MATEMÁTICAS UNIDAD 3 GRADO 10º. IDENTIDADES trigonométricas

Transcripción

1 Franklin Eduardo Pérez Quintero MATEMÁTICAS UNIDAD GRADO 0º IDENTIDADES trigonométricas

2 Franklin Eduardo Pérez Quintero LOGRO: Utilizar las funciones trigonométricas y las identidades principales para la resolución de ecuaciones trigonométricas, de triángulos oblicuángulos y situaciones de la cotidianidad representadas a través de estos. INDICADORES DE LOGRO: Reconoce las identidades trigonométricas fundamentales. Comprende las demostraciones de los teoremas de ángulos duplos a partir de las identidades trigonométricas fundamentales. Comprende las demostraciones de los teoremas de ángulos medios a partir de las identidades trigonométricas fundamentales. Identifica las diferencias entre los teoremas de seno y coseno Aplica los teoremas de seno y coseno a la resolución de triángulos oblicuángulos. Halla el área de triángulos oblicuángulos. CÓMO ASÍ QUE IDENTIDADES?, UNO SE IDENTIFICA CON ELLAS?

3 Franklin Eduardo Pérez Quintero TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD: Qué significa para ti la palabra identidad? En qué se diferencia la palabra idéntico de las palabras igual o equitativo? Qué piensas cuando te hablan del término ángulo doble o ángulo medio? Si ya sabes resolver un triángulo rectángulo, crees que un triángulo no rectángulo se resuelve de la misma forma? Piensa en situaciones de la cotidianidad que puedan verse representadas por triángulos no rectángulos y escribe al menos para compartir con los compañeros.

4 4 Franklin Eduardo Pérez Quintero Aprendamos algo nuevo Angulos cofinales: Sea Θ un ángulo cualquiera, entonces: sen n60 sen cos n 60 cos tan n 60 tan cot n 60 cot sec n 60 sec csc n 60 csc Funciones de un ángulo negativo sen(-β) = -senβ cos(-β) = cos β tg(-β ) = - tgβ cot(-β) = -cotβ sec(-β) = -secβ csc(-β) = -cscβ 4

5 5 Franklin Eduardo Pérez Quintero Funciones trigonométricas de dos ángulos Formulas para la suma sen sen cos cos sen cos cos cos sen sen tan tan tan tan tan Formulas para la diferencia sen sen cos cos sen cos cos cos sen sen tan tan tan tan tan Formulas para el ángulo duplo sen sen cos cos cos sen sen cos 5

6 6 Franklin Eduardo Pérez Quintero tan tan tan Formulas para la mitad del ángulo sen cos cos cos tan cos sen cos cos cos sen Ejemplos: Encontrar los valores de las funciones seno, coseno y tangente para los ángulos de: a) 75 º b) 55 º Solución: 6

7 7 Franklin Eduardo Pérez Quintero 75 puede ser expresado como la suma de Sabemos que: sen sen cos cos sen cos cos cos sen sen tan tan tan tan tan Con base en estas demostraciones previas, sabemos que: sen 45 sen 0 tan 45 cos 45 cos 0 tan 0 Sustituyendo valores y realizando operaciones se tiene que: 6 sen 45 0 sen cos cos sen sen

8 8 Franklin Eduardo Pérez Quintero 6 cos 45 0 cos cos sen sen cos 75 4 tan tan tan 45 0 tan 75 tan tan 55 puede ser expresado como la suma de Sabemos que: sen sen cos cos sen cos cos cos sen sen tan tan tan tan tan Con base en demostraciones previas, sabemos que: sen 5 sen 0 tan 5 8

9 9 Franklin Eduardo Pérez Quintero cos 5 cos 0 tan 0 Sustituyendo valores y realizando operaciones se tiene que: 6 sen 5 0 sen cos cos sen sen cos 5 0 cos cos sen sen cos 55 4 tan tan tan 5 0 tan 55 tan tan Ejemplo : Encuentre los valores de sen, cos y tan Dado que: sen 5 cos el primer cuadrante. 5 conociendo además que: y se encuentran en En base a sen podemos construir el siguiente triángulo rectángulo. 5 9

10 0 Franklin Eduardo Pérez Quintero 5 4 El valor del cateto adyacente se calculó mediante el teorema de Pitágoras de la siguiente manera: CA Hip CO 5 4 Con base en cos 5 se puede construir el siguiente triángulo rectángulo: 5 El valor del cateto adyacente se calculó mediante el teorema de Pitágoras de la siguiente manera: 0

11 Franklin Eduardo Pérez Quintero CO Hip CA 5 Ahora podemos utilizar las formulas: sen sen cos cos sen cos cos cos sen sen tan tan tan tan tan TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD: Encuentre los valores de sen, cos y tan, dado que: a) 8 5 sen tan conociendo además que: y se 7 encuentran en el primer cuadrante. b) cos cot 4 7 conociendo además que: está en

12 Franklin Eduardo Pérez Quintero el segundo cuadrante y se encuentran en el tercer cuadrante. c) sen sen conociendo además que: se encuentra 5 en el primer cuadrante y está en el segundo cuadrante. Aprendamos algo nuevo Encontrar el valor de: sen, cos y tan, dado que: 5 y sabiendo que está en el primer cuadrante. Se sabe que: sen sen cos En base a 5 se puede construir el siguiente triángulo rectángulo: 5 x el valor de x puede calcularse por medio del teorema de pitágoras de la siguiente manera:

13 Franklin Eduardo Pérez Quintero x 5 4 se puede encontrar que: entonces sustituyendo cos sen sen cos cos 4 7 cos sen tan tan 4 4 tan 7 4 TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD: Determinar el valor de a) cos 6 b) cos 7 4 6

14 4 Franklin Eduardo Pérez Quintero c) cos Encontrar el valor exacto de: sen cos tan haciendo: Encontrar el valor exacto de: sen 9 cos 9 tan 9 haciendo: Encontrar el valor de: sen, cos y tan, dado que: a) b) sen 5 está en el II cuadrante sen está en el IV cuadrante 4

15 5 Franklin Eduardo Pérez Quintero Aprendamos algo nuevo IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS: Realmente no existe un método específico que permita a una persona probar si una igualdad es o no identidad. En última instancia, el éxito depende de la habilidad del interesado y del nivel de preparación que tenga en álgebra. Sin embargo, se puede sugerir un procedimiento que facilite el proceso de trabajo: Se puede transformar el primer miembro de la igualdad hasta obtener el segundo, o transformar el segundo hasta obtener el primero, o transformar ambos miembros simultaneamente hasta obtener la misma expresión en ambos miembros. Si uno de los miembros contiene sólo una función trigonométrica, conviene transformar el otro miembro en términos de esa misma función. Luego, compare. Si los dos miembros de la igualdad parecen igualmente complicados, trate de llevarlos a una sola función y compare. Si no puede llevarlos a una sola función, transformelos en senos y cosenos y compare. En este caso conviene recordar las IDENTIDADES FUNDAMENTALES. Factorice y simplifique cuando sea posible. Algunas veces, para obtrener la conversión deseada, es necesario multiplicar el numerador y el denominador de un miembro por un mismo factor. Esto equivale a multiplicar toda la fracción por la unidad. 5

16 6 Franklin Eduardo Pérez Quintero Determine para que valores del ángulo no es válida la expresión. Recuerde que no es posible la división por cero, ni existen las raíces pares de números negativos. Finalmente, si aplicando todo lo anterior no logra probar que la igualdad es una identidad, usted tiene derecho a pensar que tal vez no sea identidad. En este cas, proceda así: reemplace el ángulo por un valor donde la expresión está definida y halle el resultado. Si los valores obtenidos son distintos en los dos miembros de la igualdad, entonces la igualdad NO ES UNA IDENTIDAD Ejemplo: Comprobar la siguiente identidad: tan sen sen Recordemos que para comprobar la identidad necesitamos manipular matemáticamente uno de los lados para llegar al otro. sen cos izquierdo sen cos sen aquí convertimos la tangente del lado sen sen sen ahora cancelamos los cosenos resultantes del paso anterior sen sen por último multiplicamos los senos del lado izquierdo llegando a lo que queriamos comprobar. 6

17 7 Franklin Eduardo Pérez Quintero Comprobar la siguiente identidad: Aprendamos algo nuevo cos 4cos cos cos 4cos cos cos cos sen sen 4cos cos cos cos sen sen cos 4cos cos cos cos cos sen 4cos cos cos cos cos cos 4cos cos cos cos cos cos 4cos cos 4cos cos 4cos cos 7

18 8 Franklin Eduardo Pérez Quintero TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD: Verifique las siguientes identidades: a) -tg +tg cos b) sen tg + cos = c) sen = sen - 4sen d) csc cot sec e) sen4 sen cos f) tan sen sen g) cot sen cos h) cos tan tan 8

19 9 Franklin Eduardo Pérez Quintero Aprendamos algo nuevo Transformación de productos a sumas y viceversa Productos a sumas sen cos sen( ) sen ( ) cos cos cos( ) cos( ) sen sen cos( ) cos( ) Sumas a productos sen sen sen cos sen sen cos sen cos cos cos cos 9

20 0 Franklin Eduardo Pérez Quintero cos cos sen sen TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD: Exprese cada uno de los siguientes productos como una suma: a) sen cos b) cos5 cos7 c) sen sen 5 d) sen cos Exprese cada una de las siguientes sumas como un producto a) sen + sen 6 b) sen sen 6 c) sen 8 + sen 4 0

21 Franklin Eduardo Pérez Quintero d) cos 7 - cos e) cos + cos 7 Aprendamos algo nuevo Continuemos aprendiendo a demostrar a través de algunos ejemplos: Transformar en una suma los siguientes productos: a. sen 40 cos 0 sen 40 cos 0 sen 40 0 sen 40 0 sen 70 sen 0 b. cos 0 cos 55 cos 0 sen 55 sen 55 cos 0 sen 55 cos 0 sen 55 0 sen 55 0 sen 65 sen 55 sen 55 cos 0 sen 65 sen 55 c. cos 50 cos 5

22 Franklin Eduardo Pérez Quintero cos 50 cos 5 cos 50 5 cos 50 5 cos 85 cos 5 d. sen 55 cos 40 sen 55 sen 40 cos cos cos 5 cos 95 Transformar en producto:. cos5x cosx cos5x cosx cos 5x x cos 5x x cos 4x cos x. sen4x senx sen4x senx sen 4x x cos 4x x sen x cos x 5. cos40 cos0 cos 40 cos 0 cos 40 0 cos 40 0 cos 0 cos 0 cos0

23 Franklin Eduardo Pérez Quintero 4. Demostrar que Solución: sen 45 cos5 A partir del miembro izquierdo de la ecuación anterior, trataremos de llegar a la expresión del miembro derecho. Primeramete el producto sen45cos5 lo convertiremos en un producto de la siguiente manera: sen45 cos5 sen 45 5 sen 45 5 realizando operaciones se tiene: sen45 cos5 sen 60 sen 0 recordando que: sen 60 y que sen 0 sustituyendo se tiene: sen 45 cos5, con lo cual queda demostrado que sen 45 cos5.

24 4 Franklin Eduardo Pérez Quintero 5. Demostrar que sen 05 sen 5 6 Para realizar esta demostración, a partir del miembro izquierdo de la expresión trataremos de obtener el miembro derecho de la expresión. Primeramente transformamos la suma en un producto de la siguiente manera: sen 05 sen 5 sen cos Realizando operaciones se tiene: sen 05 sen 5 sen 60 cos 45 Recordando que: sen 60 además de que cos 45 se tiene que: sen 05 sen 5 Realizando operaciones se tiene: sen 05 sen 5 6 4

25 5 Franklin Eduardo Pérez Quintero con lo cual queda demostrado TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD: Verifique cada una de las siguientes identidades trigonométricas a) cos5 a cos a tg4a sen5a sena b) cos a cosa sen a sena csc a c) sena sena sena cos a cos a cos a tga d) sen sen cos cos tan e) cos cos cos cos cos f) cos sen sen sen sen 5 6 5

26 6 Franklin Eduardo Pérez Quintero g) 5 cos 0 cos 5cos cos 5 6 h) 5 sen 0 sen 5 sen sen 5 6 Aprendamos algo nuevo Solución de triángulos oblicuángulos En la unidad anterior aprendimos a resolver triángulos rectángulos a partir de las funciones trigonométricas ahora aprenderemos a resolver triángulos oblicuángulos partiendo desde la definición de estos. Recordemos que un triángulo oblicuángulo es aquel que no contiene ángulo recto, por lo tanto no es posible resolverlo directamente con las funciones trigonométricas, entonces utilizaremos unas nuevas teorías descubiertas expresamente para la resolución de este tipo de triángulos. Ley de los senos. En cualquier triángulo ABC, la relación entre un lado y el seno del ángulo opuesto es constante, es decir, a b c sena senb senc 6

27 7 Franklin Eduardo Pérez Quintero 7 Demostración Consideremos el siguiente triángulo oblicuángulo: Tracemos una altura al lado c llamada h. Puede apreciarse que A B C b a c A B C b a c A C B a c b A C B a c b A C B a c b h A C B a c b h

28 8 Franklin Eduardo Pérez Quintero sena h b Despejando h h bsena Por otro lado senb h a Despejando h h asenb Igualando los valores de h asenb bsena De otra manera: 8

29 9 Franklin Eduardo Pérez Quintero a sena b senb Ley de los cosenos En cualquier triángulo ABC, el cuadrado de cualquiera de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido entre ellos. B c a A b C a b c bc cos A b a c ac cos B c a b ab cosc 9

30 0 Franklin Eduardo Pérez Quintero TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD: Resolver los siguientes triángulos utilizando los teoremas de seno y coseno según sea necesario dapendiendo de los datos del ejercicio. Debes recordar que: Los problemas en los que se especifican tres elementos de un triángulo, siendo por lo menos uno de ellos un lado, pueden agruparse en los cuatro siguientes casos: i) Se dan dos ángulos y un lado ii) Se dan dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos iii) Se dan dos lados y el ángulo comprendido entre ellos iv) Se dan los tres lados. Los casos i y ii pueden ser resueltos mediante el uso de la ley de los senos, en tanto que los casos iii y iv pueden resolverse con la ayuda de la ley de los cosenos. a = 5. b = 0.9 c = b = 50 c = 66.6 A = 8 a = 4 B = 7 C = 5 a = 5 a = 40 a =

31 Franklin Eduardo Pérez Quintero b =.5 c = 9.5 a = b = 70 c = 79.0 a = 048 b = 6 c = 767 a = b = 5.47 c = 46.5 c = 4.86 B = 98 b = 49.8 c = 77.6 A = 59 a = 60 b = 50 C = 78 b = 6.5 c = 8.44 A = 9 A = 8 B = 9 b = 50 A = 57 C = 78 b = 40 B = 0 C = 4 c = 4.8 B = 5 C = 9

32 Franklin Eduardo Pérez Quintero Aprendamos algo nuevo Área de un triángulo oblicuángulo Primer caso: Dados los tres lados, se emplea la formula de Herón, Area p p a p b p c donde: p a b c Ejemplo: Calcular el área del triángulo cuyos lados son: a = 8, b = 6 y c = 8; Solución: p a b c

33 Franklin Eduardo Pérez Quintero Area Segundo caso: Dados los lados y el ángulo comprendido. A absenc A bcsena A casenb Ejemplo: Calcular el área del rectángulo cuyos lados son: a = 7, b = 8, C = 0. A absenc 7 8 sen 0 A 4 Tercer caso: dados un lado y dos ángulos:

34 4 Franklin Eduardo Pérez Quintero A c senasenb senc A a senbsenc sena A b senasenc senb Ejemplo: Calcular el área del triángulo cuyos datos son: A = 70, B = 50 y c = 50. Solución: A c senasenb sen sen senc sen

35 5 Franklin Eduardo Pérez Quintero Recolectemos lo aprendido Encontrar las áreas de los siguientes triángulos oblicuángulos: a = 4 b = 9.5 c=.48 a = b = 5.47 c = 46.5 a =.56 b = 40 c = 6.79 a = b = 4 c = 5 a = 0.59 b= 4.77 c = 0.5 a =.45 b = 7. C = a = 6.5 b = 708. C = 6 48 b = 49.8 c = 77.6 A = 59 a = 4 B = 7 50 C = 5 5

36 6 Franklin Eduardo Pérez Quintero b = 6.5 A = 9 4 B = 45 8 c = 4.8 B = 5 C = 9 0 b =.5 A = 48 5 C = 6 c = 5 C = 7 A = 5 8 a = 048 A = 6 0 B = Si un punto B está por encima de una recta horizontal AC, el ángulo de elevación del punto B visto desde el punto A es el ángulo formado por la recta de observación AB y la recta horizontal AC. B A Recta de observación Recta horizontal Ángulo de elevación C Si un punto B se encuentra debajo de la recta horizontal AC, el ángulo de depresión del punto B visto desde el punto A es el ángulo formado por la recta de observación AB y la recta horizontal AC. A Recta horizontal Ángulo de depresión C Recta de observación B ) Resuelva los triángulos oblicuángulos ABC siguientes: 6

37 7 Franklin Eduardo Pérez Quintero a) α = 58 0' β = 80 a = 40 b) α = 46 γ = 0 0' b = 87.7 c) β = 5 γ = 5 50' b = 8.5 d) b = 5 c = 8 α = 60 e) a = 7 b = 5 c = 7.45 ) Un poste que se aparta 0 de la vertical hacia la región donde está el sol, proyecta una sombra de 0 metros de longitud, cuando el ángulo de elevación del sol es de 40. Encuentre la longitud del poste. ) Se va a construir un túnel a través de una montaña desde A hasta B. Un punto C que es visible desde A y B se encuentra a 90 metros de A y 560 metros de B. )Cuál es la longitud del túnel si el ángulo ACB es de 5? 4) Una escalera de 5 metros está apoyada en una casa de manera que forma un ángulo de 70 con la horizontal. )A que altura está el extremo superior de la escalera? 5) Un parque rectangular mide 0 por 70 metros. Determinar la longitud de la diagonal y el ángulo que esta forma con el lado mayor 6) Un camino tiene una pendiente de 0, )cuánto asciende el camino por cada kilómetro? 7