EJERCICIOS DE RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS (TEMA 1)

Transcripción

1 Colegio Diocesano Asunción de Nuestra Señora Ávila Tema EJERCICIOS DE RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS (TEMA ).- Dados los ángulos = º y = 7º, calcula: a) + b) c) d).- Dados los ángulos = º 7 y = 7º, calcula: a) + b) c) d).- Expresa en radianes o en grados, según corresponda, los siguientes ángulos: a) 6º b) c) d) e) En qué cuadrantes están los siguientes ángulos?: 7 a) 900º b) 0º c) 70º d) e) 9.- Dos ángulos de un triángulo miden respectivamente 70º y ángulo expresado en radianes. f) f) rad. Calcula lo que mide el tercer El ángulo desigual de un triángulo isósceles mide rad. Calcula los otros dos ángulos expresados 9 en radianes. 7.- El ángulo  mide º y el Bˆ 6º. Cuántas veces es mayor Bˆ que Â?. Expresa el valor de los ángulos  y Bˆ en radianes. 8.- Un ángulo recto se divide en cuatro partes iguales y se toman tres de ellas. Expresa el ángulo considerado en grados y en radianes. 9.- Los ángulos de un triángulo son proporcionales a, y. Calcula el valor de dichos ángulos expresados en grados y en radianes. 0.- Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los triángulos rectángulos siguientes: a)  =90º a= cm b= cm b)  =90º b=7 cm c= cm.- Completa la siguiente tabla indicando los signos correspondientes: 0º 00º 6 sen cos tg cosec sec cotg.- La tangente de un ángulo es 7. Halla el seno y el coseno de dicho ángulo sabiendo que es del primer cuadrante..- Calcular cotg en los siguientes casos: a) sen =0 7 y b) cos = 0 7 y c) sen y.- Calcula el seno y el coseno del ángulo agudo, sabiendo que tg..- Calcula el coseno y la tangente del ángulo si sen y 90º 80º. 6.- Calcula el seno y el coseno del ángulo del que se sabe que tg y 70 º 60 º.

2 Colegio Diocesano Asunción de Nuestra Señora Ávila Tema 7.- Calcula el seno y la tangente del ángulo si cos y 80 º 70 º. 8.- Calcula el seno y el coseno del ángulo del que se sabe que tg 0 y 90º 80 º. 9.- Calcula las restantes razones trigonométricas sabiendo que: a) sen, 80º 70 º b) cos, 6 c) sen, 0 d) cos, e) tg y f) cot g y, g) sen 0 y está en el º cuadrante h) tg 0 y está en el º cuadrante i) tg y α está en el º cuadrante j) cot g, 0.- Calcula las razones trigonométricas de α, sabiendo que sen y que α es un ángulo del primer cuadrante..- Sabiendo que tg y que el ángulo α verifica 90º<α<80º, calcula el seno y el coseno de α..- Con ayuda de las razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante, calcula las razones del ángulo α= 9º..- Con ayuda de las razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante, calcula las razones del 7 ángulo rad..- Expresa las razones trigonométricas de los siguientes ángulos en función de las de uno del primer cuadrante: a) 0º b) º c) º.- Expresa las razones trigonométricas del ángulo de 0º en función de las de su complementario. 6.- Reducir al primer cuadrante tg60º. Hacerlo paso a paso. (Expresar la tg60º como la razón trigonométrica de un ángulo comprendido entre 0º y 90º). 7.- Averigua el seno, coseno y tangente de los siguientes ángulos: a) 0º b) º c) 0º d) 70º e) 0º f) 00º 8.- Expresa las siguientes razones trigonométricas en función de un ángulo del primer cuadrante: a) cotg ( 0º) b) sec ( º) c) cosec 0º d) cotg 00º 9.- Sabiendo que tg y que 0º<α<90º, calcula: a) sen y cos b) sen ( 90º ), cos (80 º ) y tg ( 80º ) 0.- Si tg y está en el º cuadrante, halla las siguientes razones trigonométricas: a) tg (90 ) b) tg (70 ) c) tg (90+) d) tg (70+) e) tg (80 ) f) tg ( ) g) tg (80+) h) tg (70+).- En un triángulo rectángulo conocemos que sen Bˆ =0 8. Calcular las razones trigonométricas del otro ángulo agudo Ĉ..- Calcular: a) sen b) cosº c) tg6º d) cot g 6.- Qué ángulos entre 0º y 60º verifican que su seno vale.

3 Colegio Diocesano Asunción de Nuestra Señora Ávila Tema.- Puede haber algún ángulo para el que se cumplan las igualdades tg y sen?. Justifica la respuesta..- Dibuja un ángulo del primer cuadrante sabiendo que: a) cos b) cot g c) tg d) sen 6.- La fórmula sen( ) sen sen no es verdadera y, por tanto, no se puede aplicar. Compruébalo para el caso en que α = = º. 7.- Simplifica todo lo que puedas las expresiones: a) tg sen cot g b) cot g sen c) tg sen cot g tg cos ( tg ) d) e) f) cos cot g cot g cot g tg g) cot g sen cos ec h) cot g sen i) cotg cos x sen j) ( sen cos ) ( sen cos ) k) l) sen x cos m) cos cotg n) ñ) cos cos cos 8.- Prueba las siguientes identidades trigonométricas: cos x sen x cot g tg tg a) cos x b) cos c) tg x cot g cot g cos sen cos tg tg x d) sen e) f) cot g sen cos tg sen x cos x sen x g) (sen cos ) tg cos h) sec cos ec sec cos ec tg i) sen cos tg j) sen cos tg sec k) sen sec sec l) tg cot g sec cos ec sec cos ec cos ec n) tg sen tg sen cot g cos m) sen cos ñ) sen tg sen o) cot g cos cot g cos cos sen ( sen cos ) p) tg cot g sen cos 9.- Simplificar las siguientes expresiones en función del ángulo aplicando las correspondientes reducciones al primer cuadrante: tg ( ) a) sen (70 ) sec cos ec (80 ) cos ec (90 ) b) cos ec(70 ) sec (80 ) tg (60 ) cos sen 80 sen (90 )

4 Colegio Diocesano Asunción de Nuestra Señora Ávila Tema 0.- Si sec, Cuánto vale cos ec tg cos ec tg?..- Se sabe que el seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo vale. Calcula las razones trigonométricas del otro ángulo agudo. Cuánto vale la suma de los catetos si la hipotenusa mide 0 cm?..- El triángulo ABC, rectángulo en Â, verifica que sen B ˆ y a=0 cm. Calcula la medida de la altura relativa a la hipotenusa..- Qué ángulo formarán los rayos del Sol con el plano horizontal cuando la sombra de un edificio de 0 m de altura sea de m?..- Resuelve los triángulos rectángulos en los siguientes casos (el valor del ángulo  es siempre de 90º): a) a=0, Bˆ =º b) b=00, Bˆ =º c) b=7, c=00 d) a=80, b=08 e) a=, Bˆ =7º 6 f) b=6, Bˆ =0º 8 g) b=9 6, c= 7 h) a=, c=89 0 i) b= 8, c= 8 j) b=0 08, Bˆ =78º.- Resuelve un triángulo rectángulo en el que: a) la hipotenusa es 66 8 y uno de los ángulos 6º 6 b) la hipotenusa es 7 y un cateto 6.- Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide cm y su ángulo opuesto 0º. Calcula el valor de la hipotenusa y del otro cateto. 7.- Halla los ángulos del triángulo rectángulo que tiene por lados 97, 7 y 6 cm respectivamente. 8.- Dibuja un triángulo rectángulo que tenga por catetos 8 unidades y unidades de longitud. Calcula el valor de su hipotenusa y de sus ángulos agudos. 9.- Dibuja un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mida 7 unidades y uno de sus catetos 8 unidades. Calcula el valor del otro cateto y de sus ángulos agudos. 0.- Una escalera está apoyada en el suelo y en la pared, y forma un ángulo de 0º con el suelo. La distancia del punto de apoyo de la escalera sobre el suelo a la pared es de metros. Halla la altura que alcanza la escalera y su longitud..- Si la altura de una torre es de 0 metros y la sombra que proyecta en un momento determinado vale metros. Cuál es el ángulo que forman los rayos del Sol con el suelo en ese momento?..- Calcula la altura de una torre sabiendo que su sombra mide metros cuando los rayos del Sol forman un ángulo de 0º con el suelo..- Una torre de 0 metros de alto proyecta una sombra de metros de largo. Calcula la inclinación de los rayos solares en ese momento..- Un árbol proyecta una sombra de 6 7 m cuando el ángulo de elevación del Sol es de º. Calcula la altura del árbol..- La inclinación de los rayos solares en cierto momento es de 8º. Calcula la longitud de la sombra que proyecta un árbol de metros de altura. 6.- Calcula cuánto mide la sombra de un edificio, sabiendo que éste mide 0 metros de altura y que el ángulo que forman los rayos solares con el suelo es de 60º. 7.- Desde un faro F, situado a 0 metros sobre el nivel del mar, se observa un barco B bajo un ángulo de depresión de 8º (ángulo con la horizontal). Calcula las distancias que separan al barco de la costa y del faro respectivamente. 8.- Para medir la distancia ente dos puntos P y Q, trazamos un segmento PR perpendicular a PQ y que mide 0 m. La medida del ángulo PRQ es de 80º. Calcula la distancia que separa a P de Q. 9.- Tráfico quiere colocar una señal de desnivel en un cierto tramo de carretera. Para ello, un coche de policía recorre 000 metros y constata que, en ese trayecto, se ha ascendido 80 metros. Qué señal deberá colocar?. Qué ángulo de ascensión tendrá la carretera?.

5 Colegio Diocesano Asunción de Nuestra Señora Ávila Tema 60.- Una señal de carretera indica que la inclinación en ese tramo es del 0%, lo cual quiere decir que por cada 00 m que recorre, se ascienden 0 m verticales. Qué ángulo forma la carretera con la horizontal?. Cuántos metros hay que recorrer para ascender 0 m?. 6.- Un rectángulo mide cm de base y 7 cm de altura. Calcula el valor de los ángulos que una de las diagonales forma con cada uno de los lados del rectángulo. 6.- Juan mide 7 cm. Cuál es la longitud de la sombra que proyecte cuando los rayos del Sol formen un ángulo de 0º con el suelo?. 6.- A qué distancia de la pared se debe colocar el pie de una escalera de m de largo para que forme un ángulo de 6º con la horizontal?. 6.- Calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden cm y 8 cm, respectivamente. 6.- Calcula el área de un rombo cuyos lados miden 8 cm y dos de los ángulos 7º En un triángulo isósceles, el lado desigual mide lo mismo que su altura. Cuánto miden los ángulos del triángulo? Es posible que la suma del seno y del coseno de uno de los ángulos de un triángulo sea? La suma en grados de los ángulos de un polígono de n lados viene expresada por la fórmula S ( n ) 80 º. Expresa en radianes la medida de cada uno de los ángulos de un pentágono regular y de un polígono regular de lados Prueba que en un triángulo rectángulo en el que uno de sus ángulos agudos mide 60º, la hipotenusa es el doble que uno de los catetos Qué longitud tendrá un segmento cuya proyección sobre otro que forma con él un ángulo de º mide 8 cm?. 7.- En un triángulo ABC, rectángulo en Â, los catetos miden 8 y cm, respectivamente: a) Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos. b) Calcula BH y CH, siendo AH la altura sobre la hipotenusa del triángulo. 7.- Halla la medida del ángulo que forman la diagonal de un cubo y la diagonal de una de las caras de dicho cubo, si las dos parten del mismo vértice. 7.- Llamamos ángulo diedro de un tetraedro, o de cualquier otra figura del espacio, al ángulo que forman dos de sus caras. Calcula las razones trigonométricas de los diedros de un tetraedro regular. 7.- Dos puntos A y B de la esfera terrestres están sobre un mismo meridiano. La latitud de A es 0º Norte y B está situado a 00 km al norte de A. Calcula la latitud de B. Toma como radio de la Tierra 670 km. 7.- Dos circunferencias de radios y 8 cm tienen sus centros separados por una distancia de 0 cm. Halla el ángulo que forman la recta que une los centros, con una tangente exterior. Haz lo mismo pero con una tangente interior Sabiendo que sen ( 90º ) h y que α es un ángulo del primer cuadrante, calcula en función de h el valor de tg ( 80º ) Un ángulo de º equivale a... radianes Un ángulo de 9 rad equivale a... sexagesimales Completar las siguientes afirmaciones: a) Un ángulo de dos radianes equivale a... grados sexagesimales, y tiene como coseno el número.... b) Un triángulo rectángulo de lados, y metros tiene unos ángulos de...,..., y... radianes. c) Un ángulo α tal que 90º<α<80º y cuyo coseno es el número 0, mide... radianes, y su tangente vale.... d) Simplificando al máximo la siguiente expresión.... cos obtenemos que es igual a sen cos sen

6 Colegio Diocesano Asunción de Nuestra Señora Ávila Tema 80.- Si la hipotenusa vale cm, B ˆ 9º ' b =..., c =..., Ĉ Si 80º<<70º, y tg ' sen..., cos..., = Si sen 0', tg 0 cos..., = Si tg, 70º<<60º sen..., cos..., = Si un triángulo rectángulo tiene de hipotenusa cm y el cos B ˆ 0' 9, su área será de... cm. 6