T3 Trigonometría. Definiciones. Las razones trigonométricas del ángulo agudo,, de un triángulo rectángulo son:

Transcripción

1 T Trigonometría Definiciones. Las razones trigonométricas del ángulo agudo,, de un triángulo rectángulo son: sen = cateto opuesto = a hipotenusa c hipotenusa cosec = = c cateto opuesto a cos = cateto adyacente = hipotenusa c sec = hipotenusa cateto adyacente = c cateto opuesto tg = = a cateto adyacente cateto adyacente ctg = = cateto opuesto a Valores de ángulos determinados. 0º 0º 45º 60º 90º sen x 0 / / / cos x / / / 0 tg x 0 / ctg x / 0 Reducción al er cuadrante: Ángulos complementarios. Dos ángulos son complementarios suman 90. Se denotan por y 90-. La relación entre dichos ángulos es: sen(90-) = cos cos(90-) = sen tg(90-) = ctg ctg(90-) = tg sec(90-) = cosec cosec(90-) = sec 90- Ángulos suplementarios. Dos ángulos suplementarios suman 80. Se denotan por y 80-. La relación entre dichos ángulos es: sen(80-) = sen cos(80-) = -cos tg(80-) = -tg ctg(80-) = -ctg sec(80-) = -sec cosec(80-) = cosec 80- Ángulos que difieren 80º. Dos ángulos que difieren 80 se denotan por y 80+. La relación entre dichos ángulos es: sen(80+) = -sen cos(80+) = -cos tg(80+) = tg ctg(80+) = ctg sec(80+) = -sec cosec(80+) = -cosec 80+

2 Ángulos que difieren 90º. Dos ángulos que difieren 90 se denotan por y 90+. La relación entre dichos ángulos es: sen(90+) = cos cos(90+) = -sen tg(90+) = -ctg ctg(90+) = -tg sec(90+) = -cosec cosec(90+) = sec Ángulos opuestos. Dos ángulos son opuestos si su suma es 60. Se denotan por y 60-. La relación entre dichos ángulos es: sen(-) = -sen cos(-) = cos tg(-) = -tg ctg(-) = -ctg sec(-) = sec cosec(-) = -cosec 90+ Relaciones entre razones trigonométricas: Identidades Relaciones entre las diversas funciones trigonométricas: sen + cos = +ctg = cosec +tg = sec Razones trigonométricas de la suma. sen(x+y) = senx cos y + cosx sen y cos(x+y) = cosx cos y - senx sen y tg(x + y) = tgx+tgy tgx.tgy Razones trigonométricas de la diferencia. sen(x - y) = senx cos y - cosx sen y cos(x - y) = cosx cos y + senx sen y tg(x - y) = tgx tgy +tgx.tgy Razones trigonométricas del ángulo dole. sen(x) = senx cos x cos(x) = cos x- sen x tg(x) = tgx tg x Razones trigonométricas de l ángulo mitad. sen( x ) = cosx cos( x ) = +cosx tg( x ) = cosx +cosx

3 Transformaciones de suma en producto. sen x + sen y = sen x+y x y cos sen x - sen y = cos x+y x y sen cos x + cos y = cos x+y x y cos cos x - cos y = - sen x+y x y sen Transformaciones de producto en suma. senx cos y = [sen(x+y) + sen(x-y)] cos x sen y = [sen(x+y) - sen(x-y)] cos x cos y = [cos(x+y) + cos(x-y)] sen x sen y = - [cos(x+y) - cos(x-y)] Resolución de triángulos Teorema del seno. Si A, B y C son los tres ángulos de un triángulo y a,, c son los tres lados opuestos respectivamente a dichos ángulos, se cumple que: a sen A = sen B = c sen C Teorema del coseno. Si A, B y C son los tres ángulos de un triángulo y a,, c son los tres lados opuestos respectivamente a dichos ángulos, es posile demostrar el teorema del coseno: a = + c cos A El teorema del coseno tiene otras dos expresiones: = a + c ac cos B c = a + a cos C Área de un triángulo. El área de un triángulo, conocidos sus lados a, y c, es decir p = a++c, es igual a: S = p. (p a). (p ). (p c)

4 Ejercicios. Halla las razones trigonométricas del ángulo agudo de un triángulo rectángulo saiendo que su hipotenusa mide 0 cm, su cateto adyacente 6 cm y su cateto opuesto 8 cm.. Calcula las restantes razones de α saiendo que tg α = - y que 90 < α < 80.. Calcula las restantes razones de α saiendo que ctg α = y que 80 < α < Halla los valores de las razones trigonométricas del ángulo de Halla el valor exacto de estas expresiones sin usar la calculadora: a) cos 5π + tg 4π tg 7π 6 ) cos π 6 + sen π 6 cos π 4 sen π 6. Halla el valor exacto de estas expresiones sin usar la calculadora: a) cos π 6 + tg 5π 6 + cos π ) sen 5π 6 tg π sen π 7. Demuestra que se verifica la igualdad: + sen α = sen (α+ 45 ) cos (α 45 ) 8. Demuestra que se verifica la siguiente identidad: sen(x) cos(x) sen(x) cos(x) = 9. Demuestra que se verifica la identidad: tg α.sen α + sen α = tg α 0. Resuelve la ecuación trigonométrica: sen x + cos x = 0. Resuelve la ecuación trigonométrica: sen x + cos x =. Resuelve la ecuación trigonométrica: sen x + cos x =. Resuelve el siguiente sistema en el intervalo [0, 90] cos(x + y) = sen(x y) = 4. Resuelve el siguiente sistema en el intervalo [0, 60] senx. cosy = / cosx. seny = / (Indicación: suma y resta amas ecuaciones) 5. Resuelve el siguiente sistema en el intervalo [0, 60] sen x + cos y = 4 sen x + sen y = 4 4

5 6. Resuelve un triángulo ABC rectángulo saiendo que = y la hipotenusa c = Resuelve un triángulo ABC saiendo que a= 4, = 9 y c = Resuelve el triángulo ABC de la figura saiendo que: a = 4, = 5 y c = Resuelve un triángulo ABC saiendo que a =, c = 9 y B = Hemos colocado un cale sore un mástil que lo sujeta como muestra la figura. Cuánto miden el mástil y el cale?. En una pared hay dos argollas distantes 8 m entre sí. Un niño ata cada extremo de una cuerda a las argollas y se aleja de la pared hasta que la cuerda queda tensa. En ese momento, la cuerda forma ángulos de 50 y 7 con la pared. a) Cuánto mide la cuerda? ) A qué distancia está el niño de la pared?. El faro de la figura aparece sore un promontorio de altura desconcida sore el mar. La altura del faro es de 50 m. y la distancia al arco desde los extremos inferior y superior es 65 y 85 m. Halla la altura del promontorio.. En lo alto de un edificio en construcción hay una grúa de 4 m. Desde un punto del suelo se ve el punto más alto de la grúa ajo un ángulo de 50 con respecto a la horizontal y el punto más alto del edificio ajo un ángulo de 40 con la horizontal. Calcula la altura del edificio. 4. Un gloo aerostático se encuentra sujeto al suelo, mediante dos cales de acero, en dos puntos que distan 60 m. El cale más corto mide 80 m y el ángulo que forma el otro cale con el suelo es de 7. Calcula: a) La medida del otro cale. ) La distancia del gloo al suelo. 5. Dos amigos están en una playa a 50 m de distancia y en el mismo plano vertical que una cometa que se encuentra volando entre amos. En un momento dado, uno la ve con un ángulo de elevación de 50 y el otro con un ángulo de 8. Qué distancia hay de cada uno de ellos a la cometa? 5

6 Solución de los ejercicios. Halla las razones trigonométricas del ángulo agudo de un triángulo rectángulo saiendo que su hipotenusa mide 0 cm, su cateto adyacente 6 cm y su cateto opuesto 8 cm. Saemos que = 6, a = 8, c = 0, luego: 8 sen = = = 0,8 cos = 0 tg = a a c = 8 =, ctg = 6 c a = 6 0 = 0,6 = 6 8 = 0,75. Calcula las restantes razones de α saiendo que tg α = - y que 90 < α < 80. Al ser un ángulo del º cuadrante son negativas todas las razones salvo el seno y cosecante. La cotangente la hallamos como la inversa de la tangente: ctg = = = tg El coseno lo otenemos dividiendo la ecuación fundamental de la Trigonometría por coseno y despejamos la expresión otenida: sen + cos = tg + = cos cos = tg + cos = Determinamos la secante a partir del coseno: sec = = cos = = + = cos = = = De la ecuación fundamental de la Trigonometría despejamos sen : sen + cos = sen = - cos sen = - = Determinamos la cosecante a partir del seno: cosec = = sen = 6 sen = = 6. Calcula las restantes razones de α saiendo que ctg α = y que 80 < α < 70. Al ser un ángulo del º cuadrante son negativas todas las razones salvo el tangente y cotangente. La tangente la hallamos como la inversa de la cotangente y racionalizando la expresión otenida: tg = tg = / = = = El seno lo otenemos dividiendo la ecuación fundamental de la Trigonometría por seno y despejando la expresión otenida: sen + cos = + ctg = sen sen = +ctg sen = +/ = / = sen = = 6 6

7 Determinamos la cosecante a partir del seno: cosec = cos = 6 = 6 = 6 6 = 6 De la ecuación fundamental de la Trigonometría despejamos cos : sen + cos = cos = - sen cos = - = cos = = Determinamos la secante a partir del coseno: sec = cos = - 4. Halla los valores de las razones trigonométricas del ángulo de 0. sen (0) = sen(80+0) = -sen(0) = - cos (0) = cos(80+0) = -cos(0) = - tg (0) = tg(80+0) = tg(0) = ctg (0) = ctg(80+0) = ctg(0) = 5. Halla el valor exacto de estas expresiones sin usar la calculadora: a) cos 5π + tg 4π tg 7π 6 ) cos π 6 + sen π 6 cos π 4 sen π a) cos 5π + tg 4π tg 7π = + = + = ) cos π 6 + sen π 6 cos π 4 sen π = Halla el valor exacto de estas expresiones sin usar la calculadora: a) cos π 6 + tg 5π 6 + cos π ) sen 5π 6 tg π sen π a) Sustituimos valores: cos π 6 + tg 5π 6 ) Sustituimos valores: + cos π = sen 5π 6 tg π sen π = + = + 6 = 6 = + 6 = = = - 7. Demuestra que se verifica la igualdad: + sen α = sen (α+ 45 ) cos (α 45 ) Aplicamos las fórmulas del seno y coseno de una suma sen (α+ 45 ) cos (α 45 ) = (senα cos 45 +cosα sen 45 )(cosα cos 45 +senα sen 45 ) = Sustituimos los valores de cos 45 y sen 45 y efectuamos factor común: 7

8 = (senα +cosα ).(cosα +senα ) =..(senα +cosα).(cosα+senα) Multiplicamos las expresiones otenidas y usamos las formulas del ángulo dole: sen α+ senα.cosα+cos α = cos α + sen α + senα.cosα = +sen α 8. Demuestra la siguiente identidad: sen(x) cos(x) sen(x) cos(x) = Reducimos a común denominador la expresión: sen(x) cos(x) sen(x) cos(x) = sen(x).cos(x) cos(x).sen(x) sen(x).cos(x) aplicamos las fórmulas de la diferencia de dos ángulos: sen(x).cos(x) cos(x).sen(x) sen(x x) = sen(x).cos(x) sen(x).cos(x) = sen(x) sen(x).cos(x) aplicamos las fórmulas del seno del ángulo dole: sen(x) = sen(x).cos(x) sen(x).cos(x) sen(x).cos(x) = con lo que queda demostrada la identidad 9. Demuestra que se verifica la igualdad: tg α.sen α + sen α = tg α Sustituimos en la expresión anterior utilizando la fórmula del ángulo mitad sen α = cos α : tg α.sen α cos α + sen α = tg α. + sen α Sustituimos tangente como cociente de seno y coseno y sacamos sen α como factor común: tg α.sen α sen α α + sen α =. ( - cos α).sen α = sen α ( cos cos α + ) cos α Hallamos común denominador y efectuamos la diferencia indicada: tg α.sen α α+cos α + sen α = sen α ( cos ) = sen α ( ) cos α cos α Efectuamos la operación indicada y aplicamos la definición de tangente: tg α.sen α sen α + sen α = = tg α cos α 0. Resuelve la ecuación trigonométrica: sen x + cos x = 0 Resolución: Aplicando la fórmula del seno del ángulo dole: senx cosx + cos x = 0 Sacando factor común cos x: cos x = 0 cos x (senx + ) = 0 senx + = 0 La primera de las ecuaciones tiene como solución: cos x = 0 x = K La segunda de las ecuaciones es: 8

9 sen x + = 0 sen x = -. Resuelve la ecuación trigonométrica: sen x + cos x = x = x = K x = K Expresamos cos x en función de sen x y elevamos al cuadrado la ecuación otenida: sen x + sen x = sen x = - sen x - sen x = + sen x - sen x Reordenamos y otenemos una ecuación de º grado con variale sen x: sen x - sen x+ = 0 Con soluciones: sen x = ± 8 8 = 4 4 = Por lo tanto: x = K solución válida x = 5+60.K solución no válida. Resuelve la ecuación trigonométrica: sen x + cos x = Aplicando la fórmula fundamental del Álgera expresamos sen x en función de cos x: sen x + cos x = sen x = -cos x Sustitumos en la ecuación y desarollamos la expresión otenida: (-cos x) + cos x = -cos x + cosx = Reordenamos y otenemos una ecuación de º grado con variale cos x: cos x - cosx + = 0 con soluciones: cos x = ± 9 8 = ± = 4 4 / Por lo tanto: cos x = x = K, solución válida cos x = x = K solución válida x = K o K solución válida. Resuelve el siguiente sistema en el intervalo [0, 90] cos(x + y) = / sen(x y) = / Como me piden soluciones en el primer cuadrante, teniendo en cuenta los valores de las razones trigonométricas de los ángulo de 0 y 60: x + y = 60 x y = 0 Sumamos amas ecuaciones: x = 90 x = 45 Sustituyendo en la primera ecuación y despejando: 9

10 y = 60 x = = 5 La solución pedida es (45, 5 ) 4. Resuelve el siguiente sistema en el intervalo [0, 60] senx. cosy = / cosx. seny = / Resolución: Sumando y restando la ª ecuación de la ª: senx. cosy + cosx. seny = cosx. seny cosx. seny = 0 Que aplicando las razones trigonométricas de sumas y diferencias da lugar al sistema: sen(x + y) = sen(x y) = 0 Es decir: x + y = 90 x y = 0 Sumando y restando amas ecuaciones: x = 90 x = 45 y = 90 y = Resuelve el sistema de ecuaciones trigonométricas: sen x + cos y = 4 sen x + sen y = 4 Restando la ª ecuación de la ª: cos y - sen y = cos(y) = con solución: y = 60 60K y = 0 80K 00 60K 50 80K Sustituyendo valores en la ª ecuación: sen x - 4 = 4 sen x = 0 sen x = 0 con solución: x = K 6. Resuelve un triángulo ABC rectángulo saiendo que = y la hipotenusa c = 5. El cateto conocido es y la hipotenusa c: El cateto a: a = 5 = 6 = 4 El ángulo A: Â = arc cos 4 A = 5 8' 5 c =5 B a El ángulo B: Bˆ = arc sen 5 B = 6 5' A = C 0

11 7. Resuelve un triángulo ABC saiendo que a= 4, = 9 y c = 40. De la ecuación del coseno a = + c c.cos A: cos A = +c a c = = 0 A = 90 De la ecuación del coseno = a + c ac.cos B: cos B = a +c = = 0,9756 ac.40.4 B = 4 Como la suma de los ángulos de un triángulo son 80 C = 80- (A+B) = 80- ( ) = Resuelve el triángulo ABC de la figura saiendo que a= 4, = 5 y c = 6. El ángulo A se halla con el teorema del coseno: cos  = +c a c = = = 0,75 = arc cos(0,75) A = 4 5'  El ángulo B: 4 sen(45') Bˆ 5 senb sen Bˆ = arc sen(0,85) B = 55 5' = 5 =.0,66 4 El ángulo C: Ĉ = 80-(4 5' ') C = 8 = 0,85 9. Resuelve un triángulo ABC saiendo que a =, c = 9 y B = 48. De la ecuación del coseno = a + c ac.cos B: = cos 48= 60,9 = 4,7cm Hallamos A aplicando asimismo el teorema del coseno: a = + c c.cos A: cos A = +c a c = 4,7 +9.4,7.9 = -,45 A = 979 Como la suma de los ángulos de un triángulo son 80 C = 80- (A+B) = 80- ( ) = 4 5

12 0. Hemos colocado un cale sore un mástil que lo sujeta como muestra la figura. Cuánto miden el mástil y el cale? Como tenemos dos triángulos rectángulos: tg 45 = x x = tg 45 = = tg 0 = 0 x 0-x = tg 0 = / Sustituyendo el valor de x otenido en la primera ecuación: 0- = / 0- = = 0 = 7, m + El mástil mide 7, metros. Para hallar cuánto mide le cale Sustituimos valores en el triángulo rectángulo de la izquierda de la figura adjunta. sen 45 = a a = sen 45 = 7, = 0,5 m. / sen 0 = d d = sen 0 = 7, = 4,64 m. / El cale mide a+d 0 m.. En una pared hay dos argollas distantes 8 m entre sí. Un niño ata cada extremo de una cuerda a las argollas y se aleja de la pared hasta que la cuerda queda tensa. En ese momento, la cuerda forma ángulos de 50 y 7 con la pared. a) Cuánto mide la cuerda? ) A qué distancia está el niño de la pared? a) La altura del lado conocido divide al triángulo inicial en dos triángulos rectángulos. Aplicamos la definición de tangente en los ángulos conocidos y formamos un sistema de ecuaciones. tg 50 = h x tg 7 = h 8 x h = x. tg 50 h = (8 x). tg 7 Que resolvemos por igualación: 8.tg 7 x.tg 50 = (8-x).tg 7 x = tg 7 +tg 50 =, m Calculamos la longitud de la cuerda: sen 50 =,69 c =,69.sen 50 = 4,8 m c sen 7 =,69 =,69.sen 7 = 6, m Sumamos los valores de los pedazos: 4,8+6,=0,95m La cuerda mide 0,95 m. ) Sustituyendo en la º ecuación: h =,.tg50 =,69m El niño está a una distancia de,69 m de la pared.

13 . El faro de la figura aparece sore un promontorio de altura desconcida sore el mar. La altura del faro es de 50 m. y la distancia al arco desde los extremos inferior y superior es 65 y 85 m. Halla la altura del promontorio. Para hallar la altura del promontorio suponemos que el arco está en la horizontal de su ase. A continuación resolvemos el triángulo superior de la figura adjunta, aplicando el Teorema del coseno: c = a + -a cos C cos C = a + c = = -0,077 a a C = arc cos (-0,07) C = 94 5' Y el ángulo correspondiente a D será: D = ' D = 85 5' Para hallar el valor de la altura aplicamos la fórmula trigonométrica del coseno al ángulo D en el triángulo inferior. cos D = h h h = a.cos D = 65. Cos (85 5') = 5 h = 5 metros. a a. En lo alto de un edificio en construcción hay una grúa de 4 m. Desde un punto del suelo se ve el punto más alto de la grúa ajo un ángulo de 50 con respecto a la horizontal y el punto más alto del edificio ajo un ángulo de 40 con la horizontal. Calcula la altura del edificio. Tal como se ve en la figura podemos considerar dos triángulos rectángulos. Aplicamos la definición de tangente en los ángulos conocidos y formamos un sistema de ecuaciones. tg 40 = h x tg 50 = h+4 x h = x. tg 40 x. tg 50 = h + 4 Sustituyendo la altura definida en la primera ecuación en la segunda: 4 x.tg 50 = x.tg 40+4 x = tg 50 tg 40 =,4 m Volviendo a sustituir en la primera ecuación: h =,4.tg 40 = 9,5 m La altura del edificio es 9,5 m. 4. Un gloo aerostático se encuentra sujeto al suelo, mediante dos cales de acero, en dos puntos que distan 60 m. El cale más corto mide 80 m y el ángulo que forma el otro cale con el suelo es de 7. Calcula.

14 a) La medida del otro cale. ) La distancia del gloo al suelo. a) Aplicamos el teorema del seno para calcular la medida del otro cale: c sen C = a sen A 60 sen C = 80 sen C = 0,454 sen 7 C = 6 50 Como la suma de los ángulos de un triángulo son 80 B = 80- (A+C) = 80- ( ) B = 6 0' Aplicando el teorema del seno nuevamente: = a sen B sen A = 80 sen sen 7 = 9, m La medida del otro cale es 9, m. ) Calculamos la distancia del gloo al suelo: h sen 7 = 9, h = 7,8 m El gloo está a 7,8 m de altura. 5. Dos amigos están en una playa a 50 m de distancia y en el mismo plano vertical que una cometa que se encuentra volando entre amos. En un momento dado, uno la ve con un ángulo de elevación de 50 y el otro con un ángulo de 8. Qué distancia hay de cada uno de ellos a la cometa? Consideremos el triángulo de la figura adjunta, donde C es el ángulo que forma la cometa con amos amigos. Como la suma de ángulos de un triangulo es de 80: C = 80- (A+B) = 80-(50 +8 ) = 9 Aplicamos el teorema del seno para calcular la distancia entre el amigo situado en B y el cometa: c sen C = a sen A 50 sen 9 = a sen 50 a = 4,98m Aplicando el teorema del seno nuevamente para calcular : sen B = c sen C sen 8 = 50 = 9,4 m sen 9 Las distancias de amos amigos a la cometa son 4,98 m y 9,4 m, respectivamente. 4