ESPACIOS VECTORIALES

Transcripción

1 ESPACIOS VECTORIALES Sergio Stive Solano 1 Mayo de Visita

2 ESPACIOS VECTORIALES Sergio Stive Solano 1 Mayo de Visita

3 Espacio nulo y nulidad Definición 1.1 Sea A una matriz de m n y sea N A = {x R n : Ax = 0}. N A se denomina el espacio nulo de A y v(a) = dimn A se denomina nulidad de A. Si N A contiene sólo al vector cero, entonces v(a) = 0. El espacio nulo también se conoce como kernel. Ejemplo 1.1 Sea A = y v(a) = 1. ( ), N A está generado por 1 1 1, Teorema 1.1 Sea A una matriz de n n. Entonces A es invertible si y sólo si v(a) = 0

4 Imagen y rango Definición 1.2 (Imagen ) Sea A una matriz de m n. Entonces la imagen de A, denotada por Im(A), está dada por Teorema 1.2 Im(A) = {y R m : Ax = y para algún x R n } Sea A una matriz de m n. Entonces la imagen de A, Im(A) es un subespacio de R m. Definición 1.3 (Rango ) Sea A una matriz de m n. Entonces el rango de A, denotado por ρ(a), está dado por ρ(a) = dim Im(A)

5 las columnas Definición 1.4 ( las columnas ) Sea A una matriz de m n, sean {r 1, r 2,..., r m } los renglones de A y {c 1, c 2,..., c n } de A. Entonces se define R A = espacio de de A = gen{r 1, r 2,..., r m } C A = espacio de de A = gen{c 1, c 2,..., c n } R A es un subespacio de R m y C A es un subespacio de R n. Teorema 1.3 Para cualquier matriz A, C A = Im(A)

6 Ejemplos Sea A = ( ). A es una matriz de El espacio nulo de A, N A = {x R 3 : Ax = 0}. Como 1 se vio en el ejemplo 1, N A = gen La nulidad de A, v(a) = dimn A = 1. 3 Se sabe que Im(A) = C A. Las primeras columnas de A son vectores linealmente independientes en R 2 y, por lo tanto, forman una base para R 2. La Im(A) = C A = R 2. 4 ρ(a) = dim Im(A) = dimr 2 = 2. 5 R A = gen{(1, 2, 1), (2, 1, 3)}. Como estos dos vectores son linealmente independiente, se ve que R A es un subespacio de dimensión dos de R 3. R A es un plano que pasa por el origen. 6 ρ(a) = dimr A = 2.

7 las columnas Teorema 1.4 Si A es una matriz de m n, entonces Ejemplo 1.2 dimr A = dimc A = dim Im(A) = ρ(a). Encuentre una base para Im(A) y determine el rango de A = Solución. Como r 2 = 2r 1 y r 3 = 3r 1, se ve que ρ(a) = dimr A = 1. Así, toda columna en C A es una base para C A = Im(A).

8 las columnas Teorema 1.5 Si A es equivalente por renglones a B, entonces R A = R B, ρ(a) = ρ(b) y v(a) = v(b). Teorema 1.6 El rango es igual al número de pivotes en su forma escolanada por renglones. Ejemplo 1.3 Determine el rango y el espacio de de A =

9 las columnas Teorema 1.7 Sea A una matriz de m n. Entonces ρ(a) + v(a) = n Es decir, el rango de A más la nulidad de A es igual al número de columnas de A. Ejemplo 1.4 Para A = calcule v(a).

10 las columnas Teorema 1.8 Sea A una matriz de n n. Entonces A es invertible si y sólo si ρ(a) = n. Teorema 1.9 El sistema Ax = b tiene cuando menos una solución si y sólo si b C A. Esto ocurrirá si y sólo si A y la matriz aumentada (A, b) tienen el mismo rango. Ejemplo 1.5 Determine si el sistema 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 18 tiene soluciones. 4x 1 + 5x 2 + 6x 3 = 24 2x 1 + 7x x 3 = 40

11 GRACIAS POR SU ATENCIÓN