Álgebra Lineal II: Grupos y campos, prueba de los axiomas del campo de los números complejos, forma polar de números complejos.

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1 Álgebra Lineal II: Grupos y campos, prueba de los axiomas del campo de los números complejos, forma polar de números complejos. José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica División de Ingenierías, Campus Irapuato-Salamanca Universidad de Guanajuato jrico@ugto.mx Estas notas presentan la prueba de que el conjunto de los números complejos junto con las operaciones de adición y multiplicación constituyen un campo. Además, estas notas presentan la forma polar de números complejos. 1 El campo de los números complejos. Los números complejos C, definidos como C = {z = a+ib a,b R,}, (1) donde i se denomina la unidad imaginaria y dos números complejos z 1 = a 1 + ib 1,z 2 = a 2 + ib 2 C son iguales, denotado a 1 +ib 1 = a 2 +ib 2, si, sólo si, a 1 = a 2 y b 1 = b 2, junto con las operaciones de adición y multiplicación + : C C C z 1 +z 2 = (a 1 +ib 1 )+(a 2 +ib 2 ) = (a 1 +a 2 )+i(b 1 +b 2 ), (2) : C C C z 1 z 2 = (a 1 +ib 1 ) (a 2 +ib 2 ) = (a 1 a 2 b 1 b 2 )+i(a 1 b 2 +a 2 b 1 ), (3) forman un campo, denominado C. La representación dada por la ecuación (1) se conoce como forma cartesiana de un número complejo. 1 Prueba: A continuación se presentan las pruebas de los diferentes axiomas, sean (a 1 +ib 1 ),(a 2 +ib 2 ),(a 3 +ib 3 ) C 1. Clausura con respecto a la adición. Considere + : C C C (a 1 +ib 1 )+(a 2 +ib 2 ) = (a 1 +a 2 )+i(b 1 +b 2 ), por la clausura de números reales con respecto a la adición, la suma de dos reales, (a 1 +a 2 ) y (b 1 +b 2 ) es otro real. Por lo tanto, la suma de dos números complejos es otro número complejo. 2. Conmutatividad de la adición. Considere (a 1 +ib 1 )+(a 2 +ib 2 ) = (a 1 +a 2 )+i(b 1 +b 2 ) = (a 2 +a 1 )+i(b 2 +b 1 ) = (a 2 +ib 2 )+(a 1 +ib 1 ). 1 Debe notarse que la operación de multiplicación es equivalente a considerar a la unidad imaginaria i, como un número real que satisface la propiedad i 2 = 1 y siguiendo las reglas de las operaciones de adición y multiplicación en el campo de los números reales. 1

2 3. Asociatividad de la adición. Considere [(a 1 +ib 1 )+(a 2 +ib 2 )]+(a 3 +ib 3 ) = [(a 1 +a 2 )+i(b 1 +b 2 )]+(a 3 +ib 3 ) = [(a 1 +a 2 )+a 3 ]+i[(b 1 +b 2 )+b 3 ] = [a 1 +(a 2 +a 3 )]+i[b 1 +(b 2 +b 3 )] = (a 1 +ib 1 )+[(a 2 +a 3 )+i(b 2 +b 3 )] = (a 1 +ib 1 )+[(a 2 +ib 2 )+(a 3 +ib 3 )] 4. Existencia del idéntico aditivo. Sea (x+iy) C el idéntico aditivo del campo, entonces para (a 1 +ib 1 ) C arbitrario, se tiene que (a 1 +ib 1 )+(x+iy) = (a 1 +ib 1 ) a 1 +x = a 1 y b 1 +y = b 1 por lo tanto, x,y R deben ser el idéntico aditivo del campo de los números reales, y x = y = 0. Por lo tanto, el idéntico aditivo del campo de los números complejos C es (0+0i). 5. Existencia del inverso aditivo. Sea (a 1 +ib 1 ) C arbitrario y sea (x+iy) C el inverso aditivo de (a 1 +ib 1 ) campo, entonces se tiene que (a 1 +ib 1 )+(x+iy) = (0+i0) a 1 +x = 0 y b 1 +y = 0 por lo tanto, x,y R deben ser los inversos aditivos en campo de los números reales, y x = a 1 y y = b 1. Por lo tanto, el inverso aditivo de (a 1 +ib 1 ) C en el campo de los números complejos C es ( a 1 b 1 i). 6. Clausura con respecto a la multiplicación. Considere : C C C (a 1 +ib 1 ) (a 2 +ib 2 ) = (a 1 a 2 b 1 b 2 )+i(a 1 b 2 +a 2 b 1 ), por la clausura de números reales con respecto a la adición y a la multiplicación, (a 1 a 2 b 1 b 2 ) y (a 1 b 2 +a 2 b 1 ) son números reales. Por lo tanto, la multiplicación de dos números complejos es otro número complejo. 7. Conmutatividad de la multiplicación. Considere (a 1 +ib 1 ) (a 2 +ib 2 ) = (a 1 a 2 b 1 b 2 )+i(a 1 b 2 +a 2 b 1 ) = (a 2 a 1 b 2 b 1 )+i(a 2 b 1 +a 1 b 2 ) = (a 2 a 1 b 2 b 1 )+i(b 1 a 2 +b 2 a 1 ) = (a 2 +ib 2 ) (a 1 +ib 1 ) 8. Asociatividad de la multiplicación. Considere, por un lado [(a 1 +ib 1 ) (a 2 +ib 2 )] (a 3 +ib 3 ) = [(a 1 a 2 b 1 b 2 )+i(a 1 b 2 +a 2 b 1 )] (a 3 +ib 3 ) y por el otro = [(a 1 a 2 b 1 b 2 ) a 3 (a 1 b 2 +a 2 b 1 ) b 3 ]+i[(a 1 a 2 b 1 b 2 ) b 3 +(a 1 b 2 +a 2 b 1 ) a 3 ] = (a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 a 3 a 1 b 2 b 3 a 2 b 1 b 3 )+i(a 1 a 2 b 3 b 1 b 2 b 3 +a 1 b 2 a 3 +a 2 b 1 a 3 ). (a 1 +ib 1 ) [(a 2 +ib 2 ) (a 3 +ib 3 )] = (a 1 +ib 1 ) [(a 2 a 3 b 2 b 3 )+i(a 2 b 3 +a 3 b 2 )] = [a 1 (a 2 a 3 b 2 b 3 ) b 1 (a 2 b 3 +a 3 b 2 )]+i[b 1 (a 2 a 3 b 2 b 3 )+a 1 (a 2 b 3 +a 3 b 2 )] = (a 1 a 2 a 3 a 1 b 2 b 3 b 1 a 2 b 3 b 1 a 3 b 2 )+i(b 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 +a 1 a 2 b 3 +a 1 a 3 b 2 ) Comparando ambos resultados, es evidente la igualdad de los dos procedimientos. 2

3 9. Existencia del idéntico multiplicativo. Sea (x + i y) C el idéntico multiplicativo del campo, entonces para (a 1 +ib 1 ) C arbitrario, se tiene que (a 1 +ib 1 ) (x+iy) = (a 1 x b 1 y)+i(a 1 y +x b 1 ) a 1 x b 1 y = a 1 y a 1 y +xb 1 = b 1 por lo tanto, resolviendo el sistema de ecuaciones en las variables x,y R, se tiene que x = 1 y y = 0. Por lo tanto, el idéntico multiplicativo del campo de los números complejos C es (1+0i). 10. Existencia del inverso multiplicativo. Sea (a 1 + ib 1 ) C\0 arbitrario y sea (x + iy) C el inverso multiplicativo de (a 1 +ib 1 ) en el campo C, entonces se tiene que (a 1 +ib 1 ) (x+iy) = (1+i0) a 1 x b 1 y = 0 y a 1 y +x b 1 = 0 por lo tanto, resolviendo el sistema de ecuaciones en las variables x,y R, se tiene que x = a 1 a 2 1 +b2 1 y y = b 1 a b2 1 Por lo tanto, el inverso multiplicativo de (a 1 +ib 1 ) C en el campo de los números complejos C es (a 1 +ib 1 ) 1 = a 1 ib 1 a 2 1 +b2 1 Evidentemente, el inverso multiplicativo no existe para el idéntico aditivo (0 + i0) C, pues, en ese caso a 2 1 +b 2 1 = Propiedades distributivas. Considere, por un lado [(a 1 +ib 1 )+(a 2 +ib 2 )] (a 3 +ib 3 ) = [(a 1 +a 2 )+i(b 1 +b 2 )] (a 3 +ib 3 ) y por el otro = [(a 1 +a 2 )a 3 (b 1 +b 2 )b 3 ]+i[(a 1 +a 2 )b 3 +(b 1 +b 2 )a 3 ] = (a 1 a 3 +a 2 a 3 b 1 b 3 b 2 b 3 )+i(a 1 b 3 +a 2 b 3 +b 1 a 3 +b 2 a 3 ) (a 1 +ib 1 ) (a 3 +ib 3 )+(a 2 +ib 2 ) (a 3 +ib 3 ) = (a 1 a 3 b 1 b 3 )+i(a 1 b 3 +b 1 a 3 )+(a 2 a 3 b 2 b 3 )+i(a 2 b 3 +b 2 a 3 ) Es fácil verificar que los dos resultados coinciden, por lo tanto = (a 1 a 3 b 1 b 3 +a 2 a 3 b 2 b 3 )+i(a 1 b 3 +b 1 a 3 +a 2 b 3 +b 2 a 3 ) [(a 1 +ib 1 )+(a 2 +ib 2 )] (a 3 +ib 3 ) = (a 1 +ib 1 ) (a 3 +ib 3 )+(a 2 +ib 2 ) (a 3 +ib 3 ) De manera semejante, considere por un lado (a 1 +ib 1 ) [(a 2 +ib 2 )+(a 3 +ib 3 )] = (a 1 +ib 1 ) [(a 2 +a 3 )+i(b 2 +b 3 )] = [a 1 (a 2 +a 3 ) b 1 (b 2 +b 3 )]+i[a 1 (b 2 +b 3 )+b 1 (a 2 +a 3 )] = (a 1 a 2 +a 1 a 3 b 1 b 2 b 1 b 3 )+i(a 1 b 2 +a 1 b 3 +b 1 a 2 +b 1 a 3 ) 3

4 y por el otro (a 1 +ib 1 ) (a 2 +ib 2 )+(a 1 +ib 1 ) (a 3 +ib 3 ) = [(a 1 a 2 b 1 b 2 )+i(a 1 b 2 +b 1 a 2 )]+[(a 1 a 3 b 1 b 3 )+i(a 1 b 3 +b 1 a 3 )] Es fácil verificar que los dos resultados coinciden, por lo tanto = (a 1 a 2 b 1 b 2 +a 1 a 3 b 1 b 3 )+i(a 1 b 2 +b 1 a 2 +a 1 b 3 +b 1 a 3 ) (a 1 +ib 1 ) [(a 2 +ib 2 )+(a 3 +ib 3 )] = (a 1 +ib 1 ) (a 2 +ib 2 )+(a 1 +ib 1 ) (a 3 +ib 3 ) 2 Forma polar de los números complejos, multiplicación y división de números complejos. Es importante notar que los números complejos tienen otra forma de representación conocida como representación o forma polar de los números complejos. Considere la siguiente función ( f : C C dada por f(z) = f(a+ib) = z = a 2 +b 2,θ = tan 1b ) (4) a donde el cálculo del ángulo θ usa las reglas del círculo trigonométrico y la variable z representa un número real no negativo. La figura 1 muestra una representación gráfica de la función que permite pasar de la forma cartesiana a la polar. Es importante notar que en algunas ramas de la ingeniería, en particular la ingeniería eléctrica, un número complejo en forma polar, (z,θ), escrito como z = z θ, se denomina fasor. Además, el número z se denomina el módulo y el ángulo θ se denomina el argumento del número complejo z. Figure 1: Conversión de la forma cartesiana a la forma polar de un número complejo. De la representación gráfica dada por la figura 1, es evidente que existe otra función f 1 : C C dada por f 1 (z,θ) = (zcosθ,zsenθ) = zcosθ +(zsenθ)i (5) La función dada por la ecuación (5) es la función inversa de la función dada por la ecuación (4). De manera que a cada número complejo en forma cartesiana corresponde una y sólo una forma polar del mismo número complejo. Una de las ventajas de la forma polar de los números complejos es que las operaciones de multiplicación, y por consiguiente división, puede realizarse de manera más fácil que con la forma cartesiana. 4

5 Considere dos núneros complejos (a 1 +ib 1 ),(a 2 +ib 2 ), tales que, su forma polar está dada por ( f(a 1 +ib 1 ) = z 1 = a 2 1 +b2 1,θ 1 = tan 1b ) 1 a 1 ( f(a 2 +ib 2 ) = z 2 = a 2 2 +b2 2,θ 2 = tan 1b ) 2 a 2 Esto significa que En base a esos resultados se mostrará que Notando que Considere, primeramente a 1 = z 1 cosθ 1 b 1 = z 1 sinθ 1 a 2 = z 2 cosθ 2 b 2 = z 2 sinθ 2 z 1 z 2 = (a 1 +ib 1 ) (a 2 +ib 2 ) = (z 1 z 2,θ 1 +θ 2 ) (6) a 1 = z 1 cosθ 1 a 2 = z 2 cosθ 2 b 1 = z 1 sinθ 1 b 2 = z 2 sinθ 2 z 1 z 2 cos(θ 1 +θ 2 ) = z 1 z 2 (cosθ 1 cosθ 2 senθ 1 senθ 2 ) = z 1 z 2 cosθ 1 cosθ 2 z 1 z 2 senθ 1 senθ 2 = z 1 cosθ 1 z 2 cosθ 2 z 1 senθ 1 z 2 senθ 2 = a 1 a 2 b 1 b 2 Este resultado corresponde con la parte real de la definición de multiplicación de núneros complejos dada por la ecuación (3). Considere, finalmente z 1 z 2 sen(θ 1 +θ 2 ) = z 1 z 2 (senθ 1 cosθ 2 +cosθ 1 senθ 2 ) = z 1 z 2 senθ 1 cosθ 2 +z 1 z 2 cosθ 1 senθ 2 = z 1 senθ 1 z 2 cosθ 2 +z 1 cosθ 1 z 2 senθ 2 = b 1 a 2 +a 1 b 2 = a 1 b 2 +a 2 b 1 Este resultado corresponde con la parte imaginaria de la definición de multiplicación de núneros complejos dada por la ecuación (3). El conjunto de estos dos resultados muestran que la multiplicación de números complejos en forma polar, dada por la ecuación (6) es correcta. Debe notarse que es más simple realizar la multiplicación de números complejos en forma polar que en forma cartesiana. Este resultado permite obtener de forma sencilla el inverso de un número complejo en forma polar. Por un lado, la forma polar del idéntico multiplicativo del campo de los números complejos 1+i0 está dado por (1,0 ). Por lo tanto, el inverso multiplicativo de (z,θ), denotado por (z 1,θ 1 ), debe satisfacer la condición (z,θ) (z 1,θ 1 ) = (1,0 ) = (z 1,θ 1 ) (z,θ) Entonces, realizando la multiplicación en forma polar, se tiene que zz 1 = 1 θ +θ 1 = 0 Entonces z 1 = 1 θ 1 = θ z y, por lo tanto, ( ) 1 z 1 = (z,θ) 1 = z, θ (7) Empleando, este resultado, se tiene que la división de números complejos, que no es otra cosa que la multiplicación por el inverso del divisor, está dado por z 1 = (z ( ) ( ) 1,θ 1 ) 1 z 2 (z 2,θ 2 ) = (z 1,θ 1 ) (z 2,θ 2 ) 1 z1 = (z 1,θ 1 ), θ 2 =,θ 1 θ 2 (8) z 2 z 2 Nuevamente, debe notarse que es más simple realizar la división de números complejos en forma polar que en forma cartesiana. 5

6 3 Problemas Resueltos. Problema 1. Considere los siguientes números complejos z 1 = 4+3i z 2 = 6+8i z 3 = 5 12i z 4 = 0+2i Determine los resultados de las siguientes operaciones: z 1 +z 2, z 1 z 3, z 1 z 4, z 1 3, z 2/z 1. Solución. Considere, las siguientes operaciones z 1 +z 2 = (4+3i)+( 6+8i) = (4 6)+(3+8)i = 2+11i z 1 z 3 = z 1 +( z 3 ) = (4+3i)+[ (5 12i)] = (4+3i)+( 5+12i) = (4 5)+(3+12)i = 1+15i z 1 z 4 = (4+3i) (0+2i) = [(4)(0) (3)(2)]+[(4)(2)+(3)(0)] i = 6+8i z 1 3 = (5 12i) 1 = 5+12i ( = ) 169 i = i ( ) 4 3i z 2 /z 1 = z 2 z 1 1 = ( 6+8i) (4+3i) 1 = ( 6+8i) = ( 6+8i) ( = ) ( ( ) ( )) 4 +8 i = 0+2i ( ) 25 i Problema 2. Considere los números complejos del problema 1, determine las operaciones z 1 z 4, z 1 3, z 2/z 1 en forma polar. Verifique que estos resultados son correctos. Solución. Primero se encontrará la forma polar de esos números complejos. z 1 = (4+3i) = ( ,tan 13 4 ) = (5,tan 13 4 ) = z 2 = ( 6+8i) = ( ( 6) ,tan ) = 8 (10,tan 1 ) = z 3 = (5 12i) = ( 5 2 +( 12) 2,tan ) = (13,tan 1 12 ) = z 4 = (0+2i) = ( ,tan 12 0 ) = (2,tan 12 0 ) = 2 90 Ahora se realizarán las operaciones z 1 z 4 = = = i z 1 3 = ( ) 1 = = i z 2 /z 1 = z 2 z 1 1 = ( ) ( ) 1 = ( ) ( ) = 2 90 = 0+2i 4 Problemas Propuestos. Problema 3. Considere los siguientes números complejos z 1 = 4 3i z 2 = 2+6i z 3 = 5+12i z 4 = 5+0i Determine los resultados de las siguientes operaciones: z 1 +z 2, z 1 z 3, z 1 z 4, z 1 3, z 2/z 1. Problema 4. Considere los números complejos del problema 3, determine las operaciones z 1 z 4, z 1 3, z 2/z 1 en forma polar. Verifique que estos resultados son correctos. 6