Espacios de una Matriz

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1 Espacios de una Matriz Departamento de Matemáticas, CSI/ITESM 31 de enero de 2008 Índice 4.1. Espacios de una Matriz Espacios Lineales Ecuaciones con Matrices Resolviendo XA = B Espacios de una Matriz Primeramente veremos dos espacios asociados a una matriz A: el espacio columna y el espacio renglón. Existen dos resultados importantes: uno que formula el problema de pertenencia a un espacio columna como un problema para determinar la consistencia de un sistema lineal. Este resultado permite resolver sistemas de ecuaciones lineales. Y el otro que permite la comparación entre dos espacios generados: esto permite resolver ecuaciones matriciales. Definición Sea A una matriz m n, el espacio columna de A es el conjunto de aquellos vectores de R m que se pueden expresar como combinaciones lineales de las n columnas de la matriz A. Así, el espacio columna de A consiste de aquellos vectores de la forma x 1 a 1 + x 2 a x n a n Donde x 1, x 2,...,x n son escalares y los vectores a 1,a 2,...,a n son las columnas de la matriz A. Observe que la fórmula anterior es Ax. De esta observación y de la definición misma del espacio columna se tiene: Si Teorema 4.1 Para cualquier matriz A m n y vector b en R m : b está en el espacio columna de A si y sólo si Ax = b es consistente. Ejemplo 1 A = indique si el espacio columna de A incluye al vector b =< 4, 2, 3 >. Solución A la luz del teorema previo, la pregunta se convierte en ver si Ax = b es consistente. Formando la aumentada y reduciendo tenemos:

2 Al ser consistente el sistema, se concluye que b pertenece al espacio columna de A. Más aún usando la solución particular tenemos: = Ejercicio 1 Si A = Diga si el siguiente vector pertence a su espacio columna. 4 b = 1 1 Ejercicio 2 Si A = Cómo debe ser el vector general de R 3 para pertenecer a el espacio columna de la matriz A? Definición El espacio renglón de una matriz A m n es el conjunto de todos los vectores de R n que son combinaciones lineales de los renglones de A. Así, la forma general del espacio renglón de A es: x 1 a 1 + x 2 a x m a m donde x 1, x 2,...,x m son escalares y a 1,a 2,...,a m son los renglones de A. Notación 1. El símbolo C(A) representará el espacio columna de la matriz A. 2. El símbolo R(A) representará el espacio renglón de A Espacios Lineales Definición Un conjunto no vacío V de matrices m n se dice espacio lineal si cumple los dos siguientes requisitos o axiomas: 1. El conjunto es cerrado bajo la suma. Es decir, si A y B son dos matrices cualquiera de V, entonces A + B también es un elemento de V. 2

3 2. El conjunto es cerrado bajo el producto por escalares. Es decir, si A es una matriz cualquiera de V y k es un escalar cualquiera, entonces ka es una matriz que también pertence a V. Ejercicio 3 Demuestre que para cualquier matriz, su espacio columna es un espacio lineal. Ejercicio 4 Demuestre que el conjunto {0} es un espacio lineal. El siguiente teorema (Teorema 1 en la lectura) permite establecer la relación entre el espacio columna y el espacio renglón: Ejercicio 5 Demuestre la siguiente afirmación: Para cualquier matriz A, y C(A) si y sólo si y R(A ). Ejercicio 6 Demuestre la siguiente afirmación: Sean A y B matrices m n, y V un espacio lineal de matrices m n. Si A V : A+B V si y sólo si B V. Definición Sea V un espacio lineal de matrices m n, un subconjunto U de V se dice subespacio lineal de V si U es a su vez un espacio lineal. El siguiente teorema permite comparar espacios generados reduciendo al problema de saber si los generadores pertenecen a un espacio lineal: Teorema 4.2 Sea A una matriz m n. Entonces, para cualquier subespacio U de R m : C (A) U si y sólo si cada columna de A pertenece a U Similarmente, para cualquier subespacio V de R 1 n, R(A) V si y sólo si cada renglón de A pertence a V. Demostración Sea a = [a 1,a 2,...,a n ]. Si Col (A) U, entonces a i U dado que a i = 0 a a a i a n. Supongamos que a i U. Si y Col(A) entonces deben existir escalares x 1, x 2,...,x n tales que y = x 1 a 1 + x 2 a x n a n Como cada a i pertenece a U, también x i a i U al ser cerrado bajo el producto por escalares y también por ser U cerrado bajo la suma. y = x 1 a 1 + x 2 a x n a n U 3

4 4.3. Ecuaciones con Matrices Los siguientes resultados relacionan los espacios asociados una matriz con la solución de ecuaciones con matrices en el caso general que ocurre con matrices no cuadradas o singulares. En el siguiente resultado se da la clave para resolver sistemas de la forma AX = B: Teorema 4.3 Para cualquier matrices A m n, y B m q, C(B) C(A) si y sólo si existe una matriz X que cumpla B = AX. Similarmente, para cualquier matrices A m n, C q n, R(C) R(A) si y sólo si existe una matriz Z q m tal que C = ZA. Demostración Sean b 1,b 2,...,b q las columnas de B. Existe una matriz X que cumple B = AX si y sólo si existen vectores columna x 1,x 2,...,x q de dimensión n tales que b i = Ax i esto es si y sólo si x i C(A). Es importante comentar que, precisamente los vectores x i contiene los coeficientes en orden de las columnas de la matriz A que dan como resultado los vectores x i. Ejemplo Consideremos las matrices: A = y B = Verifique si acaso C(B) C(A). Solución Debemos verificar si cada columna de la matriz B es combinación lineal de las columnas de la matriz A. De entrada, este proceso debe hacerse columna a columna: Columna 1 de B Construimos la matriz aumentada [A b 1 ] y aplicamos eliminación gaussiana: Por lo tanto, [A b 1 ] = b 1 = 2a 1 + 0a 2 + 0a 3 + 0a 4 + 0a Columna 2 de B Construimos la matriz aumentada [A b 2 ] y aplicamos eliminación gaussiana: [A b 2 ] = Por lo tanto, b 2 = 1a 1 + 0a 2 + 0a 3 + 0a 4 + 0a 5 4

5 Columna 3 de B Construimos la matriz aumentada [A b 3 ] y aplicamos eliminación gaussiana: Por lo tanto, [A b 3 ] = b 3 = 1a 1 + 0a 2 1a 3 + 0a 4 + 0a Columna 4 de B Construimos la matriz aumentada [A b 4 ] y aplicamos eliminación gaussiana: Por lo tanto, [A b 4 ] = b 4 = 0a 1 + 0a 2 + 1a 3 + 0a 4 + 0a Como cada columna de B es combinación lineal de las columnas de A, C(B) C(A). La matriz X que hace referencia el teorema anterior es aquella constituida por los coeficientes de las combinaciones lineales considerados como columnas: X = Cabe observar que en los sistemas de ecuaciones que surgen al buscar los coeficientes de las posibles combinaciones lineales que dan los vectores b i como combinación lineal de los a j existen soluciones infinitas. Por consiguiente, la matriz X localizada no es única. Cómo localizar todas las posibles matrices X que cumplen AX = B? Ejemplo Consideremos las matrices: A = y B = AX = B Apliquemos el proceso de eliminación gaussiana a la matriz aumentada [A B]: [A B] = Así: b 1 = (2 x)a 1 + (0 x)a 2 + (0 + x)a 3 5

6 b 2 = ( 1 y)a 1 + (0 y)a 2 + (0 + y)a 3 Por lo tanto ó Ejercicio 7 X = b 3 = (1 z)a 1 + (2 z)a 2 + (0 + z)a 3 X = + x 2 x 1 y 1 z 1 x 0 y 2 z 0 + x 0 + y 0 + z y z Consideremos las matrices: A = y B = AX = B Ejercicio 8 Consideremos las matrices: A = y B = AX = B 4.4. Resolviendo XA = B Sabiendo como se resuelve CY = D, es decir una ecuación matricial con la incógnita multiplicando a la derecha, es relativamente fácil resolver una donde la incógnita multiplica a la izquierda: XA = B Para ello tomemos la transpuesta de la ecuación a resolver, por la propiedades algebraicas conocidas nos queda: A X = B Ahora basta tomar Y = X, C = A, y D = B y resolver para Y. Una vez resuelta para Y, tomamos X = Y. Ejercicio 9 6

7 Consideremos las matrices: A = y B = BX = A Ejercicio 10 Consideremos las matrices: A = y B = XA = B Corolario 4.4 Para cualquier matrices A m n y F n q, C(AF) C(A). Similarmente, si L es una matriz q m, R(LA) R(A). Es una consecuencia inmediata el teorema 4: Basta tomar B = AX. Ejercicio 11 Demuestre C(B) C(A) si y sólo si existe X tal que AX = B Corolario 4.5 Para cualquier matrices A m n, E n k, F n p, L q m, y T s m. Si C(E) C(F), entonces C(AE) C(AF). Si C(E) = C(F), entonces C(AE) = C(AF). Si R(L) R(T), entonces R(LA) R(TA). Si R(L) = R(T), entonces R(LA) = R(TA). 7

8 Ejercicio 12 Demuestre Corolario 4.6 Para cualquier matrices A m n y B m p. Entonces Si C(A) C(B) si y sólo si R(A ) R(B ). Si C(A) = C(B) si y sólo si R(A ) = R(B ). 8

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