EJEMPLO: Dadas las siguientes medidas calcula la longitud del segmento B C. = = 5,338 5

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Benito Tebar Morales
hace 6 años
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1 1.TEOREMA DE TALES. Si se traza un conjunto de rectas paralelas entre si, r, s, t, que cortan a otras dos rectas a e b, los segmentos que se determinan sobre las rectas a y b son proporcionales. A ' AB BC A' AC EJEMPLO: Dadas las siguientes medidas calcula la longitud del segmento B C. A ' AB BC 6,28 6,28 4,25 B ' 5, ,25 5 EJERCICIOS: 1.Sabiendo que AB2, A B 4 y B C 6, cuánto valdrá BC? 2.Sabiendo que AB3, AC5 y A B 4, cuánto valdrá B C?

2 TRIÁ GULOS E POSICIÓ DE TALES: Dos triángulos están en posición de Tales si tienen un ángulo común y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos. Los triángulos ABC y A B C tienen el ángulo agudo α en común y los lados BC y B C paralelos. 1) Los ángulos β y β ' son iguales por ser ángulos correspondientes, lo mismo ocurre con los ángulos γ y γ '. 2) Por el teorema de Tales los lados son proporcionales. Por lo tanto, estos dos triángulos cumplen la definición de triángulos semejantes: 1) Los tres ángulos iguales: α α', β β ' e γ γ ' A ' A' 2) Los tres lados proporcionales: AB AC BC EJEMPLO: Estos dos triángulos están en posición de Tales: tienen el ángulo α en común y los ángulos β β e γ γ por lo tanto los lados BC y B C son paralelos. Son triángulos en posición de Tales. Los lados son por lo tanto proporcionales: 6,55 B C 7, 28 4,52 3,63 AB Tomando primero la igualdad Tomando la segunda igualdad 6,55 B C 6,55 obtenemos B C 3,63 5, 26 4,52 3,63 4,52 6,55 7,28 7,28 obtenemos AB 4,52 5, 02 4,52 AB 6,55

3 2.CRITERIOS DE SEMEJA ZA DE TRIÁ GULOS 1º CRITERIO Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales. α α' e β β ' 2º CRITERIO Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales. a ' a b' b c' c 3º CRITERIO Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales. b' α α ' e b c' c EJERCICIOS: 3.Dibuja un triángulo rectángulo de catetos 3cm e 4cm. Debuja otro triángulo rectángulo de cateto 8cm e hipotenusa 10cm. Calcula los lados que faltan e indica razonadamente si son semejantes. 4.Dos ángulos de un triángulo miden 45º y 60º y otros dos ángulos de otro triángulo miden 75º y 60º. Son semejantes los triángulos?

4 5.Aplica los criterios de semejanza para indicar cuales de los siguientes triángulos son semejantes: a) T 1 es un triángulo rectángulo con un ángulo agudo de 30º. b) A B C es un triángulo isósceles de base 3cm. c) ABC es un triángulo equilátero. d) T 2 es un triangulo de lados 5cm, 5cm y 6cm. e) EFG es un triángulo con dos de sus ángulos de 90º y 60º. f) T 3 es un triángulo con tres ángulos de 60º. g) E F G es un triangulo de lados 20cm, 12cm y 14 cm. h) T 4 es un triángulo rectángulo con dos catetos iguales. i) T 5 es un triángulo isósceles de base 12cm y lados iguales de 10cm. k) A B C es un triángulo de lados 7cm y 5cm y es ángulo que forman de 40º. l) T 6 tiene por lados 5m, 5m y 5 2 m. ll) E F G es un triángulo rectángulo con un ángulo agudo de 45º. m) T 7 es un triángulo de lados 21cm, 18cm y 30cm. n) T 8 es un triángulo con un ángulo de 40º y los lados que lo comprenden de 14cm y 10cm. 6.Indica si es cierta o falsa la siguiente afirmación: dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen igual uno de sus ángulos agudos. APLICACIÓ DE LOS CRITERIOS DE SEMEJA ZA DE TRIÁ GULOS. Cálculo de alturas midiendo la sombra. 7.Un palo vertical que mide 1,5m proyecta una sombra de 2m. Cuánto mide de alto un árbol cuya sombra mide 9m, el mismo dia, a la misma hora y en el mismo lugar? Explica razonadamente el método a seguir y redondea el resultado a dos decimales. 8.Una persona de 1,75m proyecta una sombra de 3m. Si la sombra de un edificio el mismo día, en el mismo sitio y a la misma hora mide 20m, cuánto mide de alto el edificio? 9. Para calcular la altura de un edificio, se clava a 15m de su base un palo de 3m y 2m más alejado un palo de 1m. Si los extremos de los palos están alineados con lo alto del edificio, cuál es la altura de éste?

5 3.RAZO ES TRIGO OMÉTRICAS. DEFI ICIÓ. 10.Calcula las razones trigonométricas del ángulo α: 6. RAZO ES TRIGO OMÉTRICAS EXACTAS DE LOS Á GULOS: 30º, 45º Y 60º. 16.Utilizando las razones trigonométricas de los ángulos de 30º, 45º y 60º resuelve los siguientes problemas: a) En un triángulo rectángulo, ABC, con ángulo recto en Ĉ, conocemos Bˆ 60º y el cateto BC 7cm. Calcula AB, AC y Â. 11.Dibuja un ángulo de 25º y calcula sus razones trigonométricas. Comprueba con otro compañero los resultados y observa que son los mismos. Explica porqué. 12.Dibuja triángulos rectángulos de razones trigonométricas las siguientes: a) senα 3/5 b) cosα 4/7 c) txα1. 13.Un triángulo tiene por lados 6cm, 8cm y 10cm. Calcula las razones trigonométricas del ángulo menor. 5. CIRCU FERE CIA GO IOMÉTRICA PARA DEFI IR LAS RAZO ES TRIGO OMÉTRICAS E EL 1º CUADRA TE. 14.Calcula las razones trigonométricas de los ángulos 35º, 43º, 20º, 85º utilizando la circunferencia goniométrica. Qué observas a medida que nos acercamos a los 90º? Y a los 0º? 15.Dibuja en la circunferencia goniométrica ángulos que cumplan: a)senα 0,5 b)cosα 0,8 c)tgα 1 d)senα 0,9 e) cosα0,2 f)tgα0,6 b) La sombra de un árbol es de 40m y el ángulo que forman los rayos solares con el suelo es de 30º. Cuál es la altura del árbol? c) De un triángulo rectángulo se sabe que un ángulo mide 45º y uno de sus catetos 5cm. Cuánto mide el otro cateto, la hipotenusa y el otro ángulo agudo? 17.Una escalera de 4m está apoyada contra la pared. Cuál será su inclinación si su base dista 2m de la pared? 18.Dibuja un triángulo rectángulo de hipotenusa 1 y uno de los catetos 0,5. Calcula los valores de los ángulos agudos. 7.RELACIO ES TRIGO OMÉTRICAS FU DAME TALES. 19.Utiliza las relaciones trigonométricas fundamentales para completar esta tabla: senα 0,92 cosα 1/2 1/4 tgα 0,75 8.RESOLUCIÓ DE TRIÁ GULOS RECTÁ GULOS. 20.Calcula α en cada caso sabiendo que se trata de un ángulo agudo: a)sen α 0,45 b)cos α 0,5 c)tg α 2

6 21.En una circunferencia de radio 100m se unen dos puntos con una cuerda de 60m. Cuánto mide el ángulo central? 22.Calcula los ángulos de un rombo de diagonales 12 y 8cm, respectivamente. 23.Calcula el área de estos triángulos: a) Un triángulo isósceles donde los lados iguales miden 20m y sus ángulos iguales 35º. b) 27. En una ruta de montaña una señal indica una altitud de 785m. Tres km. más adelante la altitud es de 1065m. Calcula la pendiente de esa ruta y el ángulo que forma con la horizontal. 28.Desde el lugar donde me encuentro la visual de la torre forma un ángulo de 32º con la horizontal. Si me acerco 15m el ángulo es de 50º. Cuál es la altura de la torre? 24.Una linea de alta tensión pasa por dos transformadores T e T. Este es un plano de la línea: a)calcula la longitud del cable que va desde A a T pasando por B. b)si no tuviera que pasar por B, qué cantidad de cable se ahorraría uniendo A con T y T? 25. Una señal de peligro en una carretera nos advierte de que la pendente es del 12%. Qué ángulo forma ese tramo de carretera con la horizontal? Cuántos metros habremos descendido después de recorrer 7km por esa carretera? 26. Resuelve el triángulo ABC; es decir, calcula las medidas de sus elementos desconocidos. Comienza por trazar la altura AH. 29.Desde la torre de control de un aeropuerto se establece comunicación con un avión que va a aterrizar. En ese momento el avión se encuentra a una altura de 1200m y el ángulo de observación desde la torre (ángulo que forma la visual con la horizontal ) es de 30º. A qué distancia está el avión del pie de la torre si esta mide 40m de altura? 30. Si la sombra de un poste es la mitad de su altura, qué ángulo forman los rayos del sol con el horizonte? 31.Dous edificios distan entre si 150m. Desde un punto que está entre os dous edificios vemos que as visuais ós puntos máis altos destes forman coa horizontal ángulos de 35º e 20º. Cál é a altura dos edificios, se sabemos que os dous miden o mesmo? 32. Una escultura está colocada sobre un pedestal de 1,5m de altura. Desde un punto del suelo se ve la escultura bajo un ángulo de 42º y el pedestal bajo un ángulo de 18º. Calcula la altura de la escultura.

33.Desde el faro F se observa el barco A bajo un ángulo de 43º con respecto a la linea de la costa; y el barco B, bajo un ángulo de 21º.

Sabemos que hay un funicular para ir de S a Q, de longitud 500m. Calcula PQ. 9.RAZO ES TRIGO OMÉTRICAS DE Á GULOS CUALESQUIERA. 36.

Dibuja sobre la circunferencia goniométrica dos ángulos tales que: a) senα 0,5. b) cosα 0,5. c) txα 1. d) senα 0,4. e) cosα 0,8. f) txα 1,5. 38.

7 33.Desde el faro F se observa el barco A bajo un ángulo de 43º con respecto a la linea de la costa; y el barco B, bajo un ángulo de 21º. El barco A está a 5km de la costa y el B a 3km. Calcula la distancia entre los barcos. 34. Para calcular la altura del edificio, PQ, medimos los ángulos que indica la figura. Sabemos que hay un funicular para ir de S a Q, de longitud 500m. Calcula PQ. 9.RAZO ES TRIGO OMÉTRICAS DE Á GULOS CUALESQUIERA. 36.Calcula utilizando la circunferencia goniométrica las razones trigonométricas de 27º, 113º, 195º, 260º y 330º. 37.Dibuja sobre la circunferencia goniométrica dos ángulos tales que: a) senα 0,5. b) cosα 0,5. c) txα 1. d) senα 0,4. e) cosα 0,8. f) txα 1,5. 38.Calcula ángulos que cumplan las siguientes condiciones: a) senα 0,3 y α en el 3º cuadrante. b) cosα 0,5 y α en el 3º cuadrante. c) txα 0,8 y α en el 2º cuadrante. d) senα 0,7 y α en el 2º cuadrante. e) cosα 0,3 y α en el 2º cuadrante. f) txα 3 y α en el 4º cuadrante. g) senα 0,6 y α en el 1º cuadrante. h) cosα 0,9 y α en el 3º cuadrante. 35. Si QR 15m, cuál es la altura de la torre PQ?

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