Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Álgebra Lineal Básica - Grupo 3 Taller 3

Transcripción

1 Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Álgebra Lineal Básica - Grupo Taller (1) Es el conjunto de los números reales con las operaciones de suma y multiplicación un R-espacio vectorial? Explique (2) En R 2 se definen las siguientes operaciones para (a b) (c d) R 2 y para λ R: (a) (a b) + 1 (c d) = (a + d b + c); λ 1 (a b) = (λa λb) (b) (a b) + 2 (c d) = (a + b c + d); λ 2 (a b) = (0 λb) (c) (a b) + (c d) = (a + ib b + id); λ (a b) = (λa λb) (d) (a b) + (c d) = (a + ic b + id); λ (a b) = (λa λb) Es R 2 + k k para k = 1 2 un R-espacio vectorial? Explique () Considere V el conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales de la forma (x y 0) y defina las operaciones + y por: (x y 0) + (x y 0) := (x + x y + y 0) λ (x y 0) := (λx λy 0) donde λ R Muestre que V con estas operaciones resulta ser un R-espacio vectorial () En R se definen las siguientes operaciones para (x y z) (x y z ) R y para λ R: (a) (x y z) + 1 (x y z ) := (x + x y + y z + z ); λ 1 (x y z) := (λx λy λz) (b) (x y z) + 2 (x y z ) := (x y + y z ); λ 2 (x y z) := (x 1 z) Es R + k k para k = 1 2 un R-espacio vectorial? Explique (5) Sea V un F -espacio vectorial Muestre que si u 0 y αu = βu entonces α = β ( ) a b 0 (6) Sea W M 2 (R) que consta de las matrices de la forma donde a b c R 0 c d Muestre que W es un subespacio vectorial de M 2 (R) (7) Cuáles de los siguientes de subconjuntos de R son subespacios? Explique (a) W 1 := {(a b 2) a b R} (b) W 2 := {(a b c) a b c R y c = a + b} (c) W := {(a b c) a b c R y c > 0} (d) W := {(a b c) a b c R y b = 2a + 1} (8) Sea P 2 := {a 2 t 2 + a 1 t + a 0 a 2 a 1 a 0 R} el espacio vectorial de todos los polinomios de grado 2 con coeficientes en R Cuáles de los siguinetes subconjuntos de P 2 son subespacios? 1

2 (a) W 1 := {a 2 t 2 + a 1 t + a 0 a 0 = 0} (b) W 2 := {a 2 t 2 + a 1 t + a 0 a 0 = 2} (c) W := {a 2 t 2 + a 1 t + a 0 a 2 + a 1 = a 0 } (d) W := {a 2 t 2 + a 1 t + a 0 a 0 = 0 = a 1 } (e) W 5 := {a 2 t 2 + a 1 t + a 0 a 2 + a 1 + a 0 = 2} (9) Demuestre que el conjunto de todas las soluciones de Ax = b donde A M m n (R) no es subespacio de R n si b 0 (10) Muestre que los únicos subespacios de R son {0} y R (11) Sean W 1 y W 2 subespacios de un F -espacio vectorial V Sea W 1 + W 2 := {w 1 + w 2 w 1 W 1 w 2 W 2 } Muestre que W 1 + W 2 es un subespacio de V {( ) ( ) ( )} (12) Demuestre que S = es un conjunto generador del espacio vectorial de las matrices simétricas de tamaño 2 2 (1) Considere los vectores p 1 (t) = t 2 +t+2 p 2 (t) = 2t 2 +t p (t) = t 2 +2t+2 de P 2 Determine si estos vectores son linealmente independientes (1) Dado el R-espacio vectorial R 2 (con las operaciones usuales de suma de pares ordenados y multiplicación de un par ordenado por un escalar) determine cuáles de los siguientes subconjuntos de R 2 son linealmente independientes y halle además el subespacio generado por cada uno de ellos: (a) L 1 = {(1 0) (1 1)} (b) L 2 = {( 2) (6 )} (c) L = {(5 1) ( 0) ( 2 )} (15) Dado el R-espacio vectorial R (con las operaciones usuales de suma de ternas ordenadas y multiplicación de una terna ordenada por un escalar) determine cuáles de los siguientes subconjuntos de R son linealmente independientes y halle además el subespacio generado por cada uno de ellos: (a) M 1 = {(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)} (b) M 2 = {(1 0 1) ( 1 1 1) (0 1 0)} (c) M = {(1 0 2) ( 1 )} (d) M = {(π 2 0)} (16) Cuáles de los siguentes conjuntos de vectores generan a R? (a) S 1 = {( ) ( ) ( ) ( )} (b) S 2 = {( ) ( ) ( )} (c) S = {( ) ( ) ( ) ( )} (17) Es S = {t + 2t + 1 t 2 t + 2 t + 2 t + t 2 5t + 2} un conjunto generador de P? 2

3 (18) Sean v 1 v 2 v R n Suponga que v 1 es ortogonal a v 2 y a v y que v 2 es ortogonal a v Si v 2 v 2 y v son diferentes de 0 demuestre que el conjunto {v 1 v 2 v } es linealmente independiente (19) Cuáles de los siguientes subconjuntos de M 2 2 (R) son linealmente independientes? { ( ) ( ) ( ) ( ) } (a) S 1 = { ( ) ( ) ( ) } (b) S 2 = { ( ) ( ) ( ) ( ) } (c) S = (20) Para qué valores de λ son los vectores ( 1 0 1) (2 1 2) (1 1 λ) en R linealmente independientes? (21) Suponga que S = {v 1 v 2 v } es un conjunto linealmente independiente de un espacio vectorial V Muestre que T = {w 1 w 2 w } donde w 1 = v 1 + v 2 + v w 2 = v 2 + v y w = v también es linealmente independiente (22) Suponga que los ejes x y y en el plano se rotan en sentido positivo (al contrario de las manecillas del reloj) un ángulo θ (medido en radianes) Esta rotación da nuevos ejes que se denotan por x y y De este modo e 1 rota a un vector v 1 y e 2 a un vector v 2 tal que B 2 = { v 1 v 2 } es una base para R 2 a) Demuestre que v 1 = ( cos θ sin θ ) y v 2 = ( ) sin θ cos θ b) Demuestre ( que la matríz ) de cambio de coordenadas de la base usual a B 1 está dada cos θ sin θ por sin θ cos θ ( ) c) Si θ = π 6 escriba el vector en términos de los nuevos ejes coordenados x y y (2) Sea A M 5 (R) dada por: Hallar: (a) Una base para el espacio nulo A (b) Una base para el espacio fila de A (c) Una base para el espacio columna de A (d) Nulidad rango rango fila y rango columna de A (El rango fila (resp columna) de A es la dimensión del espacio fila (resp columna) de A)

4 (2) Sean u y v vectores en R linealmente independientes Muestre que S = {u v u v} es una base de R (25) Muestre que el conjunto de vectores {t n t n 1 t 1} forma una base para el espacio vectorial P n denominada base canónica base estándar o base natural para P n (26) Considere el espacio vectorial P de los polinomios en t de grado con coeficentes en R (a) Probar que S = {1 1 t (1 t) 2 (1 t) } es una base de P (t) (b) Hallar el vector coordenado [u] S de u = 2 t + t 2 + 2t (27) Dado el campo F = R y el R-espacio vectorial R 2 (con las operaciones usuales de suma de pares ordenados y multiplicación de un par ordenado por un escalar) y un vector arbitrario (x y) R 2 determine el vector de coordenadas de (x y) respecto a cada una de las siguientes bases ordenadas de R 2 : (a) B 1 = {(1 0) (1 1)} (b) B 2 = {(1 0) (0 1)} (c) B = {(5 1) ( 0)} (28) En P 2 (espacio de polinomios de grado 2 con coeficientes en R) la base canónica es S 1 = {1 t 2 t } Sea S 2 = {t 1 2t 2 t t 2 + }; muestre que S 2 es una base para P 2 Además si p(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 escriba p(t) en términos de los polinomios de S 2 (29) Sea S = {v 1 = ( ) v 2 = ( ) v = ( 2 2) v = ( ) v 5 = (5 5 )} Determine una base para W = S (0) En los problemas que siguen a continuación escriba (x y x) R respecto a cada una de las siguientes bases ordenadas de R a) B 1 = {(1 0 0) (0 0 1) (1 1 1)} b) B 2 = {(1 0 0) (1 1 0) (1 1 1)} c) B = {(1 0 1) ( 1 1 0) (0 1 1)} d) B = {(2 1 ) ( 1 5) ( 2 )} e) B 5 = {(a 0 0) (b d 0) (c e f)} donde adf 0 ( ) 2 1 (1) En M 2 2 (R) escriba la matriz en términos de la base 6 ( ) ( ) } (2) En R 2 suponga que (x) B1 = { ( ) ( ) } 0 5 B 2 = 1 ( 2 1) donde B 1 = { ( ) ( ) { ( ) ( ) } 1 2 Escriba x en términos de 1

5 () En R suponga que (x) B1 = 2 { 1 donde B 1 = } 0 Escriba x en { 1 0 } términos de B 2 = () Sea B 1 = { e 1 e e } la base canónica de R Sea A = la matriz de transición de B 1 a una nueva base B 2 = { f 1 f 2 f } a) Halle f 1 f 2 f en términos de e 1 e 2 e b) Sea x R tal que (x) B1 = 2 Hallar (x) B2 5 (5) Sean S = {(1 0 1) ( 1 0 0) (0 1 2)} y T = {( 1 1 0) (1 2 1) (0 1 0)} subconjuntos de R Sean v = (1 8) y w = ( 1 8 2) (a) Demuestre que S y T son bases para R (b) Determine los vectores de coordenadas de v y w con respecto a la base T (c) Cuál es la matriz de transición A de base T a la base S? (d) Determine los vectores de coordenadas de v y w con respecto a S usando la matriz de transición hallada en (c) (e) Cuál es la matriz de transición B de base S a la base T? 5