Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:

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1 4 Subespacios 29 b) x 5 [25;5], 5 [;24], z 5 [4;4] Use a 5 2, a 5 / a 5 2 / 2 c) Su propia elección de x,, z /o a 2 a) Elija algunos valores para n m genere tres matrices aleatorias de n m, llamadas X, Y Z Genere dos escalares aleatorios a b (por ejemplo, a 5 2*rand()-) Verifique todas las propiedades del espacio vectorial para estas matrices escalares Para demostrar A 5 B, demuestre que A 2 B 5 ; para la propiedad iii) decida cómo generar el idéntico aditivo para matrices de n m Repita para otros tres juegos de X, Y, Z, a b (para las mismas n m) b) (Lápiz papel) Pruebe las propiedades del espacio vectorial para M nm, las matrices de n m c) (Lápiz papel) Cuál es la diferencia entre los incisos a) b)? 4 SUBESPACIOS 2 Del ejemplo 42 de la página 282, se sabe que 5 {(x, ): x P P } es un espacio vectorial En el ejemplo 424 de la página 28, se vio que V 5 {(x, ): 5 mx} también es un espacio vectorial Adicionalmente, es evidente que V ( 2 2 Esto es, tiene un subconjunto que también es un espacio vectorial De hecho, todos los espacios vectoriales tienen subconjuntos que también son espacios vectoriales En esta sección se examinarán estos importantes subconjuntos DEFINICIÓN Subespacio Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma multiplicación por un escalar definidas en V Entonces se dice que H es un subespacio de V Se puede decir que el subespacio H hereda las operaciones del espacio vectorial padre V Existen múltiples ejemplos de subespacios en este capítulo; sin embargo, en primer lugar, se demostrará un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es en realidad un subespacio de V TEOREMA Subespacio Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura: Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vacío es un subespacio i Si x P H P H, entonces x P H ii Si x P H, entonces ax P H para todo escalar a DEMOSTRACIÓN Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura deben cumplirse De lo contrario, para demostrar que H es un espacio vectorial, debe demostrarse que los axiomas i) a x) en la página 282 se cumplen bajo las operaciones de

2 294 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales suma de vectores multiplicación por un escalar definidas en V Las dos operaciones de cerradura [axiomas i) iv)] se cumplen por hipótesis Como los vectores en H son también vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa, distributiva multiplicativa [axiomas ii), v), vii), viii), ix) x)] se cumplen Sea x P H Entonces x P H por hipótesis ii) Pero por el teorema 42 de la página 286, (parte ii), x 5 De este modo, P H se cumple el axioma iii) Por último, por la parte ii), (2)x P H para todo x P H Por el teorema 42 (parte iv), 2x 5(2l)x P H de manera que se cumple el axioma iv) la prueba queda completa Este teorema demuestra que para probar si H es o no es un subespacio de V, es suficiente verificar que x ax están en H cuando x están en H a es un escalar La prueba anterior contiene un hecho que por su importancia merece ser mencionado de forma explícita: Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al () Este hecho con frecuencia facilitará la averiguación de si un subconjunto de V en particular no es un subespacio de V Es decir, si un subconjunto no contiene al, entonces no es un subespacio Note que el vector cero en H, un subespacio de V, es el mismo que el vector cero en V A continuación se mostrarán algunos ejemplos de subespacios EJEMPLO El subespacio trivial Para cualquier espacio vectorial V, el subconjunto {} que consiste en el vector cero es únicamente un subespacio a que 5 a 5 para todo número real a [parte i) del teorema 42] Esto se denomina el subespacio trivial EJEMPLO 2 SUBESPACIOS PROPIOS Un espacio vectorial es un subespacio en sí mismo Para cada espacio vectorial V, V es un subespacio de sí mismo Los primeros dos ejemplos muestran que todo espacio vectorial V contiene dos subespacios, {} V (que coinciden si V 5 {}) Es más interesante encontrar otros subespacios Los subespacios distintos a {} V se denominan subespacios propios EJEMPLO Un subespacio propio de R 2 Sea H 5 {(x, ): 5 mx} (vea el ejemplo 424 de la página 28) Entonces, como a se dijo, H es un subespacio de 2 En la sección 46 (problema 5, página 9) se verá que si H es cualquier subespacio propio de 2, entonces H consiste en el conjunto de puntos que se encuentran sobre una recta que pasa por el origen; es decir, un conjunto de puntos que se encuentra sobre una recta que pasa por el origen es el único tipo de subespacio propio de 2 EJEMPLO 4 Un subespacio propio de R Sea H 5 {(x,, z): x 5 at, 5 bt z 5 ct; a, b, c, t reales} Entonces H consiste en los vectores en que se encuentran sobre una recta que pasa por el origen Para ver que H es un subespacio de, sea x 5 (at, bt, ct ) P H 5 (at 2, bt 2, ct 2 ) P H Entonces

3 4 Subespacios 295 x 5 (a(t t 2 ), b(t t 2 ), c(t t 2 )) P H ax5 (a(at l ), b(at 2 ), c(at )) P H Así, H es un subespacio de EJEMPLO 5 Otro subespacio propio de R Sea π 5 {(x,, z): ax b cz 5 ; a, b, c reales} Entonces, como se vio en el ejemplo 426 de la página 284, π es un espacio vectorial; así, π es un subespacio de En la sección 46 se demostrará que los conjuntos de vectores que se encuentran sobre rectas planos que pasan por el origen son los únicos subespacios propios de Antes de analizar más ejemplos, es importante observar que no todo espacio vectorial tiene subespacios propios EJEMPLO 6 R no tiene subespacios propios Sea H un subespacio de Si H {}, entonces H contiene un número real a diferente de cero Por el axioma vi), 5 (/ a) a P H b 5 b P H para todo número real b Así, si H no es el subespacio trivial, entonces H 5 Es decir, no tiene subespacios propios EJEMPLO Algunos subespacios propios de P n Si P n denota el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual a n (ejemplo 42, página 284), si # m, n, entonces P m es un subespacio propio de P n como se verifica fácilmente EJEMPLO 8 Un subespacio propio de M mn Sea M mn (ejemplo 42, página 285) el espacio vectorial de matrices de m n con componentes reales sea H 5 {A P M mn : a 5 } Por la definición de suma de matrices multiplicación por un escalar, es obvio que los dos axiomas de cerradura se cumplen de manera que H es un subespacio EJEMPLO 9 Un subconjunto que no es un subespacio propio de M mn Sea V 5 M nn (las matrices de n n) sea H 5 {A P M nn : A es invertible} Entonces H no es un subespacio a que la matriz cero de n n no está en H EJEMPLO Un subespacio propio de C[, ] P n [, ] ( C[, ] (vea el ejemplo 428 de la página 285) porque todo polinomio es continuo P n es un espacio vectorial para todo entero n de manera que cada P n [, ] es un subespacio de C[, ] Observe que R es un espacio vectorial real; es decir, R es un espacio vectorial en donde los escalares se toman como los números reales Éste es el ejemplo 42, página 282, con n 5 P n [, ] denota el conjunto de polinomios de grado menor o igual a n, definidos en el intervalo [, ]

4 296 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales EJEMPLO C [, ] es un subespacio propio de C[, ] Sea C [, ] el conjunto de funciones con primeras derivadas continuas definidas en [, ] Como toda función diferenciable es continua, se tiene C [, ] ( C[, ] Puesto que la suma de dos funciones diferenciables es diferenciable un múltiplo constante de una función diferenciable es diferenciable, se ve que C [, ] es un subespacio de C[, ] Se trata de un subespacio propio porque no toda función continua es diferenciable EJEMPLO 2 Otro subespacio propio de C[, ] Si f C[, ], entonces f( x) dx existe Sea H 5{ f C[, ]: f( x) dx5 } f H g H, Si entonces [ f ( x) g( x)] dx f ( x) dx g( x) dx f( x) dx f( x) dx Así f g af están en H para todo número real a Esto muestra que H es un subespacio propio de C[, ] Como lo ilustran los últimos tres ejemplos, un espacio vectorial puede tener un número grande variado de subespacios propios Antes de terminar esta sección, se demostrará un hecho interesante sobre subespacios TEOREMA 2 DEMOSTRACIÓN Sea H dos subespacios de un espacio vectorial V Entonces H es un subespacio de V Observe que H es no vacío porque contiene al Sea x H x 2 P H Entonces como H son subespacios, x x 2 P H, x x 2 P H 2 Esto significa que x x 2 P H De manera similar ax P H Por lo tanto, se cumplen los dos axiomas de cerradura H es un subespacio EJEMPLO La intersección de dos subespacios de es un subespacio En sea H 5 {(x,, z): 2x 2 2 z 5 } 5 {(x,, z): x 2 z 5 } Entonces H H 2 consisten en vectores que se encuentran sobre planos que pasan por el origen son, según el ejemplo 5, subespacios de H es la intersección de los dos planos que se calculan como en el ejemplo 9 de la sección 5: x 2 z 5 2x 2 2 z 5 reduciendo renglones, se tiene De este modo, todas las soluciones al sistema homogéneo están dadas por z, z, z 5 5 Haciendo z 5 t, se obtienen las ecuaciones paramétricas de la recta L en : x t, t, 5 5 z 5 t Como se observó en el ejemplo 4, el conjunto de vectores sobre L constitue un subespacio de 5 5

5 4 Subespacios 29 Observación No es necesariamente cierto que si H son subespacios de V, H es un subespacio de V (puede o no serlo) Por ejemplo, H 5 {(x, ): 5 2x} {(x, ): 5 x} son subespacios de 2, pero H no es un subespacio Para ver esto, observe que (, 2) P H (, ) P H 2 de manera que tanto (, 2) como (, ) están en H Pero (, 2) (, ) 5 (2, 5) F H porque (2, 5) F H (2, 5) P H 2 Así, H no es cerrado bajo la suma por lo tanto no es un subespacio Problemas 4 A UTOEVALUACIÓN De las siguientes aseveraciones, evalúe si son falsas o verdaderas x I Conjunto de vectores de la forma es un subespacio de x II El conjunto de vectores de la forma es un subespacio de z IIII El conjunto de matrices diagonales de es un subespacio de M IV El conjunto de matrices triangulares superiores de es un subespacio de M V El conjunto de matrices triangulares de es un subespacio de M VI Sea H un subespacio de M 22 Entonces debe estar en H x x VII Sea H : 2x z K : x 2 5z, entonces H K z z es un subespacio de VIII Si H K son los subconjuntos del problema VII, entonces H K es un subespacio de IX El conjunto de polinomios de grado 2 es un subespacio de P De los problemas al 26 determine si el subconjunto dado H del espacio vectorial V es un subespacio de V V 5 2 ; H 5 {(x, ); $ } 2 V 5 2 ; H 5 {(x, ); x 5 } V 5 2 ; H 5 {(x, ); 5 2x} 4 V 5 ; H 5 el plano x 5 V 5 2 ; H 5 {(x, ); x 2 2 # } 6 V 5 2 ; H 5 {(x, ) : x 2, } V 5 M mn ; H 5 {D P M mn ; D es diagonal} 8 V 5 M mn ; H 5 {T P M mn ; T es triangular superior} 9 V 5 M mn ; H 5 {T : T es triangular inferior} V 5 M mn ; H 5 {S P M mn : S es simétrica} V 5 M mn ; H 5 {A P M mn : a ij 5 } 2 V 5

6 298 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales V 5 4 V 5 5 V 5 6 V 5 P 4 ; H 5 {p P P 4 : grado p 5 4} 8 V 5 P 4 ; H 5 {p P P 4 : p() 5 } 9 V 5 P n ; H 5 {p P P n : p() 5 } 2 V 5 P n ; H 5 {p P P n : p() 5 } 2 V 5 C[, ]; H 5 {f P C[, ]: f () 5 f () 5 } 22 V 5 C[, ]; H 5 {f P C[, ]: f () 5 2} 2 V 5 C [, ]; H 5 {f P C [, ]: f 9() 5 } 24 V 5 C[a, b]; donde a b son números reales a, b; H 5 { f P C[a, b]: 25 V 5 C[a, b]; H 5 { f P C[a, b]: b a f (x) dx 5 } b a f (x) dx 5 } 26 2 Sea V 5 M 22 ; sean a) Demuestre que H son subespacios b) Describa el subconjunto de H 5 H muestre que es un subespacio 28 Si V 5 C[, ], sea H el subespacio del ejemplo el subespacio del ejemplo Describa el conjunto H demuestre que es un subespacio 29 Sea A una matriz de n m sea H 5 {x P m : Ax 5 } Demuestre que H es un subespacio de m H se llama espacio nulo de la matriz A En el problema 29 sea H 5 {x P m : Ax } Demuestre que H no es un subespacio de m Sea H 5 {(x,, z, w): ax b cz dw 5 }, donde a, b, c d son números reales, no todos cero Demuestre que H es un subespacio propio de 4 H se llama un hiperplano en 4 que pasa por el origen 2 Sea H 5 {(x, x 2,, x n ): a x a 2 x 2 a n x n 5 }, donde a, a 2,, a n son números reales no todos cero Demuestre que H es un subespacio propio de n Al igual que en el problema, H se llama un hiperplano en n Sean H subespacios de un espacio vectorial V Sea H H 2 5 {v: v 5 v v 2 con v P H v 2 P H 2 } Demuestre que H es un subespacio de V 4 Sean v v 2 dos vectores en 2 Demuestre que H 5 {v: v 5 av bv 2 ; a, b reales} es un subespacio de 2 *5 En el problema 4 demuestre que si v v 2 son no colineales, entonces H 5 2 *6 Sean v,, v n vectores arbitrarios en un espacio vectorial V Sea H 5 {v P V: v 5 a v a 2 v 2 a n v n, donde a, a 2,, a n son escalares} Demuestre que H es un subespacio de V H se llama el subespacio generado por los vectores v,, v n

7 44 Combinación lineal espacio generado 299 R ESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN I F II V III V IV V V F VI V VII F VIII V IX F MATLAB 4 a) Genere una matriz aleatoria A de 4 4 sea S 5 triu(a) triu(a)9 Verifique que S es simétrica b) Usando el inciso a), genere dos matrices aleatorias de 4 4 reales simétricas, S T, un escalar aleatorio, a Verifique que as S T también son simétricas Repita para otros cuatro juegos de S, T a c) Por qué se puede decir que se ha reunido evidencia de que el subconjunto de matrices simétricas de 4 4 es un subespacio de M 44? d) (Lápiz papel) Pruebe que el subconjunto de matrices simétricas de n n es un subespacio de M nn 44 COMBINACIÓN LINEAL Y ESPACIO GENERADO Se ha visto que todo vector v 5 (a, b, c) en se puede escribir en la forma v 5 ai bj ck En cuo caso se dice que v es una combinación lineal de los tres vectores i, j k De manera más general, se tiene la siguiente definición DEFINICIÓN Combinación lineal Sean v,, v n vectores en un espacio vectorial V Entonces cualquier vector de la forma a v a 2 v 2 a n v n () donde, a, a 2,, a n son escalares se denomina una combinación lineal de v,, v n EJEMPLO Una combinación lineal en R En 5 5 es una combinación lineal de 2 a que