Números Complejos. Contenido. Definición

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1 U Contenido Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Eléctrica Departamento de Electrónica, Computación y Control Variable Compleja y Cálculo Operacional Números Complejos William La Cruz Números Complejos...3 Definición...3 Operaciones Algebraicas...6 Representación Geométrica...9 Valor Absoluto y Conjugado Coordenadas Polares Potencias y Raíces Regiones en el Plano Complejo...21 Semestre EIE-UCV Números Complejos 1 /28 EIE-UCV Números Complejos 2 /28 Números Complejos En este tema se introducen algunas propiedades del conjunto de los números complejos. Tal conjunto de números es ampliamente utilizado en el desarrollo de las ideas teóricas de la Ingeniería, en especial, de Ingeniería Eléctrica. Se conoce a i como la unidad imaginaria, además, i 2 = 1. Se denota con x = Rez la parte real del número complejo z, y con Definición Se dice que z es un número complejo si se expresa como su parte imaginaria. y = Imz o, de manera equivalente, donde x R e y R. z = x+iy z = x+yi, Los número complejos de la forma x+i0, se denominan reales puros o, simplemente, reales. Los número complejos de la forma 0+iy, se denominan imaginarios puros. El cero de los números complejos, denotado 0, es 0 = 0+i0. EIE-UCV Números Complejos 3 /28 EIE-UCV Números Complejos 4 /28

2 El uno de los números complejos, denotado 1, es 1 = 1+i0. Se dice que dos números son iguales si y sólo si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales. En otras palabras, si z = x+iy y w = u+iv, entonces z = w si, y sólo si x = u e y = v. En particular, z = 0 x = y = 0. Denotaremos con C al conjunto de los números complejos. Observación: No existe relación de orden en los números complejos. En los números reales, por ejemplo, se tiene que 5 > 3, pero no tiene sentido afirmar, por ejemplo, que 1+i < 2+i3. Operaciones Algebraicas Seguidamente se mostrarán las definiciones de las operaciones algebraicas: suma, resta, multiplicación y división, de números complejos. Definición 1. La suma, resta, multiplicación y división de los números complejos z 1 = x 1 + iy 1 y = x 2 + iy 2, se define respectivamente como: Suma: z 1 + = (x 1 +x 2 )+i(y 1 +y 2 ). Resta: z 1 = (x 1 x 2 )+i(y 1 y 2 ). Multiplicación: z 1 = (x 1 x 2 y 1 y 2 )+i(x 1 y 2 +x 2 y 1 ). División: z 1 = z 1 = ( ) ( x1 x 2 +y 1 y 2 x2 y 1 x 1 y 2 x 2 +i 2 +y2 2 x 2 2 +y2 2 ). EIE-UCV Números Complejos 5 /28 EIE-UCV Números Complejos 6 /28 Propiedades Para todo z,w,s C se cumplen las siguientes propiedades: 1. Conmutatividad z +w = w +z zw = wz 4. Elemento Inverso Para todo z C, existe z C tal que z +( z) = 0. Para todo z 0, existe z 1 C tal que zz 1 = Distributividad z(w +s) = zw +zs. 2. Asociatividad z +(w +s) = (z +w)+s z(ws) = (zw)s Proposición 1.Sean z,w C. Si w 0, entonces z w = zw Elemento Neutro z +0 = z 1 z = z EIE-UCV Números Complejos 7 /28 EIE-UCV Números Complejos 8 /28

3 Representación Geométrica Cada número complejo z = x + iy se le puede asignar un y sólo un par ordenado (x,y). De esta forma, el número complejo z se puede representar geométricamente como un punto en el plano cartesiano. Un número complejo z = x + iy también se puede representar como un vector, que comienza en el origen y termina en el punto (x,y). Plano Z Valor Absoluto y Conjugado Definición 2 (Valor absoluto). El valor absoluto del número complejo z = x+iy, denotado por z, se define como z = x 2 +y 2. EIE-UCV Números Complejos 9 /28 EIE-UCV Números Complejos 10 /28 Definición 3 (Conjugado). El conjugado del número complejo z = x+iy, denotado por z, se define como z = x+i( y). Propiedades Sean z 1 y, números complejos. Las siguientes propiedades se cumplen: 1. z 1 = z z 1 ± = z 1 ±. 3. z 1 = z 1. ( ) z1 4. = z 1, z 1 = z z 1 z 1 = z z 1 1 = z 1 z 1 2, z z 1 Rez 1 Rez z 1 Imz 1 Imz 1. EIE-UCV Números Complejos 11 /28 EIE-UCV Números Complejos 12 /28

4 10. z 1 = z z 1 = z 1, 0. Proposición 2 (Desigualdad Triangular). Sean z 1 y números complejos. Entonces, la siguiente desigualdad se cumple z 1 + z 1 +. Coordenadas Polares De la representación gráfica del número complejo z = x + iy como vector, se deriva la representación en coordenadas polares (r, θ) de z, donde r = z y θ es el argumento de z. Definición 4 (Argumento de z). El argumento del número complejo z 0, denotado por argz, es cualquiera de los ángulos orientados formados por el vector z C con la parte positiva del eje real. Proposición 3 (Desigualdad Triangular Generalizada). Sean z 1,,...,z n números complejos. Entonces, la siguiente desigualdad se cumple z z n z z n. EIE-UCV Números Complejos 13 /28 EIE-UCV Números Complejos 14 /28 Observaciones: r y θ = argz definen de manera única a z. z caracteriza de manera única a r, pero no θ = argz. Se tiene que x = rcosθ e y = rsenθ. Así pues, es la forma polar de z. z = r(cosθ +i senθ) Los valores de θ = argz se pueden encontrar a partir de la ecuación tanθ = y x. Para que el valor de θ sea único, se debe tomar una determinación, es decir, escoger un intervalo de longitud 2π, por ejemplo, θ [0,2π), ó θ [ π,π), etc. Ejemplo Para el número complejo z = 1, se tiene que θ {0,±2π,±4π,...}. Definición 5 (Argumento principal). El argumento principal de un número complejo z 0 o valor principal de argz, denotado por Argz, se define como el único valor de argz tal que π < Argz π. Proposición 4.Si z 1 y son números complejos distintos de cero, entonces se satisfacen las siguientes identidades: 1. arg(z 1 ) = argz 1 +arg. 2. arg ( z1 ) = argz 1 arg. EIE-UCV Números Complejos 15 /28 EIE-UCV Números Complejos 16 /28

5 Ejemplo Utilizando el argumento principal, represente en forma polar los siguientes números complejos. a) z 1 = 1+i b) = 1+i c) z 3 = 1 i d) z 4 = 1 i Solución. a) z 1 = 2(cos(π/4)+i sen(π/4)) b) = 2(cos(3π/4)+i sen(3π/4)) c) z 3 = 2(cos(3π/4) i sen(3π/4)) d) z 4 = 2(cos(π/4) i sen(π/4)) Fórmula de Euler Sea z = x+iy un número complejo con módulo r = 1 y θ = argz. Escribiendo e iθ = cosθ +i senθ se tiene que z = e iθ, que se conoce como fórmula de Euler. Ahora, para cualquier número complejo z = r(cosθ +i senθ), con r > 0, se puede utilizar la fórmula de Euler para reescribir a z como: z = re iθ. EIE-UCV Números Complejos 17 /28 EIE-UCV Números Complejos 18 /28 Para los números complejos z 1 = r 1 e iθ 1 y = r 2 e iθ 2, se satisfacen las siguientes identidades: 1. z 1 = (r 1 r 2 )e i(θ 1+θ 2 ) z 1 = 1 r 1 e i( θ 1) = 1 r 1 e iθ. 3. z 1 = ( r1 r 2 ) e i(θ 1 θ 2 ). Potencias y Raíces Definición 6 (Potencia n-ésima).sean z = re iθ, y n un entero. La potencia n-ésima de z, denotada por z n, se define como z n = r n e inθ = r n (cosnθ +i sennθ). Definición 7 (Raíces n-ésimas).sean z = re iθ, y n un entero. Las raíces n-ésimas de z, denotadas por z 1/n, se definen como z 1/n = n re i θ+2kπ n ( ( ) ( )) = n θ +2kπ θ +2kπ r cos +i sen, n n para k = 0,1,...,n 1, donde n r denota la raíz n-ésima positiva del número real r. Observación: Elvalordeθ delasdefiniciones6y7escualquiera, noesnecesariamente el argumento principal de z. Ejemplo Sea z = 1+i. Calcular z 3 y z 1/5. EIE-UCV Números Complejos 19 /28 EIE-UCV Números Complejos 20 /28

6 Solución. z 3 = e i 3π 4 z 1/5 = 10 2e i π 4 +2kπ 5, k = 0,1,...,4. Definición 9 (Conjunto abierto). Se dice que un conjunto de números complejos S es abierto, si para cada z S existe existe una vecindad de z, B(z,ε), tal que B(z,ε) S. Regiones en el Plano Complejo Definición 8 (Vecindad). El conjunto de puntos B(z 0,ε) = {z C : z z 0 < ε} para cada z 0 C y cada ε > 0, se denomina vecindad de z 0. EIE-UCV Números Complejos 21 /28 EIE-UCV Números Complejos 22 /28 Definición 10 (Frontera de un conjunto). Sea S un conjunto de números complejos. La frontera de S es el conjunto formado por los puntos z tales que todas las vecindades de z contienen puntos de S y puntos que no están en S. Definición 11 (Punto de acumulación). Sea S un conjunto de números complejos. Se dice que z 0 es un punto de acumulación si toda vecindad de z 0 contiene por lo menos un punto de S diferente de z 0. EIE-UCV Números Complejos 23 /28 EIE-UCV Números Complejos 24 /28

7 Definición 12 (Conjunto cerrado). Se dice que un conjunto de números complejos S es cerrado, si todos sus puntos de acumulación pertenecen a él. De forma equivalente, S es cerrado si contiene a su frontera. Definición 13 (Conjunto conexo). Se dice que un conjunto de números complejos S es conexo, si dados puntos cualesquiera de S, existe una trayectoria formada por segmentos de recta que los une y cuyos puntos pertenecen todos a S. EIE-UCV Números Complejos 25 /28 EIE-UCV Números Complejos 26 /28 Definición 14 (Dominio). Se dice que un conjunto de números complejos S es un dominio, si S es abierto y conexo. Definición 15 (Conjuntos acotado y no acotado). Se dice que un conjunto de números complejos S es acotado, si existe un número real R > 0 tal que todo punto de S queda dentro de la circunferencia z = R. Por el contrario, z > R para todo R > 0 y algún z S, se dice que S es no acotado. EIE-UCV Números Complejos 27 /28 EIE-UCV Números Complejos 28 /28