Álgebra Lineal IV: Espacios Vectoriales.

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1 Álgebra Lineal IV: Espacios Vectoriales José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica y Electrónica Universidad de Guanajuato jrico@salamancaugtomx En estas notas se definirán los espacios vectoriales, esta es la estructura matemática sobre la cual actua el álgebra lineal, se presentan algunos ejemplos de espacios vectoriales y algunas de sus propiedades fundamentales 1 Espacios vectoriales Definición de espacios vectoriales Un espacio vectorial, V, sobre un campo K cuyos elementos se denominan escalares, es un conjunto V, cuyos elementos se denominan vectores, con dos operaciones, una que se llama adición vectorial, +, y otra que se llama multiplicación por escalar, denotada simplemente por yustaposición, tal que se satisfacen las siguientes propiedades, conocidas como axiomas: 1 El conjunto V junto con la operación de adición vectorial, + constituye un grupo conmutativo o abeliano + : V V V v 1 + v 2 v 3, 2 Clausura respecto a la multiplicación por escalar Para cada pareja de elementos k K y v 1 V existe un único elemento v 2 V tal que : K V V k v 1 v 2 3 La multiplicación por escalar es distributiva respecto a la adición vectorial k( v 1 + v 2 ) k v 1 + k v 2 k K, y v 1, v 2 V 4 La multiplicación escalar es distributiva respecto a la adición de escalares 5 La multiplicación escalar es pseudoasociativa (k 1 + k 2 ) v k 1 v + k 2 v k 1,k 2 K, y v V (k 1 k 2 ) v k 1 (k 2 v) k 1,k 2 K y v V 6 Propiedad del idéntico multiplicativo del campo Si 1 K es el idéntico multiplicativo, se tiene que 1 v v v V 1

2 Es importante señalar que los teoremas que se indicaron para grupos son aplicables por igual para el grupo aditivo contenidos en un espacio vectorial Además, los campos mas usuales son el campo de los números reales, R, y el campo de los números complejos, C, si un espacio vectorial está definido sobre el campo de los números reales, R, el espacio vectorial se denomina real, de manera semejante, si un espacio vectorial está definido sobre el campo de los números complejos, C, el espacio vectorial se denomina complejo Ejemplos de espacios vectoriales Existen muchos ejemplos de espacios vectoriales: 1 El conjunto de eneadas ordenadas de números reales, R n definido como R n { x (x 1,x 2,,x n ) x 1,x 2,x n R}, donde dos vectores a (a 1,a 2,,a n ), b (b 1,b 2,,b n ) R n son iguales si, y sólo si, a i b i i 1,2,,n junto con la operación adición vectorial, definida como, a + b (a 1,a 2,,a n ) + (b 1,b 2,,b n ) (a 1 + b 1,a 2 + b 2,,a n + b n ) a, b R n, (1) y con la multiplicación escalar real, definida como, λ a λ(a 1,a 2,,a n ) (λ a 1,λ a 2,,λ a n ) λ R y a R n, (2) forman un espacio vectorial real, denominado R n Pueba: La clausura respecto a la adición Es fácil probar a partir de la definición, vea la ecuación (1), pues el resultado es otra eneada ordenada de números, que resultan de la suma de dos números reales y por las propiedades de clausura de la adición del campo de los números reales, los números son también números reales La suma de vectores es asociativa Sean a, b, c R n entonces a + ( b + c) (a 1,,a n ) + [(b 1,,b n ) + (c 1,,c n )] (a 1,,a n ) + (b 1 + c 1,,b n + c n ) [a 1 + (b 1 + c 1 ),,a n + (b n + c n )] [(a 1 + b 1 ) + c 1,,(a n + b n ) + c n ] [(a 1 + b 1 ),,(a n + b n )] + (c 1,,c n ) [(a 1,,a n ) + (b 1,,b n )] + (c 1,,c n ) ( a + b) + c La suma de vectores es conmutativa Sean a, b R n entonces a + b (a 1,,a n ) + (b 1,,b n ) (a 1 + b 1,,a n + b n ) (b 1 + a 1,,b n + a n ) (b 1,,b n ) + (a 1,,a n ) b + a Existencia del idéntico aditivo Sea a (a 1,,a n ) R n arbitrario, suponga que i (i 1,,i n ) R n es el idéntico aditivo del espacio vectorial R n entonces por las propiedades del idéntico aditivo Por lo tanto a + i a a + i (a 1,,a n ) + (i 1,,i n ) (a 1 + i 1,,a n + i n ) (a 1,,a n ) Los últimos vectores de la ecuación son iguales si y sólo si a 1 + i 1 a 1 i 1 ( a 1 ) + a 1 0 a n + i n a n i n ( a n ) + a n 0 2

3 Por lo tanto el idéntico aditivo de R n está dado por i (i 1,,i n ) (0,,0) 0 De ahora en adelante, el idéntico aditivo se denominará el vector cero, denotado por 0 Además, por la propiedad conmutativa de la adición, se tiene que a + i a i + a Existencia del inverso aditivo Sea a (a 1,,a n ) R n arbitrario, suponga que I (I 1,,I n ) es el inverso aditivo de a entonces por las propiedades del inverso aditivo Por lo tanto a + I 0 a + I (a 1,,a n ) + (I 1,,I n ) (a 1 + I 1,,a n + I n ) (0,,0) Los últimos vectores de la ecuación son iguales si y sólo si a 1 + I 1 0 I 1 ( a 1 ) + 0 ( a 1 ) a n + I n 0 I n ( a n ) + 0 ( a n ) Por lo tanto el inverso aditivo de a R n está dado por I ( a 1,, a n ) ( a) De ahora en adelante, el inverso aditivo de a R n se denotará por ( a) Además, por la propiedad conmutativa de la adición, se tiene que a + ( a) 0 ( a) + a La clausura respecto a la multiplicación por escalar Es fácil probar a partir de la definición, vea la ecuación (2), pues el resultado es otra eneada ordenada de números, que resultan de la multiplicación de dos números reales y por las propiedades de clausura de la multiplicación del campo de los números reales, los números son también números reales La multiplicación por escalar es distributiva respecto a la adición vectorial Sean a, b R n y sea λ R entonces λ( a + b) λ [(a 1,,a n ) + (b 1,,b n )] λ (a 1 + b 1,,a n + b n ) (λa 1 + λb 1,,λa n + λb n ) (λa 1,,λa n ) + (λb 1,,λb n ) λ a + λ b La multiplicación escalar es distributiva respecto a la adición de escalares Sean a R n y sea λ,µ R entonces (λ + µ) a (λ + µ)(a 1,,a n ) ((λ + µ)a 1,,(λ + µ)a n ) (λa 1 + µa 1,,λa n + µa n ) (λa 1,,λa n ) + (µa 1,,µa n ) λ a + µ a La multiplicación escalar es pseudoasociativa Sean a R n y sea λ,µ R entonces (λµ) a (λµ)(a 1,,a n ) [(λµ)a 1,,(λµ)a n ] [λ (µa 1 ),,λ(µa n )] λ [(µa 1 ),,(µa n )] λ (µ a) 3

4 La propiedad del idéntico multiplicativo del campo Sea a R n y sea 1 R entonces 1 a 1(a 1,,a n ) (1a 1,,1a n ) (a 1,,a n ) a 2 El conjunto de eneadas ordenadas de números complejos, C n definido como C n { z (z 1,z 2,,z n ) z 1,z 2,,z n C}, donde dos vectores y (y 1,y 2,,y n ), z (z 1,z 2,,z n ) C n son iguales si, y sólo si, 1 y i z i i 1,2,,n junto con la operación adición vectorial, definida como, y + z (y 1,y 2,,y n ) + (z 1,z 2,,z n ) (y 1 + z 1,y 2 + z 2,,y n + z n ) y, z C n, y junto con la multiplicación escalar, donde el escalar es un número complejo, definida como, λ z λ(z 1,z 2,,z n ) (λ z 1,λ z 2,,λ z n ) λ C z C n, forman un espacio vectorial complejo, denominado C n 3 El conjunto de polinomios de coeficientes reales, en la variable x, de grado menor o igual a n, denotado como P n (x), y definido como P n (x) { p(x) a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n a 0,a 1,a 2,,a n R }, donde dos polinomios, p(x) a 0 + a 1 x + + a n x n,q(x) b 0 + b 1 x + + b n x n P n (x) son iguales si, y sólo si, a i b i i 0,1,2,,n junto con la operación de suma de polinomios, definida como, p(x) + q(x) (a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n ) + (b 0 + b 1 x + b 2 x b n x n ) (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )x + (a 2 + b 2 )x (a n + b n )x n p(x),q(x) P n (x) y la multiplicación escalar real por un polinomio, definida como λp(x) λ(a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n ) (λa 0 )+(λa 1 )x+(λa 2 )x 2 + +(λa n )x n λ R y p(x) P n (x) forman un espacio vectorial, denominado P n (x) 1 Debe tenerse en cuenta que dos números complejos y y 1 + iy 2, z z 1 + iz 2 C, donde y 1, y 2, z 1, z 2 R son iguales si, y sólo si y 1 z 1 y y 2 z 2 4

5 4 El conjunto de matrices M m n que consta de m filas y n columnas de números reales y definido como M m n m i 1,2,,m ij R j 1,2,,n donde dos matrices M,N M m n dadas por M son iguales, denotado M N, si, y sólo si, y N m ij n ij i 1,2,,m y j 1,2,,n junto con la operación de suma matricial, definida como M + N + m 11 + n 11 m 12 + n 12 m 1n + n 1n m 21 + n 21 m 22 + n 22 m 2n + n 2n m m1 + n m1 m m2 + n m2 m mn + n mn y la operación de multiplicación por escalar real, definida como λm λ λ R M M m n forman un espacio vectorial real, denominado M m n Pueba: M,N Mm n (3) λm 11 λm 12 λm 1n λm 21 λm 22 λm 2n λm m1 λm m2 λm mn (4) La clausura respecto a la adición Es fácil probar a partir de la definición, vea la ecuación (3), pues el resultado es otra matriz de m filas y n columnas cuyos elementos pertenecen al campo de los números reales La suma de matrices es asociativa Sean M,N,O M m n entonces 5

6 M + (N + O) n 11 + o 11 n 12 + o 12 n 1n + o 1n n 21 + o 21 n 22 + o 22 n 2n + o 2n n m1 + o m1 n m2 + o m2 n mn + o mn m 11 + (n 11 + o 11) m 12 + (n 12 + o 12) m 1n + (n 1n + o 1n) m 21 + (n 21 + o 21) m 22 + (n 22 + o 22) m 2n + (n 2n + o 2n) m m1 + (n m1 + o m1) m m2 + (n m2 + o m2) m mn + (n mn + o mn) (m 11 + n 11) + o 11 (m 12 + n 12) + o 12 (m 1n + n 1n) + o 1n (m 21 + n 21) + o 21 (m 22 + n 22) + o 22 (m 2n + n 2n) + o 2n (m m1 + n m1) + o m1 (m m2 + n m2) + o m2 (m mn + n mn) + o mn m 11 + n 11 m 12 + n 12 m 1n + n 1n m 21 + n 21 m 22 + n 22 m 2n + n 2n m m1 + n m1 m m2 + n m2 m mn + n mn (M + N) + O + + o 11 o 12 o 1n o 21 o 22 o 2n o m1 o m2 o mn o 11 o 12 o 1n o 21 o 22 o 2n o m1 o m2 o mn + o 11 o 12 o 1n o 21 o 22 o 2n o m1 o m2 o mn La suma de matrices es conmutativa Sean M,N M m n entonces M + N + m 11 + n 11 m 12 + n 12 m 1n + n 1n m 21 + n 21 m 22 + n 22 m 2n + n 2n m m1 + n m1 m m2 + n m2 m mn + n m1 n 11 + m 11 n 12 + m 12 n 1n + m 1n n 21 + m 21 n 22 + m 22 n 2n + m 2n n m1 + m m1 n m2 + m m2 n mn + m m1 + N + M Existencia del idéntico aditivo Sea M M m n arbitraria, entonces existe una matriz M 0 M m n 6

7 definida como tal que M + M 0 M 0 + m m m 1n + 0 m m m 2n + 0 m m1 + 0 m m2 + 0 m mn + 0 Puesto que ya se probó que la suma es conmutativa, entonces M + M 0 M M 0 + M M Existencia del inverso aditivo Sea M M m n, entonces existe una matriz ( M) M m n definida como m 11 m 12 m 1n ( M) m 21 m 22 m 2n m m1 m m2 m mn tal que M + ( M) + m 11 m 12 m 1n m 21 m 22 m 2n m m1 m m2 m mn m 11 + ( m 11 ) m 12 + ( m 12 ) m 1n + ( m 1n ) m 21 + ( m 21 ) m 22 + ( m 22 ) m 2n + ( m 2n ) m m1 + ( m m1 ) m m2 + ( m m2 ) m mn + ( m mn ) Puesto que ya se probó que la suma es conmutativa, entonces M + ( M) M 0 ( M) + M La clausura respecto a la multiplicación por escalar Es fácil probar a partir de la definición, vea la ecuación (4), pues el resultado es otra matriz de m filas y n columnas cuyos elementos pertenecen al campo de los números reales La multiplicación por escalar es distributiva respecto a la adición vectorial Sean M,N M m n y sea λ R entonces M 0 7

8 λ(m + N) λ λ λ + m 11 + n 11 m 12 + n 12 m 1n + n 1n m 21 + n 21 m 22 + n 22 m 2n + n 2n m m1 + n m1 m m2 + n m2 m mn + n m1 λ(m 11 + n 11 ) λ(m 12 + n 12 ) λ(m 1n + n 1n ) λ(m 21 + n 21 ) λ(m 22 + n 22 ) λ(m 2n + n 2n ) λ(m m1 + n m1 ) λ(m m2 + n m2 ) λ(m mn + n m1 ) λm 11 + λn 11 λm 12 + λn 12 λm 1n + λn 1n λm 21 + λn 21 λm 22 + λn 22 λm 2n + λn 2n λm m1 + λn m1 λm m2 + λn m2 λm mn + λn m1 λm 11 λm 12 λm 1n λm 21 λm 22 λm 2n λm m1 λm m2 λm mn + + λ λn 11 λn 12 λn 1n λn 21 λn 22 λn 2n λn m1 λn m2 λn mn λm + λn La multiplicación escalar es distributiva respecto a la adición de escalares Sea M, M m n y sean λ 1, λ 2 R entonces (λ 1 + λ 2 )M (λ 1 + λ 2 ) (λ 1 + λ 2 )m 11 (λ 1 + λ 2 )m 12 (λ 1 + λ 2 )m 1n (λ 1 + λ 2 )m 21 (λ 1 + λ 2 )m 22 (λ 1 + λ 2 )m 2n (λ 1 + λ 2 )m m1 (λ 1 + λ 2 )m m2 (λ 1 + λ 2 )m mn λ 1 m 11 + λ 2 m 11 λ 1 m 12 + λ 2 m 12 λ 1 m 1n + λ 2 m 1n λ 1 m 21 + λ 2 m 21 λ 1 m 22 + λ 2 m 22 λ 1 m 2n + λ 2 m 2n λ 1 m m1 + λ 2 m m1 λ 1 m m2 + λ 2 m m2 λ 1 m mn + λ 2 m mn λ 1 m 11 λ 1 m 12 λ 1 m 1n λ 1 m 21 λ 1 m 22 λ 1 m 2n λ 1 m m1 λ 1 m m2 λ 1 m mn λ λ 2 λ 2 m 11 λ 2 m 12 λ 2 m 1n λ 2 m 21 λ 2 m 22 λ 2 m 2n λ 2 m m1 λ 2 m m2 λ 2 m mn λ 1M + λ 2 M 8

9 La multiplicación escalar es pseudoasociativa Sea M, M m n y sean λ 1, λ 2 R entonces (λ 1 λ 2 )M (λ 1 λ 2 ) λ 1 (λ 1 λ 2 )m 11 (λ 1 λ 2 )m 12 (λ 1 λ 2 )m 1n (λ 1 λ 2 )m 21 (λ 1 λ 2 )m 22 (λ 1 λ 2 )m 2n (λ 1 λ 2 )m m1 (λ 1 λ 2 )m m2 (λ 1 λ 2 )m mn λ 1 (λ 2 m 11 ) λ 1 (λ 2 m 12 ) λ 1 (λ 2 m 1n ) λ 1 (λ 2 m 21 ) λ 1 (λ 2 m 22 ) λ 1 (λ 2 m 2n ) λ 1 (λ 2 m m1 ) λ 1 (λ 2 m m2 ) λ 1 (λ 2 m mn ) λ 1 λ 2 λ 2 m 11 λ 2 m 12 λ 2 m 1n λ 2 m 21 λ 2 m 22 λ 2 m 2n λ 2 m m1 λ 2 m m2 λ 2 m mn λ 1 (λ 2 M) La propiedad del idéntico multiplicativo del campo Sea M M m n y sea 1 R entonces 1 M 1 M 1 m 11 1 m 12 1 m 1n 1 m 21 1 m 22 1 m 2n 1 m m1 1 m m2 1 m mn 5 El conjunto de funciones reales de variable real, definidas sobre un intervalo arbitrario, por ejemplo F(,+ ), donde (,+ ) se conoce como el dominio de definición de las funciones 2 definido como F(,+ ) {f(x) f(x) R x (,+ )}, donde dos funciones f,g F(,+ ) son iguales si, y sólo si f(x) g(x) x (,+ ) junto con las operaciones de adición de funciones, definida como + : F(,+ ) F(,+ ) F(,+ ) f+g (f+g) F(,+ ) f,g F(,+ ), 2 Otras posibles variaciones son F(a, b), F[a, b) o F[a, b], donde a, b R y b > a 9

10 donde (f + g)(x) f(x) + g(x) x (,+ ) y multiplicación escalar real de funciones, definida como donde : R F(,+ ) F(,+ ) λf (λf) F(,+ ) λ R f F(,+ ) (λf)(x) λ f(x) x (,+ ) forman un espacio vectorial real de funciones, denominado F(, + ) Existen muchas posibles variantes de un espacio vectorial de funciones reales de variable real Algunas de estas variantes aparecen, como ya se indicó, cambiando el intervalo de definición de la función, otras variantes aparecen cuando se introducen condiciones mas restrictivas, por ejemplo, si se requiere que las funciones sean continuas, diferenciables hasta la enésima derivada o continuamente diferenciables, etc 2 Propiedades de espacios vectoriales Considere un espacio vectorial V sobre un campo K, entonces se tienen las siguientes propiedades: 1 El producto del escalar 0 K por cualquier vector v V es el idéntico aditivo del espacio vectorial, es decir, 0 V 2 El producto de cualquier escalar λ K por el vector cero 0 V es el vector 0 V 3 Si λ v 0, entonces o λ 0 o v 0 Prueba: Para la primera parte del teorema, considere la siguiente ecuación en el campo escalar Por lo tanto λ + 0 λ donde λ K λ v + 0 v (λ + 0) v λ v Sin embargo, se sabe de las propiedades de los grupos que si g + g 0 g, g 0 0 igualando g con λ v, se tiene que 0 v 0 Para la segunda parte del teorema, considere la siguiente ecuación en el espacio vectorial Por lo tanto v + 0 v donde v V λ v + λ 0 λ ( v + 0) λ v Sin embargo, se sabe de las propiedades de los grupos que si g + g 0 g, g 0 0 comparando g con λ v, se tiene que λ 0 0 Para la parte final del resultado, note que si λ 0, entonces λ v 0 v 0 Suponga ahora que λ 0, entonces λ tiene un inverso multiplicativo en el campo K, denotado por λ 1, tal que λ 1 λ λλ 1 1 Considere ahora λ 0 0 Por lo tanto v 1 v ( λ 1 λ ) 0 ( ) λ 1 λ 0 λ