Medidas angulares: grados, radianes. La unidad que aprendimos en el colegio para medir los ángulos es el grado sexagesimal.

Transcripción

1 Medidas angulares: grados, radianes La unidad que aprendimos en el colegio para medir los ángulos es el grado sexagesimal. Una forma de definir un grado, es que una vuelta entera son 360 grados, media vuelta 180º (grados) y un cuarto de vuelta ángulo recto 90º. Es decir un grado podríamos definirlo como la 360 ava parte de una vuelta entera o bien la 90 ava parte de un ángulo recto. Esta forma de medir los ángulos es completamente artificial. Podríamos haber dicho que una vuelta fueran 400º o cualquier otro número. Hay una forma más natural de medir los ángulos, dicha unidad se llama radián y la equivalencia es una vuelta entera (360º) radianes. (Matemáticamente se define radián como el ángulo que subtiende un arco de longitud igual a un radio) Fórmula de conversión de unidades (grados a radiantes, radianes a grados) Así si tenemos un ángulo de 60º para pasarlo a radianes sólo tenemos que hacer una fórmula de conversión (regla de 3) radianes Y al revés si tenemos un ángulo expresado en radianes para pasarlo a grados: º (grados sexagesimales) Ejercicios: Ejercicio 1- A cuantos grados equivale un radián? Respuesta: Aprox. 57º Ejercicio 2 - Cuántos radianes son 90º? Respuesta:

2 Razones trigonométricas, seno, coseno y tangente. Aplicaciones de medida Dado un triángulo rectángulo: Definimos: coseno (ángulo) = seno (ángulo) = tangente (ángulo) = Así si tenemos un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm. Y la hipotenusa 5 (es correcto ya que estos tres números cumplen el teorema de Pitágoras) las razones trigonométricas serán. coseno (ángulo) = = 0 8 (número sin unidades) seno (ángulo) = = 0 6 tangente (ángulo) = = 0 75

3 Ejemplos Ejemplo 1 - Si nos encontramos a 20 metros de la base de un árbol y vemos el final de la copa con un ángulo de 35º, calcular la altura del árbol. Desconocemos la altura Y. Sabemos que la altura dividido por la base es la tangente del ángulo La tangente de 35º, nos la da la calculadora = 0, = 0, Calculamos la Y = 20 x 0, = 14 metros aprox. PROBLEMAS: Un avión despega con un ángulo respecto al horizonte de 20º con una velocidad de 70 nudos. Al cabo de 10 segundos a qué altura respecto al suelo se encuentra. RECUERDA: Un nudo es una milla marina por hora (1852 m/h). Si un avión entrando a pista para aterrizar ve la cabecera de pista con un ángulo (respecto a la horizontal) de 34º, el final de pista con un ángulo de 25º y sabiendo que la longitud de pista es de metros, se pide la altura a que se encuentra el avión en este momento y la distancia en horizontal sobre el terreno a cabecera de pista.

4 Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera Para definir las razones trigonométricas de un ángulo mayor de 90º no podemos hacerlo a través de un triángulo rectángulo ya que no pude tener un ángulo mayor de 90º. Vamos a definir de nuevo las razones trigonométricas de un ángulo de manera que sirva para cualquier ángulo y sea equivalente a la definición anterior para ángulos entre 0º y 90º. Dibujemos una circunferencia de radio 1 en un sistema de ejes de coordenadas cartesianas. Cada punto de la circunferencia representa un ángulo. Definimos: Para ángulos entre 0º y 90º esta definición es equivalente a la anterior ya que la hipotenusa vale 1 el cateto contiguo es x y el cateto opuesto es y.

5 Observaciones: 1. Ahora el sigo de las razones trigonométricas no es siempre el mismo ya que dependiendo del cuadrante del ángulo la x y la y pueden tener signo positivo o negativo: Primer cuadrante (0º-90) Coseno + (positivo) Seno + Tangente + Segundo cuadrante (90º-180º) Coseno - (negativo) Seno + Tangente (negativo dividido entre positivo) Tercer cuadrante (180º-270º) Coseno - Seno - Tangente + (negativo dividido entre negativo) Cuarto cuadrante (180º-270º) Coseno + Seno - Tangente Razones ángulos suplementarios, complementarios y opuestos Relacionar las razones trigonométricas de ángulos complementarios, suplementarios y opuestos con ángulos del primer cuadrante. Razones ángulos suplementarios, razones ángulos complementarios, razones ángulos opuestos.

6 Segundo cuadrante 90 < α < 180 ángulos suplementarios α sen ( α ) = sen α cos( α ) = - cos α tan ( α ) = - tan α Ejemplo razones ángulos suplementarios Hallar el seno, coseno y la tangente de 135

7 Tercer cuadrante 180 < α < 270 difieren en α sen ( α ) = - sen α cos( α ) = - cos α tan ( α ) = tan α Hallar el seno, coseno y la tangente de 210

8 Cuarto cuadrante 270 < α < 360 ángulos opuestos - α ó α sen ( α ) = - sen α cos( α ) = cos α tan ( α ) = - tan α Hallar el seno, coseno y la tangente de 315

9 Primer cuadrante 0 < α < 90 ángulos complementarios 90 - α sen ( 90 - α ) = cos α cos(90 - α ) = sen α tan ( 90 - α ) = 1 / tan α Ejemplo razones ángulos complementarios Sabiendo que sen 25 = 0,423 y cos 25 = 0,906. Hallar las razones trigonométricas de 65

10 Calculamos el valor del ángulo α y aplicamos las equivalencias α = 65 α = α = 25 sen 65 = cos 25 = 0,906 cos 65 = sen 25 = 0,423 tan 65 = 1 / tan 25 = 2, 145 Actividades interactivas > Observa los valores y el signo del seno y coseno de ángulos situados en cualquier cuadrante. Ejercicios resueltos de razones de ángulos

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