(determinación de dominio, imagen y ceros) de las gráficas de las funciones seno, coseno y tangente. º 135º 120º 240º 300º 315º 270º

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1 TRABAJO PRÁCTICO Nº 5 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS En este eje continuaremos con la competencia básica de Resolución de Problemas y además las siguientes competencias específicas 1. Analizar una función o un fenómeno físico o químico sencillo a partir de su representación gráfica y/o a partir de sus ecuaciones matemáticas.. Resolver problemas sencillos de Matemática, Física y Química aplicando modelos matemáticos. Contenidos Habilidades y destrezas conceptuales Inherentes a la Resolución de Problemas vistos en el TP 1 Clasificación de sistemas de medición de ángulos y aplicación a la conversión Trigonometría entre ángulos medidos en sistema básica. sexagesimal y radial. Sistemas de Identificación de las relaciones entre medición de ángulos complementarios, que difieren ángulos. Relaciones en π/, suplementarios, que difieren en entre ángulos. π y opuestos. Ecuaciones e Resolución de ecuaciones identidades trigonométricas y verificación de trigonométricas. identidades. Funciones Observación, identificación y análisis trigonométricas (determinación de dominio, imagen y ceros) de las gráficas de las funciones seno, coseno y tangente. Indicadores de Logro Identifica datos e incógnitas. Completa la información necesaria recurriendo a otras fuentes: observación, experimentación, textos, Internet y otras. Plantea y usa ecuaciones adecuadas. Usa la notación adecuada. Opera con números reales en forma correcta. Usa y realiza las conversiones de unidades necesarias. Analiza las soluciones aritméticas halladas, vinculándolas con el problema planteado. Comunica el/los resultado/s en forma adecuada.. 1) Completa la tabla rad π /6 5π /6 3π / 5π /4 π º 135º 10º 40º 300º 315º 70º ) Expresa en radianes (utiliza una fracción unitaria adecuada): a) 16º30 b) 690º c) 135º d) 5º ) Expresa en grados sexagesimales (utiliza una fracción unitaria adecuada): a) 13 π /6 b) 7π /4 c) 11 π /1 d) 7 π /5 4) Construye un triángulo rectángulo isósceles de 1 unidad de longitud cada cateto. Averigua a) Medida de la hipotenusa. b) Las funciones trigonométricas de 45º a partir del triángulo, utilizando razones trigonométricas. 4

2 5) Completa la tabla: αº α (rad) sen α cos α tg α 0º 45º 60º 90º 6) Si sen t < 0 y cos t < 0, entonces: a) 0 < t < π/ b) π/ < t < π c) π < t < 3π/ d) 3π/ < t < π e) Ninguna respuesta anterior es correcta 7) Observa la circunferencia trigonométrica y el ángulo α < 90º representado, expresa en función de sen α, cos α, o tg α a) sen ( α) = b) sen β = c) sen γ = d) sen δ = e) cos β = f) cos ( α) = g) cos γ = h) cos δ = i) tg ( α) = j) tg γ = 8) Indica si las siguientes afirmaciones son V o F: a) sen γ = sen (γ 90º) b) tg β = tg(β + π) c) tg γ = cotg (π/ γ) d) tg ( ϕ) = tg ϕ e) cos (α + π) = sen α f) sen (π α) = cos α 9) Completa con los signos que correspondan y con ángulos del primer cuadrante: a) sen 150º =.sen. =. cos. b) cos 10º =..sen.. =. cos.. c) tg 315º = tg.. =. cotg d) tg 40º =. tg.= cotg.. 10) Si cos α = 0,7071, podemos afirmar que: a) 90º < α < 180º b) 180º < α < 70º γ β y δ α α x c) 70º < α < 360º d) N.R.A. es C. 5

3 11) Encuentra todos los valores posibles de β (0º, 360º) si: 3 a) sen β = b) tg β = 3 1) Completa con el múltiplo de π/ que hay que sumar para conservar la igualdad: cos x = sen (x +... π/ ) sen x = sen (x +... π/ ) cos x = sen (x +... π/ ) sen x = sen (x +... π/ ) 13) Calcula el valor de x a) x = (sen 90º + sen 45º).(.sen + cos 135º) b) 4 sen(π /4) cos(π /4) = x + [cos 0 + cos(π /3)] c) a x + tg(π /3) cotg(π /6) 1/ cos(π /4) = x + a 3 sen(π /6) 14) Si π < α < π y cos α = tg (3π /4) + sec (π /3) + tg (π /3) + sen (7π /6), entonces a) α = 11π/6 b) α = 5π/3 c) α = 7π/6 d) α = 4π/3 e) Ninguna respuesta anterior es correcta 15) Se enfoca la parte superior de un edificio con un teodolito colocado en un trípode de 1,0 m de altura y ubicado a una distancia de 50 m de la base del edificio. El teodolito marca un ángulo de elevación de 61º Cuál es la altura de un edificio? 16) Desde un avión que vuela a.000 m sobre el océano, el ángulo de depresión de la costa de una isla, es de 3º. Cuántos kilómetros debe recorrer el avión para estar justo sobre ese punto de la costa? 17) Se debe cercar un terreno triangular ubicado en un cruce de caminos, perpendiculares entre sí. Un lado colindante con una de las rutas mide 1,54 km y el ángulo agudo adyacente a él es de 4º 48. Qué cantidad de alambre se necesita comprar para hacer una cerca de tres hilos? 18) Para construir un galpón, en una base horizontal se han colocado dos hileras de postes, una tiene postes de 4 m y la otra de 5,10 m, enterrados 80 cm cada uno. La separación entre las hileras es de 6 m (medida desde los ejes de los postes). Calcula: a) La longitud que deben tener las chapas que se usarán para el techo, si deben sobresalir aproximadamente 40 cm del extremo más bajo. b) En qué ángulo se deben cortar los extremos libres de los postes para que tengan contacto plano con las chapas. 19) Una rampa para lanchas, de 50 m tiene una inclinación de 15º con respecto a la horizontal A qué altura está el extremo de la rampa con respecto al agua? 0) Encuentra la longitud de la sombra que proyecta en el suelo una torre de 15 m, en el momento en que el ángulo de elevación del sol es de.5º 0 1) En los siguientes perfiles de una construcción se necesita conocer x: a) b) c) º x 14 x º 45º 60º x 90º 6 18

4 ) Una circunferencia tiene 48 cm de diámetro, entonces, la longitud del arco subtendido por un ángulo central de 5º, es aproximadamente a) 84,56 cm b) 57,34 cm c) 94,5 cm d) 188,49 cm 3) Qué ángulo, en grados sexagesimales, forman entre sí los rayos de la rueda de una carreta de 80 cm de diámetro, si las pestañas que los sostienen están aproximadamente cada 9, cm? 4) a) Identifica las funciones representadas: observa el gráfico y verifica los valores de las ordenadas para distintos ángulos. Para ello recuerda que los valores de x son ángulos medidos en el sistema radial (π rad 180º), pero π = 3,14159 Por ejemplo un ángulo de 60º lo representamos en el eje x como π/3 1,05. b) Determina D, I y ceros. c) En un dominio restringido al intervalo [ 4, 4], Identifica los intervalos donde las funciones son positivas y donde son negativas. 5) Sabiendo que h(x) = cosec x es la recíproca (NO inversa 1 ) de f(x) = sen x, determina el dominio natural de h(x) 6) Si f(x) = cotg x es la recíproca de tg x, con qué función trigonométrica coinciden sus ceros? 7) Encuentra analíticamente los puntos de intersección entre f(x) = sen x y g(x) = cos x en el intervalo [ π, π] 8) Completa a) Un intervalo donde se verifica tg x > sen x. puede ser (0; ) b) Un intervalo donde se verifica tg x < sen x, puede ser (..; 0) c) Uno de los intervalos donde se verifica cos x < sen x puede ser.. 9) Usando las relaciones fundamentales, simplifica las siguientes expresiones: 1 Las funciones trigonométricas inversas: arc sen x, arc cos x, etc., las verás en Análisis Matemático I 7

5 a) sen x (sen x 1) + cos x 1= b) (1 sen α).(1 + sen α) cos α = 30) Comprueba las siguientes identidades trabajando con un solo miembro. En todos los casos se considera que los divisores son distintos de cero: sen α a) = 1 + cos α 1 cos α b) tg α : (sec α + 1) = sec α 1 c) (sec α 1). cosec α = sec α 1 + tg α 1 + = cos α + sen α sec α cos ec α e) sec 1 α. cos α tg α. sen α = sec α d) ( ) 31) Transforma en producto: sen (x + h) sen x 3) Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas para x [0, π) a) tg x + tg (x + π) = 0 b) sen x + = cosec x c) sen x sen x = cos x d) tg x + ctg x = 33) Imagina que estás filmando una carrera de autos desde un puesto ubicado a 40 m de la pista en forma perpendicular a ella. Comienzas a divisar un auto con un ángulo de 68º con respecto a la perpendicular y dejas de filmarlo cuando el ángulo de tu cámara es de 0º hacia el mismo lado. Qué distancia recorrió el auto durante el tiempo de filmación? 34) Una antena se levanta en el techo de un edificio de 60 m de altura. Una persona con los ojos ubicado en la punta de la antena, observa un perro en la calle que se aleja de la base del edificio. El ángulo de depresión cambia de 35º 49 a mientras el perro recorre 30 m, durante el período de observación. Despreciando la altura del perro, cuál es la altura de la antena? 35) Uno de los tirantes de acero que sostiene una torre de transmisión, está asegurado por un extremo a la torre y por el otro al piso, formando un ángulo con éste de 60º. Cuando el extremo superior se sujeta,5 m más abajo, el ángulo disminuye a 50º Cuánto mide el tirante, sabiendo que es rígido, es decir que no se estira? 8

6 1) COMPLETA AUTOEVALUACIÓN π π π π Si x.sen + tg = sen x.cos α y α = 300º, entonces x = 6 3 π π π Si x + x tg = cotg + x sec, entonces x = Todos los valores posibles de γ (0; π) que verifican sen (γ + π/4). sen (γ π/4) = ½ sen γ son (expresa en radianes):.. Si β (0º; 360º) y se cumple que: tg β = 8 / 3 cos 3. sen posibles para β son... 7 π cos 6 π, entonces todos los valores 4 ) Problema: La torre de una antena de radio se levanta sobre un edificio de 60 m de altura. Desde un punto situado en el suelo a 150 m de la base del edificio se observa que el ángulo subtendido por la torre es de 10º. Cuál es la altura de la torre? Rta: 33 m 3) Expresa en la forma más simplificada posible: sen α cos α π cot g α = π ( π α) sen sen + α 4) Verifica la identidad: ( 1+ cos x) = 1 (sen α o; cos α 0) 1 1 sen x sen x tg x (sen x 0, cos x 0) 5) Calcula las raices de las siguientes ecuaciones trigonométricas para 0 x < π. Verifica. a) sen x = cosec x b) cos x sen x = 1 c) tg x = sec x d) tg x sen x = sec x 1 6) Problema: Desde la punta de un edificio que mira hacia el mar, una persona observa un bote que navega directamente hacia ella. Si se encuentra a 100 m sobre el nivel del mar y el ángulo de depresión del bote cambia de 5º a 40º durante el período de observación, calcula la distancia que ha recorrido el bote durante ese tiempo. 7) Problema: Desde un punto P en el suelo, el ángulo de elevación a la punta de una torre es de 6º 50. Desde otro punto 5 m más cercano a la torre y alineado con P y con la base de la torre, el ángulo de elevación es de 53º 30. Calcula la altura de la torre. 9