 3 (pag. 331) 4.4 Vectores de coordenadas Lo que hace del concepto de base algo realmente útil es que, recurriendo a ellas, cualquier vector queda identificado mediante los coeficientes de la única combinación lineal que lo expresa en función de los vectores de la base. A estos coeficientes se les llama coordenadas. En un espacio vectorial de dimensión finita, si se dispone de una base, conocer un vector viene a ser lo mismo que conocer sus coordenadas. Ejemplo. Dada la base S = {(2, 3), (5, 2)} para R 2 y el vector v = (4, 1), el vector de coordenadas de v respecto a la base S se obtiene de la siguiente manera: Se obtienen los coeficientes de la única combinación lineal del vector v c 1 (2, 3) + c 2 (5, 2) = (4, 1) (2c 1, 3c 1 ) + (5c 2 + 2c 2 ) = (4, 1) (2c 1 + 5c 2, 3c 1 + 2c 2 ) = (4, 1) Gilberto Aguilar Miranda 5

6 4.4. VECTORES DE COORDENADAS aplicando la definición de vectores en R 2 2c 1 + 5c 2 = 4 3c 1 + 2c 2 = 1 la solución de este sistema de ecuaciones lineales es c 1 = 3 11 c 2 = 8 11 Entonces el vector de coordenadas es Para el vector w = (2, 4) se obtiene [v] S = [ ] 3/11 8/11 c 1 (2, 3) + c 2 (5, 2) = (2, 4) (2c 1 + 5c 2, 3c 1 + 2c 2 ) = (2, 4) aplicando la definición de vectores en R 2 2c 1 + 5c 2 = 2 3c 1 + 2c 2 = 4 la solución de este sistema de ecuaciones lineales es c 1 = c 2 = 8 11 Entonces el vector de coordenadas es [w] S = [ ] 13/11 8/11 Para los vectores v y w y el escalar k se cumple [v + w] S = [v] S + [w] S [kv] S = k[v] S ambas propiedades se pueden combinar para obtener [k 1 v 1 + k 2 v k n v n ] S = k 1 [v 1 ] S + k 2 [v 2 ] S + + k n [v n ] S (4.3) Gilberto Aguilar Miranda 6

7 UNIDAD 4. ESPACIOS VECTORIALES REALES Cambio de base Sea V un espacio vectorial de dimensión n. Hemos visto que cualquier vector v queda determinado de manera única conociendo un sistema de coordenadas respecto de una base de V. Ahora bien, si elegimos otra base de V, v tendrá otras coordenadas, distintas a las anteriores. Como, a veces, hay que realizar cambios de base en los espacios vectoriales, nos preguntamos: Qué relación guardan las coordenadas del vector respecto de ambas bases? Para determinar la relación, se utilizará un espacio vectorial de dimensión 2. Si se tienen las bases S = {u 1, u 2 } y T = {v 1, v 2 } para R 2 y el vector w. Si las coordenadas del vector w respecto a la base S son (a 1, a 2 ), el vector w R 2 se puede expresar como w = a 1 u 1 + a 2 u 2 Los vectores de la base S se pueden escribir como combinaciones lineales de los vectores de la base T, esto es: u 1 = b 1 v 1 + b 2 v 2 u 2 = c 1 v 1 + c 2 v 2 o sea, las coordenadas de u 1 respecto a la base T son (b 1, b 2 ), y las coordenadas de u 2 respecto a la base T son (c 1, c 2 ). Si se sustituyen las expresiones para u 1 y u 2 como combinaciones lineales de v 1 y v 2 en la ecuación w = a 1 u 1 + a 2 u 2, se tiene w = a 1 u 1 + a 2 u 2 = a 1 (b 1 v 1 + b 2 v 2 ) + a 2 (c 1 v 1 + c 2 v 2 ) = (a 1 b 1 + a 2 c 1 )v 1 + (a 1 b 2 + a 2 c 2 )v 2 donde se identifica que (a 1 b 1 + a 2 c 1 ) y (a 1 b 2 + a 2 c 2 ) son las coordenadas de w respecto a la base T, y se puede escribir [ ] a1 b [w] T = 1 + a 2 c 1 a 1 b 2 + a 2 c 2 [ ] [ ] [ ] [ ] a1 b = 1 a2 c + 1 b1 c1 = a a 1 b 2 a 2 c 1 + a 2 b 2 2 c 2 [ ] [ ] b1 c = 1 a1 b 2 c 2 a 2 las columnas de las matriz se identifican como los vectores de coordenadas de u 1, u 2 respecto a la base T, y el vector columna como el vector de coordenadas de w respecto a la base S, por lo que [w] T = [ ] [u 1 ] T [u 2 ] T [w]s Gilberto Aguilar Miranda 7

8 4.4. VECTORES DE COORDENADAS Para un un espacio vectorial V de dimensión n y las bases S = {u 1, u 2,, u n } y T = {v 1, v 2,, v n }, se generaliza a [w] T = [ [u 1 ] T [u 2 ] T [u n ] T ] [w]s (4.4) A la matriz [ [u 1 ] T [u 2 ] T [u n ] T ] se le conoce como la matriz de transición o matriz de cambio de base de la base S a la base T y se denota como P T S o algunas veces simplemente como P. La relación entre las coordenadas de un vector respecto a dos bases se obtiene por medio de una ecuación matricial [w] T = P T S [w] S Ejemplo. Encontrar la matriz de transición de la base S = {(2, 3), (1, [ 2)} ] a la base 2 T = {(4, 1), (3, 1)}, luego usar esta matriz para determinar [w] T si [w] S = 5 Como se indica en la ecuación 4.4, la columnas de la matriz de transición corresponden a los vectores de coordenadas de los vectores de la base origen (en este caso S) respecto a la base destino (T ). Se obtienen las coordenadas de los vectores de la base S (2, 3) = b 1 (4, 1) + b 2 (3, 1) (1, 2) = c 1 (4, 1) + c 2 (3, 1) En forma matricial se escriben [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] b1 = b b 1 2 = b 2 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] c1 = c c 1 2 = Se tienen dos sistemas de ecuaciones lineales con la misma matriz de coeficientes, que sabemos, tienen solución única y que se pueden resolver por Gauss-Jordan [ ] [ ] / /7 1 Las coordenadas para el vector (2,3) son ((11/7, 10/7), y para el vector (1,2) son (1,-1). La matriz de transición es [ 11/7 ] 1 10/7 1 El vector de coordenadas [w] T se calcula con [ ] [ ] 11/7 1 2 = 10/7 1 5 [ ] 13/7 15/7 Hacer los siguientes ejercicios de la sección 6.7: 2, 3, 7, 8, 13, 21, 23. c 2 Gilberto Aguilar Miranda 8

9 UNIDAD 4. ESPACIOS VECTORIALES REALES 4.5 Espacios con producto interno Sea V un espacio vectorial real. Un producto interno en V es una función que asigna a cada par ordenado de vectores u y v de V un número real, denotado por (u, v) que satisface las propiedades: 1. (u, u) 0 y (u, u) = 0 si y solo si u = 0 2. (u, v) = (v, u) 3. (u + v, w) = (u, w) + (v, w) 4. (cu, v) = c(u, v)) La longitud de un vector se define como u = (u, u). La distancia entre dos vectores se define como d(u, v) = u v. Dos vectores son ortogonales si su producto interno es cero, (u, v) = 0. Un conjunto de vectores es ortogonal si cada par de vectores es ortogonal. Un conjunto ortogonal de vectores es ortonormal si todos los vectores tienen longitud de uno. El producto interno mas importante de R n es el producto punto definido cuando se vio el producto de matrices. Si u = (u 1, u 2,, u n ) y v = (v 1, v 2,, v n ) el producto interno estándar o canónico es (u, v) = u v = u 1 v 1 + u 2 v u n v n (4.5) Proceso de Gram-Schmidt Sea S = {u 1, u 2, u 3,, u n } una base para un espacio vectorial V, el proceso de Gram-Schmidt permite obtener una base ortonormal T = {v 1, v 2, v 3,, v n } para V a partir de la base S. El procedimiento para determinar la ecuación general que permite obtener una base ortogonal es el siguiente. Se toman los vectores u 1 y u 2, y se elige v 1 = u 1. Estos dos vectores son una base para un subespacio de V, ahora se busca un vector v 2 en ese subespacio tal que sea ortogonal a v 1. Entonces los vectores v 1 y v 2 son una base ortogonal para el subespacio. Como v 2 pertenece al subespacio, se puede expresar como una combinación de los vectores u 1 y u2 v 2 = c 1 v 1 + c 2 u 2 Gilberto Aguilar Miranda 9

10 4.5. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO y como se requiere que sea ortogonal a v 1 v 1 v 2 = 0 si se sustituye la ecuación de v 2 en el producto punto y se simplifica v 1 (c 1 v 1 + c 2 u 2 ) = c 1 (v 1 v 1 ) + c 2 (v 1 u 2 ) = 0; Se tiene una sola ecuación y dos valores a determinar, c 1 y c 2, por lo que se puede elegir arbitrariamente una de ellas, por conveniencia se elige c 2 = 1, entonces se tiene que Y el vector v 2 es c 1 = u 2 v 1 v 1 v 1 ( ) u2 v 1 v 2 = u 2 u 2 v 1 v 1 Ahora se agrega el tercer vector, u 3, para tener la base {v 1, v 2, u 3 } para otro subespacio de V, y a partir de ella se obtiene una base ortogonal {v 1, v 2, v 3 }. Para obtener el vector v 3 se sigue el mismo procedimiento que se utilizó anteriormente, donde v 3 pertenece al subespacio y es ortogonal a v 1 y a v 2, por lo que: v 3 = c 1 v 1 + c 2 v 2 + c 3 u 3 v 1 v 3 = 0 v 2 v 3 = 0 al sustituir la combinación de v 3 en las ecuaciones del producto punto se obtiene: v 1 (c 1 v 1 + c 2 v 2 + c 3 u 3 ) = c 1 (v 1 v 1 ) + c 2 (v 1 v 2 ) + c 3 (v 1 u 3 ) = c 1 (v 1 v 1 ) + c 3 (v 1 u 3 ) = 0 v 2 (c 1 v 1 + c 2 v 2 + c 3 u 3 ) = c 1 (v 2 v 1 ) + c 2 (v 2 v 2 ) + c 3 (v 2 u 3 ) = c 1 (v 2 v 2 ) + c 3 (v 1 u 3 ) = 0 Si se elige arbitrariamente c 3 = 1 c 1 = v 1 u 3 v 1 v 1 c 2 = v 2 u 3 v 2 v 2 Por lo que ( ) v1 u 3 v 3 = u 3 v 1 v 1 v 1 ( v2 u 3 v 2 v 2 ) v 2 Gilberto Aguilar Miranda 10

11 UNIDAD 4. ESPACIOS VECTORIALES REALES De manera similar, se determina el resto de los vectores de la base ortogonal. La ecuación para la obtención de los vectores de la base ortogonal, se pueden escribir de la siguiente manera: i 1 ( ui v j v i = u i v j v j Ver ejemplos 3 (pag. 354), 4 ( pag. 357) y 5 (pag. 357). Hacer los siguientes ejercicios de la sección 6.7: 2, 3, 8, 19. j=1 ) v j (4.6) Gilberto Aguilar Miranda 11