MA3002. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería: Potencias y Raíces de Números Complejos. Departamento de Matemáticas. Introducción.

Transcripción

1 Raíces Raíces MA3002

2 Raíces Raíces Las potencias y las enteras números complejos son muy fáciles calcular cuando el número complejo está en la forma polar. Primeramente, veremos la forma polar un número complejo y posteriormente veremos la fórmula De Moivre obtener potencias y.

3 Raíces La forma polar un número complejo z = x + y i correspon precisamente a su representación en coornadas polares, don los referentes la ubicación un punto en el plano son: la distancia l punto al origen y el ángulo que forma la parte positiva l eje real con el rayo que va l origen al punto, medido en forma contraria a las manecillas l reloj. y r θ r cos(θ) z = x + y i r sen(θ) x

4 Raíces Si (r, θ) son las coornadas polares l complejo z = x + y i, diremos que θ es el argumento z o que arg(z) = θ: si se exige que π < θ π se dice que θ es el argumento principal z, Arg(z) = θ. Para nosotros, argumento significa argumento principal. z = x + y i = (r cos(θ)) + (r sen(θ)) i = r (cos(θ) + i sen(θ)) = r cis(θ) = r e θ i Notación Euler

5 Raíces Calcule los argumentos principales los complejos: z 1 = i z 2 = i z 3 = 1 1 i z 4 = +1 1 i Observe que be ubicar el cuadrante don se encuentra el número complejo corregir el valor que entrega θ = tan 1 (y/x). z 1 : 1 er cuadrante, θ = tan 1 (+1/ + 1) = π/4 z 2 : 2 o cuadrante, θ = tan 1 (+1/ 1) + π = π/4 + π = 3/4 π z 3 : 3 o cuadrante, θ = tan 1 ( 1/ 1) π = π/4 π = 3/4 π z 4 : 4 o cuadrante, θ = tan 1 ( 1/1) = π/4

6 Raíces Ventaja la forma polar Si se tienen dos complejos en la forma polar: z 1 = r 1 (cos(θ 1 ) + i sen(θ 1 )), z 2 = r 2 (cos(θ 2 ) + i sen(θ 2 )) Por intidas trigonométricas se comprueba: y Así z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + i sen(θ 1 + θ 2 )) z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(θ 1 θ 2 ) + i sen(θ 1 θ 2 )) arg (z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ) y arg ( z1 z 2 ) = arg(z 1 ) arg(z 2 ) pero estas fórmulas puen ser incorrectas Arg.

7 Raíces Raíces Las potencias y las un número complejo son fáciles calcular cuando el complejo está en su notación polar: ( r e θ i) n = r n e n θ i n r e θ i = n r e θ n i

8 Raíces Raíces Las potencias y las un número complejo son fáciles calcular cuando el complejo está en su notación polar: ( r e θ i) n = r n e n θ i n r e θ i = n r e θ n i Todas las una número complejo z = r CIS(θ) puen ser calculadas por la fórmula: ( ) z k = n θ + 2 k π r CIS k = 0, 1,..., n 1 n A z k=0 se le llama raíz principal.

9 Raíces Ejemplo Si z = i, calcule z 4 y la raíz principal 5 z. Usamos que el módulo z es r = y que el argumento es θ = tan 1 ( 2 1 ) radianes y aplicamos la fórmula anterior: (1 + 2 i) 4 ( e i) e i 25 e i 25 cos(4.4285) + 25 sen(4.4285) i i i e i e i e i cos( ) sen( ) i i

10 Raíces Ejercicio Encuentre todas las z 3 = 1.

11 Raíces Ejercicio Encuentre todas las z 3 = 1. Debemos escribir c = 1 en su forma polar: como 1 queda sobre la parte positiva l eje real, su argumento principal es cero y su módulo es c: Si c = 1, entonces Arg(c) = θ = 0, c = 1 Para k = 0: Raíz cúbica principal z 0 = 3 ( ) 0 1 cis = 1 cis (0) = 1 cos(0) + 1 sin(0) i = 1 3 Para k = 1: Segunda raíz cúbica z 1 = 3 ( ) π 1 cis 3 = i Para k = 2: Tercera raíz cúbica z 2 = 3 ( ) π 1 cis 3 == i