Trigonometría. Guía de Ejercicios

Transcripción

1 . Módulo 6 Trigonometría Guía de Ejercicios

2 Índice Unidad I. Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo. Ejercicios Resueltos... pág. 0 Ejercicios Propuestos... pág. 07 Unidad II. Identidades trigonométricas fundamentales. Ejercicios Resueltos... pág. 09 Ejercicios Propuestos... pág. 13 Unidad III. Funciones trigonométricas para ángulos cualesquiera. Ejercicios Resueltos... pág. 15 Ejercicios Propuestos... pág. 18 1

3 Unidad I. Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo. Ejercicios Resueltos 1. Considere un ABC rectángulo en C, con catetos AC 8 cm, BC 6 cm e hipotenusa AB 10 cm. Calcule respecto de los ángulos agudos α y β las razones trigonométricas fundamentales. sen α , 6, cos α , 8, tan α 6 8 0, 75 sen β , 8 cos β , 6 tan β 8 6 1, Encontrar los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo rectángulo ABC, dados b 4 y c 5. Puesto que a c b , a 7. Entonces sen α 7 4, cos α 5 5, tan α 7 4 cosec α , sec α, cot α 4 7 sen β 4 5 cos β 7 5 tan β 4 7 cosec β 5 4 sec β 5 7 cot β 7 4

4 3. Considere un triángulo ABC rectángulo en C, donde tan α /5. Determine el valor de sec α, cos α y cosec α Como tan α /5, esto significa que en ABC se tiene: Por lo tanto, a u, b 5u, c (u) + (5u) 9u sec α 9 5, cos α 5 9, cosec α 9 4. Encontrar los valores de las funciones trigonométricas del ángulo agudo β, dada tan β 1, 5. Observe que 1, 5 3/, con lo que podemos utilizar un triángulo donde b 3, a. Entonces c a + b sen β 3 13 cos β 13 tan β 3 cosec β 13 3 sec β 13 cot β 3 3

5 5. Si α es agudo y tan α x x/1, determine los valores de las otras funciones trigonométricas. Construya un triángulo rectángulo ABC tal que a x y b 1. Entonces c x + 1 sen α x x + 1, cos α 1 x + 1, tan α x cosec α x + 1, sec α x x + 1, cot α 1 x 6. Encontrar los valores de las funciones trigonométricas del ángulo 45 o. En todo triángulo rectángulo isósceles ABC, α β 45 o y a b. Sea a b 1, entonces c sen 45 o 1 cos 45 o 1 tan 45 o 1 cosec 45 o sec 45 o cot 45 o 1 4

6 7. Calcular los valores de x e y con aproximación al entero más cercano. Puesto que tan 40 o x 150, x 150 tan 40o 150 0, cos 40 o 150 y, y 150 cos 40 o 150 0, Calcular los valores de x e y con aproximación al entero más cercano. Puesto que tan 50 o x 150, x 150 tan 50o 150 1, sen 40 o 150 y, y 150 sen 40 o 150 0,

7 9. Cuál es la longitud de la sombra ptoyectada por un edificio de 150 m de altura cuando el sol se ha elevado 0 o sobre el horizonte? En la figura α 0 o y CB 150. Entonces cot α AC y AC CB. cot α 150 cot 0 o 150, 7 405m 10. Si tan α 4 15, hallar el valor de 5 sen α + 7 cos α 6 cos α 3 sen α Sea el triángulo que indica la figura, entonces sen α 4 41, cos α reemplazando en la expresión:

8 Ejercicios Propuestos 1. Encontrar los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo rectángulo ABC, dados a)a 3, b 1, b)a, c 5, c)b 7, c 4. En un ABC rectángulo en C, donde cos α 5 6, calcular: a) sen α, b) tan α, c) cosec α, d) cot α, e) sec α 3. Calcular sen α, cos α y tan α en el siguiente triángulo 4. Hallar β aproximando al grado más cercano: a)si b 67 y c 100 b)si a 14 y c 50 c)si a y b 55 d)si a 3 y b 3 5. Dado el siguiente triángulo, calcular x e y aproximando al entero más cercano. 7

9 6. Un árbol quebrado por el viento, forma un triángulo rectángulo con el suelo. Cúal era la altura del ŕbol si la parte que ha caído haci el suelo forma con este un ángulo de 50 o, y si la parte del tronco que ha quedado en pie tiene una altura de 0 m? 7. La distancia entre edificios de tejado plano es de 60 m. Desde la azotea del menor de los edificios, cuya altura es de 40 m se observa la azotea del otro con ángulo de elevación de 40 o. Cuál es la altura del edificio más alto?. 8. Encontrar el perímetro de un triángulo isósceles cuya base mide 40 cm si los ángulos de la base miden 70 o. 9. Si dos ángulos de la base de un triángulo isósceles miden 8 o y los lados iguales 45 cm, hallar, aproximando a los centímetros más cercanos: a) la altura correspondiente a la base b) la base 10. En un ABC rectángulo en C, donde sec α 13, calcular el valor de 5 sen α 3 cos α 4 cosec α 9 cot α 8

10 Unidad II. Identidades trigonométricas fundamentales. Ejercicios Resueltos 1. Demostrar las relaciones pitagóricas: a) sen θ + cos θ 1 b) 1 + tan θ sec θ c) 1 + cot θ cosec θ Para todo ángulo θ, sen θ y/r, cos θ x/r y cot θ y/x, donde x + y r a) b) c) (x/r) + (y/r) 1 sen θ + cos θ (y/x) (r/x) 1 + tan θ sec θ (x/y) + 1 (r/y) 1 + cot θ cosec θ. Demostrar que: (1 sen α)(1 + tan α) 1 Se tiene: (1 sen α)(1 + tan α) cosec α sec α (cos α sec α) Demostrar que: 1 cos α sen α cos α tan α cot α Se tiene: 1 cos α sen α cos α sen α cos α sen α cos α sen α cos α cos α sen α tan α cot α 9

11 4. Demostrar que: 1 + sec α tan α sec 4 α tan 4 α 0 Se tiene: (sec α tan α) 1 + sec α tan α sec 4 α tan 4 α 5. Demostrar: tan(α + β) tan α + tan β 1 tan α tan β Se tiene: tan(α + β) sen(α + β) cos(α + β) sen α cos β + cos α sen β cos α cos β sen α sen β sen α cos β cos α cos β cos α cos β cos α cos β + cos α sen β cos cos β sen α sen β cos α cos β tan α + tan β 1 tan α tan β 6. Simplificar: tan(α + β) tan α 1 + tan(α + β) tan α Se tiene: tan(α + β) tan α 1 + tan(α + β) tan α tan[(α + β) α] tan β 10

12 7. Demostrar: cot(α + β) cot α cot β 1 cot β + cot β Se tiene: cot(α + β) 1 tan(α + β) 1 tan α tan β tan α + tan β 1 1 cot α cot β cot α cot β cot α cot β 1 cot β + cot β 8. Demostrar: tan 3α tan α tan α tan α tan α tan 3α Se tiene: Entonces: tan α tan(3α α) tan 3α tan α 1 + tan 3α tan 3α tan α(1 + tan 3α tan 3α) tan 3α tan α tan α + tan α tan 3α tan 3α tan 3α tan α tan α tan α tan 3α tan 3α tan α tan α 11

13 9. Demostrar: 1 tan α 1 + tan α tan(π/4 α) Se tiene: 1 tan α 1 + tan α tan π/4 tan α tan π/4 + tan α sen(π/4 α) cos α sen(π/4+α) cos α sen(π/4 + α) sen(π/4 α) pero, (π/4 α) y (π/4 + α) son complementarios, luego: 1 tan α 1 + tan α sen(π/4 + α) sen(π/4 α) tan(π/4 α) 10. Demostrar que A + B + C 180 o, si sen A + sen B + sen C 4 sen A sen B sen C Puesto que C 180 o (A + B), sen A + sen B + sen C sen A + sen B + sen[360 o (A + B)] sen A + sen B sen (A + B) sen A + sen B sen A cos B cos A sen B (sen A)(1 cos B) + (sen B)(1 cos A) sen A sen B + sen B sen A 4 sen A cos A sen B + 4 sen BB sen A 4 sen A sen B(sen A cos B + cos A sen B) 4 sen A sen B sen(a + B) 4 sen A sen B sen[180 o (A + B)] 4 sen A sen B sen C 1

14 Ejercicios Propuestos 1. Demostrar: cosec α cos α cot α. Demostrar: 1 sen α cos α sec α tan α 3. Demostrar: sen θ cosec θ + cos θ sec θ 1 4. Demostrar: cos 3α 4 cos 3 α 3 cos α 5. Si a cot α, entonces demostrar: a + 1 a sec α cosec α 6. Demostrar: cosec α cot α tan(α/) 7. Demostrar: sen(α + β) sen β + cos(α + β) sen β cos α 8. Demostrar: sen 3x sen x cos 3x cos x 9. Demostrar: tan 50 o tan 40 o tan 10 o 13

15 10. Si A + B + C 180 o, demostrar que: sen A + sen B + sen C 4 cos(a/) cos(b/) cos(c/) 14

16 Unidad III. Funciones trigonométricas para ángulos cualesquiera. Ejercicios Resueltos 1. Deducir las fórmulas para las funciones de (180 o θ) en térmnos de las funciones de θ Puesto que 180 o θ 90 o + (90 o θ), entonces sen(180 o θ) sen[90 o + (90 o θ)] cos(90 o θ) sen θ cos(180 o θ) cos[90 o + (90 o θ)] sen(90 o θ) cos θ. Deducir las fórmulas para las funciones de (70 o θ) en térmnos de las funciones de θ Puesto que 70 o θ 180 o + (90 o + θ), entonces sen(70 o θ) sen[180 o + (90 o + θ)] sen(90 o θ) cos θ cos(70 o θ) cos[180 o + (90 o + θ)] cos(90 o θ) sen θ 3. Calcular el valor de: sen 30 cos 30 o + tan 60 o 3 sec 30 o + cos 45 o Sabemos que: Reemplando resulta: cos 30 o 1 cos 30 o tan 60 o ( ) cos 45 o ( ) 1 ( ) sen 30 cos 30 o + tan 60 o 3 sec 30 o + cos 45 o ( ) 11(4 3 1) 94 15

17 4. Encontrar el valor exacto del seno, del coseno y de la tangente para el ángulo igual a 315 o Tenemos que 315 o 360 o 45 o, entonces: sen 315 o sen 45 o cos 315 o cos 45 o tan 315 o tan 45 o 1 5. Encontrar el valor exacto del seno, del coseno y de la tangente para el ángulo igual a 40 o Tenemos que 40 o o 10 o y 10 o 180 o 60 o, entonces: 3 sen 40 o sen 60 o 3 cos 40 o cos 60 o tan 40 o tan 60 o 3 6. Si tan 5 o a, encontrar: tan 155 o tan 115 o 1 + tan 155 o tan 115 o tan 155 o tan 115 o 1 + tan 155 o tan 115 tan 5o ( cot 5 o ) o 1 tan 5 o cot 5 o a + 1/a 1 + a(1/a) a + 1 a + a 1 a a 16

18 7. Calcular el largo de la sombra que proyecta un edificio de 150 metros de alto cuando el sol se encuentra a 30 o por encima del horizonte En el triángulo que representa la situación real conocemos el cateto opuesto al ángulode 30 o, pero no su cateto adyacente. Las razones que relacionan estos datos son la tangente y la cotangente de 30 o. Luego: Donde: x 150 tan o 3 3 tan 30 o 150 x x , 81m 17

19 Ejercicios Propuestos 1. Expresar como funciones de un ángulo agudo positivo. a) cos 15 o b) sen 00 o. Dado tan 5 o 0, 46, calcular: a) cot 50 o b) tan 50 o 3. Calcular el valor de sen 30 o + cos 45 o tan 30 o 4. Calcular el valor de cosec 30 o + cosec 60 o + cosec 90 o sec 0 o + sec 30 o + sec 60 o 5. Calcular el valor de cos 60 o tan 45 o tan 30 o + cos 30 o sen 30 o 6. Encontrar los valores exactos del seno, del coseno y la tangente de: a) 5 o b) 10 o 7. Demostrar que cuando θ es un ángulo del segundo cuadrante, tal que tan θ /3, entoces: sen(90 o θ) cos(180 o θ) tan(70 o + θ) + cot(360 θ) 3 8. Una persona sube por un camino que tiene 0 o de pendiente respecto delplano horizontal. Al cabo de caminar 500 metros,?a qué altura sobre el nivel inicial se encuentra la persona? 9. Un satélite artificial sobrevuela una ciudad y en ese instante, desde un observatorio situado a 300 kilómetros de ella, se le avista con un ángulo de elevación de 64 o.?a qué altura de la ciudad se encuentra el satélite? 18

20 10. Un bote con motor se puede desplazar a un máximo de 1 km/hr.? En qu e dirección se debe enfilar el bote para cruzar en forma perpendicular de un punto de a otro de las riberas de un río, si la corriente es de 5km/hr? 19