SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Transcripción

1 IES ÉLAIOS Curso AREA / MATERIA: MATEMÁTICAS CURSO: 4º E.S.O. Opción B. Ejercicios de repaso ª Evaluación SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 1. Se quiere construir un parterre con forma de triángulo rectángulo. Se sabe que la altura y la proyección de un lado sobre la hipotenusa miden 15 y 8 1 metros respectivamente. Calcula el perímetro del parterre. SOLUCIÓN: metros. Antonio y Víctor tienen sus casas en la misma acera de una calle recta. Todos los días van a un polideportivo que forma triángulo rectángulo con sus casas tal y como indica la figura. Responde: a) A qué distancia está la casa de Víctor del polideportivo? SOLUCIÓN: 10 kilómetros b) Qué distancia separa ambas casas? SOLUCIÓN: 1 5 kilómetros. Dos caminos paralelos se unen entre sí por dos puentes, que a su vez se cortan en el punto O. Teniendo en cuenta las medidas de la figura, calcula la longitud de los dos puentes. SOLUCIÓN: 17 y 16.5 m. (x = 6 8; y = 9 75) 4. Un arquitecto ha hecho una maqueta a escala 1:100 de un edificio destinado a oficinas con forma de cubo, cuya arista mide 70 metros. Calcula la superficie de la planta y el volumen que tendrá el edificio en la maqueta. SOLUCIÓN: 0 49 m y 0 4 m 5. Los lados de dos pentágonos regulares miden 7 y 5 centímetros respectivamente. Son semejantes? En caso afirmativo, calcula la razón de semejanza entre sus áreas. SOLUCIÓN: Sí. Razón: 49/5 (del pequeño al grande) o 5/49 (del grande al pequeño) TRIGONOMETRÍA 6. Expresa los siguientes ángulos en grados y, posteriormente, como suma de un número de vueltas y un ángulo menor de 60º. a) 4 π radianes b) 5 π radianes 50π c) radianes d) 10 π radianes SOLUCIÓN: a) vueltas + 0º b) vueltas + 180º c) 8 vueltas + 40º d) 5 vueltas 7. Resolver los siguientes triángulos rectángulos (calcular lados y ángulos): a) b = cm, c = 4 cm. b) a = 1 cm, b = 5 cm. a = 5 cm, B = 6º 5 1, C = 5º 7 48 c = 1 cm, B = º 7 1, C = 67º 48 1

2 IES ÉLAIOS Curso c) a = 5 cm, c = 4 cm. d) b = 8 cm, c = 15 cm. b = 7 cm, B = 16º 15 7, C = 7º 44 a = 17 cm, B = 8º 4 1, C = 61º 55 9 e) a = 5 cm, B = 45º f) c = 4 cm, C = 60º b = cm, c = cm, C = 45º a = 4 6 cm, b = 1 cm, B = 0º 8. Calcular las restantes razones trigonométricas sabiendo que: 4 a) cos α = 5 0º α 90º b) cot agα = 90º α 180º 5 c) cos ecα = 90º α 180º d) secα = 1 70º α 60º. 9. Si sen 7º = 0 6 y cos 7º = 0 8, Cuál es el valor de las razones trigonométricas de los siguientes ángulos? a) 5º b) 17º c) 14º d) 17º e) º sen 5º = 0 8 sen 17º = 0 8 sen 14º = 0 6 sen 17º = 0 6 sen º = 0 6 cos 5º = 0 6 cos 17º = 0 6 cos 14º = 0 8 cos 17º = 0 8 cos º = 0 8 tag 5º = 1 tag 17º = 1 tag 14º = 0 75 tag 17º = 0 75 tag º = Si sen 0º = 0 4, determina el valor de las siguientes razones trigonométricas: a) sen 70º b) tag 00º c) sec 90º d) cos 160º e) cos ec40º f) sec 50º a) 0 94 b) 0 6 c) 94 d) 0 94 e) 94 f) Desde un cierto lugar se ve el punto más alto de una torre bajo un ángulo de 5º. Si se retrocede 00 metros se ve la misma torre pero bajo un ángulo de 0º. Calcula la altura de la torre. SOLUCIÓN: m. 1. Se desea calcular la altura de una torre de televisión. Para ello se hacen dos observaciones desde los puntos A y B, obteniendo como ángulos de elevación 60º y 45º respectivamente. Sabiendo que la distancia AB es de 16 metros y que la torre está situada entre los dos puntos, halla la altura de la torre. SOL:79 88 m 1. Calcula el área de un pentágono regular de 15 metros de lado. (Dato: sen 6º = ) SOL:86 89 m

3 IES ÉLAIOS Curso Existe un ángulo agudo α tal que sen α = 0 5 y cos α = 0 5? Justifica la respuesta. SOL: No. 15. Un turista observa un monumento desde cierta distancia bajo un ángulo de 70º. Bajo qué ángulo lo verá si se aleja cuatro veces dicha distancia? SOLUCIÓN: 8º En una circunferencia de 9 cm. de radio inscribimos y circunscribimos sendos hexágonos regulares. Calcula el área de la superficie comprendida entre ellos. SOLUCIÓN: cm 17. Si tu sombra es la mitad de tu altura, qué ángulo forman los rayos del sol con el horizonte? SOLUCIÓN: 6º Cuánto vale el coseno del ángulo cuyo seno es igual a su tangente? SOLUCIONES: 19. Dos edificios distan entre sí 150 metros. Desde un punto que está entre los dos edificios vemos que las visuales a los puntos más altos de éstos forman con la horizontal ángulos de 5º y 0º. Cuál es la altura de los edificios si sabemos que los dos miden lo mismo? SOLUCIÓN: 5 9 metros. FUNCIONES 0. Cuántas veces puede cortar la gráfica de una función el eje X? Y el eje Y? Justifica las respuestas. SOLUCIÓN: Eje X: Todas las veces que quiera. Eje Y: 1 vez como máximo. 1. Dibuja una función que cumpla con las siguientes características: a) El dominio de definición es (, ]. b) Es continua en su dominio. c) Crece en el intervalo (, ). d) Pasa por los puntos (0, 0 ), (, ) y (, 4 ). e) Es constante para todos los valores de x.. Dibuja una función que cumpla con las siguientes características: a) Está definida en todo R. b) Es continua en todo el dominio. c) Corta al eje Y en (0, 6 ), pero no corta al eje X. d) Su mínimo es (, 1 ) y pasa por el punto (, ) f) Crece en (, ) 0 (, + ) y decrece en (, ) (0, ). Observa la gráfica y responde a las siguientes preguntas: a) Cuál es el dominio de definición?

4 IES ÉLAIOS Curso b) Cuál es el recorrido de la función? c) En qué intervalos la función es creciente y en cuáles decreciente? d) Tiene máximos y mínimos relativos? En caso afirmativo, Cuáles son? e) Cuál es la T.V.M. en el intervalo [, ]. T.V.M.=. 4. Observa la gráfica y responde a las siguientes preguntas: a) Cuál es el dominio de definición? b) Cuál es el recorrido de la función? c) En qué intervalos la función es creciente y en cuáles decreciente? d) Tiene máximos y mínimos relativos? En caso afirmativo, Cuáles son? No tiene máximos ni mínimos relativos e) Cuál es la T.V.M. en el intervalo [, ]. T.V.M.= Sea una función periódica de periodo 4 con f (0) = 0, f (1) = 1, f () = y f () = 1. Calcula la T.V.M. en el intervalo [5, 59 ] 6. Calcula la T.V.M. en el intervalo [, ] 7. Representa las siguientes funciones: de la función f (x) = x x + x 4 T.V.M.= 16. a) x + 5x + 6 f (x) = x + 4 x 0 0 < x x > b) f (x) = 6 x 8. Halla la expresión de las siguientes funciones: a) b) 4

5 IES ÉLAIOS Curso Calcula los siguientes dominios: x a) f (x) = b) x + x + 1 f (x) = c) f (x) = ln( x 5x + 6) 4 x x Calcula los parámetros p y q para que la parábola y = x + px + q tenga por vértice el punto V (1, ) SOLUCIÓN: p =, q = Usando la definición de logaritmo, calcula el valor de N en cada caso: a) ( N + ) = 4 b) log ( 104) = N c) log ( 0'065) N log 1 =. Asocia una gráfica a cada una de las siguientes expresiones explicando el por qué de dicha asignación. a) f (x) = b) x f (x) x 1 = c) f (x) = x x 6 I II III IV V VI SOLUCIÓN: a) I b) IV c) VI 5

6 IES ÉLAIOS Curso Soluciones (inecuaciones ) 1.- a) x < b) x > -/5 c) x 4 d) x < 5 e) x -6 f) x 1.- a) (-7,) b) (-1/, ½) c) (-, 0] [1/5, + ) d) No tiene solución e) (-1, 1) f) (-15/,1) g) (-, -1] [, + ) h) (-, -1/) (5, + ) i) (-, -) (7, + ) j) No tiene solución.- a) (-, 0) (5, + ) b) (-, ) c) [-4, + ) d) (-4,) e) (-, 0) f) )(-, 1) (5/, + ) 6