Problemas de Espacios Vectoriales

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1 Problemas de Espacios Vectoriales Natalia Boal Francisco José Gaspar María Luisa Sein-Echaluce Universidad de Zaragoza 1 En IR 2 se definen las siguientes operaciones + : x, y + x, y = x + x, y + y, IR : λx, y = λx, 0 Estudia si IR 2, +, IR es un espacio vectorial real 2 Con las siguientes operaciones, es IR 2 un espacio vectorial real? x, y + x, y = x + x, y + y, λx, y = 0, 0 3 Con las siguientes operaciones, es IR 2 un espacio vectorial real? x, y x, y = 2x x, 2y y, λx, y = λx, λy 4 Cuáles de los siguientes subconjuntos de IR 3 son subespacios vectoriales? S 1 = {x, y, z/2x + y = 0, 3z + y = 0}, S 2 = {x, y, z/z = 2}, S 3 = {x, y, z/z = x + y}, S 4 = {x, y, z/y > 0}, S 5 = {x, y, z/x = z = 0}, S 5 = {x, y, z/y = 2x + 1} 5 Cuáles de los siguientes subconjuntos de IR 4 son subespacios vectoriales? S 1 = {x, y, z, t/t Z}, S 2 = {x, y, z, t/x y = 4} 6 En el espacio vectorial real V = IR 4 se consideran los subconjuntos S = {x 1, x 2, x 3, x 4 / x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0}, T = {x 1, x 2, x 3, x 4 / x 1 = x 2 = x 3 = x 4 } a Comprueba que S y T son subespacios de V 1

2 b Determina una base de S y una de T c Comprueba que S y T son subespacios suplementarios respecto de V 7 En el espacio vectorial IR 3 se consideran los subespacios Prueba que IR 3 = S T S = {x 1, x 2, x 3 / x 1 + x 2 + x 3 = 0}, T = {x, 2x, 3x / x IR} 8 Dado el espacio vectorial IR 3 y los subespacios a Comprueba que S 1 + S 2 S 1 S 2 S 1 = {x, y, z/x = 0}, S 2 = {x, y, z/y = 0}, S 3 = {x, y, z/y = z = 0} b Comprueba que la suma S 1 + S 2 no es directa c Prueba que IR 3 = S 1 S 3 9 Sea V = IR 3 y se consideran los subespacios vectoriales: S = IR < {1, 2, 1, 1, 3, 2} >, T = IR < {1, 1, 0, 3, 8, 5, 2, 7, 5} > Estudia si S = T 10 Sea el subespacio de IR 4 S = IR < {1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 0 3, 3, 0, 0} > Halla un subespacio suplementario de S respecto de IR 4 11 En IR 3 se considera el subespacio S = {x 1, x 2, x 3 / x 1 + x 2 x 3 = 0, x 1 + x 2 + x 3 = 0} a Halla T V, un subespacio suplementario de S respecto de IR 3 b Teniendo en cuenta que IR 3 = S T, descompón el vector v = 1, 2, 1 como suma de un vector de S y otro de T 12 Sean S = IR 1, 1, 1, 1, 2, 0, T = IR 2, 0, 1, 3, 0, 1 Da las ecuaciones que definen los espacios S y T Da una base de S T Da base y ecuaciones de un suplementario de S T Da una base de S + T 13 En IR 4 da un suplementario de S = {x, y, z, t : x + y + z + t = 0, x y + z t = 0} 2

3 14 Halla un sistema generador del subespacio de IR 3 : S = {x, y, z / x = a + 2b + 3c, y = a b, z = b c, a, b, c IR} Estudia si 5, 1, 1 S y 0, 0, 1 S 15 Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores de IR 3 son linealmente dependientes? Para aquellos que lo sean, expresa un vector como una combinación lineal del resto a {1, 2, 1, 3, 2, 5}, b {4, 2, 1, 2, 6, 5, 1, 2, 3}, c {1, 1, 0, 0, 2, 3, 1, 2, 3, 3, 6, 6}, d {1, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 0, 1} 16 Indica si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente independientes o no: a {1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 1} en IR 3 b {v 1 v 2, v 2 v 3, v 3 v 4, v 4 v 5 }, siendo v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 independientes de un espacio vectorial real V vectores linealmente 17 Determina una base para los siguientes subespacios de IR 3 S 1 = {x, y, z/x = y + z}, S 2 = {x, y, z/y = z}, S 3 = {x, y, z/x = 0} 18 Determina una base para los siguientes subespacios de IR 2 [x] S 1 = { a 0 + a 1 x + a 2 x 2 /a 0 = a 1 + a 2 }, S 2 = { a 0 + a 1 x + a 2 x 2 /a 1 = a 2 }, S 3 = { a 0 + a 1 x + a 2 x 2 /a 0 = 0} 19 Determina una base de S = IR < 1, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1 > Cuál es la dimensión de S? 20 Determina todos los valores de a para los cuales {a 2, 0, 1, 0, a, 2, 1, 0, 1} es una base de IR 3 21 En cada uno de los siguientes casos determina una base de S subespacio de V : a V = IR 5 y S = IR < {1, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1} > b V = IR 3 [x] y S = IR < { x 2 1, 3x 2 + 1, x 3, 2x 3 + 4x 2 } > c V = M 2 IR y S = IR < {A 1, A 2, A 3, A 4 } >, donde A 1 =, A 2 = , A 3 =, A 4 = 3

4 22 Sean V = IR 2 [x] y px = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 con a 2 0 Demuestra que {px, p x, p x} forman base de IR 2 [x] 23 Halla las coordenadas del polinomio px = 5x 4 + 6x 3 4x + 2 IR 4 [x] respecto de la base B = { 1, x 2, x 2 2, x 2 3, x 2 4 } 24 Sea V un espacio vectorial sobre IK tal que dimv = 6 y S 1, S 2 subespacios de V distintos tal que dims 1 = dims 2 = 4 Halla las posibles dimensiones de S 1 S 2 25 Se consideran en IR 4 los subespacios S 1, S 2 engendrados por las familias: A 1 = {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, A 2 = {1, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 5, 2, 5}, respectivamente Encuentra S 1 + S 2 y S 1 S 2 Son S 1 y S 2 suplementarios respecto de IR 4? 26 Sea V = M 2 IR y { a b S = c d { a b T = c d } / c = b, } / a = d = 0, c = b a Comprueba que S, T V b Halla una base de cada uno de estos subespacios c Calcula S T, S + T y justifica si se cumple que V = S T d Halla una base de V que contenga a las bases ya determinadas en el apartado b e Comprueba que B = {A 1, A 2, A 3, A 4 } es base de V con A 1 =, A 2 = 1 2, A 3 = f Calcula las coordenadas respecto de la base B de la matriz A = , A 4 = 27 Sean u, v, w vectores linealmente dependientes de V espacio vectorial sobre IK Razona si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: a Se verifica que u IK < {v, w} > b Alguno de los tres es combinación lineal de los otros dos c dim IK < {u, v, w} >= 2 28 Sean S = IK < {v 1, v 2 } > y T = IK < {u 1, u 2 } > subespacios vectoriales de V Razona si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: 4

5 a Se verifica que S + T = IK < {v 1, v 2, u 1, u 2 } > b A = {v 1, v 2, u 1, u 2 } es base de S + T c Además, S T d dimv 4 29 Sea V en espacio vectorial tal que dimv = n y sean S, T subespacios de V Justifica si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: a Sean S y T V cualesquiera tal que dims = dimt entonces S = T b Sean S y T V cualesquiera tal que dims = dimt = r entonces dimv 2r c Si dimv = dims + T entonces S T d Sean {v 1,, v r } sistema generador de S y de T, entonces S T {0 V } 5

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