Espacios Vectoriales. Matemáticas. Espacios Vectoriales CARACTERIZACION COMBINACIONES LINEALES REDUCCION DE GAUSS SISTEMA GENERADOR, BASES

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1 Espacios Vectoriales Matemáticas Espacios Vectoriales CARACTERIZACION COMBINACIONES LINEALES REDUCCION DE GAUSS SISTEMA GENERADOR, BASES 5

2 ESPACIO VECTORIAL Dados: (E,+) Grupo Abeliano (K,+, ) Cuerpo : K x E E una lce. Se dice que (E,+, ) es un espacio vectorial sobre K (K-espacio vectorial ó Kev) si cumple: α,β K (1) α (β u) = (α β) u (3) α (u + v) = α u + α v u, v E (2) (α + β) u = α u + β u (4) 1 u = u Ejemplo: (R 2,+) es espacio vectorial sobre R. PROPIEDADES DEL K-ev α,β K (1) α 0 = 0 (4) -(α u) = (-α) u = α (-u) u, v E (2) 0 u = 0 (5) α u = α v α 0 u = v (3) α u = 0 α = 0 u = 0 (6) α u = β u v 0 α = β SUBESPACIO VECTORIAL Dados: (E,+, ) K-Espacio Vectorial H E, H ( vacio: sin elementos) Se dice que (H,+, ) es un Subespacio Vectorial de E si es un K-ev (espacio Vectorial sobre K). Es decir: H E H es K-ev H es subespacio vectorial de E Caracterización del SUBESPACIO VECTORIAL: Dado (E,+, ) un K-ev y H E, H. H es subespacio vectorial de E α,β K α u + β v H u,v H PROPIEDADES DE LOS SUBESPACIOS VECTORIALES La INTERSECCION de subespacios vectoriales de E, SI es subespacio vectorial de E (E,+, ) es K-ev { H i } i I una familia de S.E.V de E H i es S.E.V de E i I Demostracion: H 1 = { (x, y, z) / x + y + z = 0 } H 2 = { ( x, y, z ) / x y + z = 0 } son S.E.V de R 3 H 1 H 2 = { (x, y, z) / x + y + z = 0 = { (x, y, z) / x + z = 0 y = 0} = {(x, y, z) / x = - z y = 0} x y + z = 0 Caso particular: (1, 0, -1) + (-2, 0, 2) = (-1, 0, 1) H 1 H 2 es lci α (1, 0, -1) + β (-2, 0, 2) H 1 H 2 α,β K La interseccion es S.E.V La UNION de subespacios vectoriales de E, NO es subespacio vectorial de E (E,+, ) es K-ev { H i } i I una familia de S.E.V de E H i no es S.E.V de E Demostracion: de R 2 H 1 = { (0,y) / y R } H 2 = { ( x,0) / x R } son S.E.V 6

3 Si (0,1) H 1 también H 1 H 2 Si H 1 H 2 fuera S.E.V la suma seria lci y no lo és. Si (1,0) H 1 también H 1 H 2 (0,1) + (1,0) = (1,1) H 1 H 2 La SUMA de subespacios vectoriales (el conjunto suma) SI es subespacio vectorial de E (E,+, ) es K-ev H,G dos S.E.V de E H + G es S.E.V de E Demostracion: H + G = { v E / v = h + g tal que h H g G} Queremos demostrar que H + G E h + g H+G h + g H+G α (h + g) + β (h + g ) = (α h + β h ) + (α g + β g ) H+G α,β K por el teorema H+G es S.E.V de E COMBINACIONES LINEALES (C.L) Dado (E,+, ) un K-ev {v 1,v 2,...,v n } un sistema de vectores de E. El vector ω E es c.l de v 1,...,v n si escalares α 1,...,α n tales que ω = α 1 v 1 + α 2 v α n v n A los escalares α 1, α 2,..., α n se les llama coordenadas de ω respecto de v 1, v 2,...,v n ENVOLTURA Ó CLAUSURA LINEAL Dado S = {v 1, v 2,..., v n } E (K-ev) llamamos envoltura lineal de S al conjunto de todas las comb. lineales. < S > = { Σ α i v i / α i K } i = 1 i { 1, 2..., n} Propiedades: (1) < S > (3) < S > es sub-ev de E, y es el menor sub-ev de E que contiene a S (2) S < S > (4) Si S T <S > < T > Si S < T > < S > < T > n SISTEMAS EQUIVALENTES Dos sistema de vectores de E (S 1 y S 2 ) son equivalentes cuando lo son sus envolturas lineales S 1 S 2 < S 1 > = < S 2 > DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL Un sistema de n vectores S es linealmente independiente (l.i) ó libre si no se puede expresar como combinación lineal de otros. Es decir: ω = α 1 v 1 + α 2 v α n v n = 0 α i = 0 i {1...n} Un sistema de n vectores S es linealmente dependiente (l.d) ó ligado si se puede expresar como combinación lineal de otros. Es decir: ω = α 1 v 1 + α 2 v α n v n = 0 i ; α i 0 (No todos α i = 0) Propiedades: (1) El conjunto {0} y cualquier sistema de vectores que lo contenga será ligado. (2) Si x 0, x E {x} es libre. (3) Si S es libre/ligado, entonces cualquier subconjunto de S es libre/ligado. (4) Un sistema es ligado existe algún vector que sea c.l del resto. 7

4 REDUCCION POR GAUSS Consiste en a partir de un sistema de vectores iniciales conseguir sistemas equivalentes hasta llegar a un sistema final, si este contiene el vector cero el sistema es ligado. De una manera gráfica se busca, mediante transformaciones permitidas, obtener una cascada descendiente de ceros que parte de debajo de a 11 con (al menos) un cero, después (al menos) dos ceros y así sucesivamente. Esos vectores son libres si a i i 0. Por lo que si uno de los vectores es cero el sistema será ligado.* Ej: a 1 = ( 2, 1, 0, 0, 0 ) Sistema Libre b 1 = ( 1, 1, 1, 1 ) ( 1, 1, 1, 1 ) Sistema Ligado a 2 = ( 2, 5, 3, 0, 0 ) de b 1 = ( 1, 2, 0, 1 ) ( 0, 2, - 2, 0 ) No hay a 3 = ( 3, 1, 4, 2, 0 ) Vectores libres b 1 = ( 1, 0, 2, 1 ) ( 1, 0, 2, 1 ) cascada posible a 4 = ( 2, 3, 5, 6, 2 ) Propiedades: (1) < u, v > = < α u, βu + v > α 0 (2) {u, v} libre {αu, βu + v} es libre * (3) En R n los vectores: { (a 11, a 12,..., a 1n ), (0, a 22,..., a 2n ),..., (0,..., 0,..., a r n ) } son libres si a i i 0 Operaciones elementales con las cuales la dependencia ó independencia lineal no varia: (1) Intercambiar vectores (2) Multiplicar un vector por un escalar no nulo (3) Sumar a un vector otro multiplicado por un escalar DEFINICION DE SISTEMA GENERADOR Dado (E,+, ) un K-ev S un sistema de vectores de E. Decimos que S es sistema generador de E, si E se puede expresar como combinación lineal de S. Es decir, si todo vector de E se puede expresar como c.l de los vectores de S. Y se cumple que: S es sistema generador de E E = < S > BASE DE UN SIST. DE VECTORES Dado S un sistema de vectores de E, decimos que S es una base de E si: S es libre S es sistema generador de E Es decir, que a partir de S se pueden obtener todos los vectores de E. Base canónica: Cualquier vector x = (x 1,..., x n ) de R n se puede escribir de la forma: (x 1, x 2,..., x n ) = x 1 (1, 0,..., 0) + x 2 (0, 1,..., 0) + x n (0,...,0, 1) Siendo u 1 = (1, 0,..., 0), u 2 = (0, 1,..., 0),..., u n = (0, 0,..., 1) una base de R n llamada base canónica. Dimensión de un sistema de vectores: 8

5 En un ev todas las bases tienen el mismo numero de vectores, y le llamamos dimensión de E (dim E). Ej: dim R 3 = 3 Teorema de la Base Incompleta: Si {v 1, v 2,..., v n } es un sistema libre de r vectores en el espacio vectorial de V de dim V = n con r < n, entonces {w r+1,..., w n } tales que {v 1,..., v r, w r+1,..., w n } es base de V. Consecuencia: dim E = n V libre V es base de E 9

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