Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos:

Transcripción

1 CONOCIMIENTOS PREVIOS. Trigonometría.. Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: Operaciones básicas con polinomios. Resolución de ecuaciones de primer grado. Resolución de ecuaciones de segundo grado. Resolución de sistemas de ecuaciones. Sería conveniente realizar un ejercicio de cada uno de los conceptos indicados anteriormente.. El teorema de Thales. Desde muy antiguo ha sido necesario poder medir distancias y áreas. En el antiguo Egipto el Nilo anegaba frecuentemente los campos. Era necesario tener un método para poder determinar la propiedad de los campos y medir el área de los mismos. La medida de áreas en aquella época también estaba relacionada con la previsión de las cosechas y el tamaño de los graneros que se habían de construir para almacenar dichas cosechas. No menos importante era la medida de distancias en navegación. Los barcos de aquella época, aunque usaban métodos rudimentarios eran capaces de llegar al su puerto. Para ello era importante que los marinos pudiesen determinar la distancia al puerto o los días de navegación hasta llegar a la costa. Para poder realizar dichas tareas era necesario desarrollar métodos de cálculo que permitiesen obtener dichos resultados. No es, por lo tanto, de extrañar que ya los griegos, en la antigüedad, empezasen a desarrollar todas estas técnicas, pues eran de una importancia extraordinaria. Ya Thales desarrollo una forma de calcular los lados de un triángulo conociendo, uno de sus lados y los lados de un triángulo semejante a él. a a = b b = c c Con estas relaciones se pueden obtener los lados de uno de los triángulos conociendo uno de sus lados y los lados de el otro. Hay que recordar que dos triángulos serán semejantes si tienen sus ángulos iguales.

2 OTRAS PROPIEDADES ÚTILES DE LOS TRIÁNGULOS. Ejemplo: Sean los lados a = ;a = ;b =, vamos a calcular el valor del lado b: Por lo que se ha visto el teorema de Thales relaciona un par de lados de un triángulo con otro par de lados de otro triángulo semejante a él. En este caso se relacionan los lados a y b del triángulo grande, con los lados a y b del triángulo pequeño: a a = b b ; b = b a a ; b = = 4 Se puede saber algo de los lados c y c? Según el teorema de Thales, lo máximo que llegamos a conocer de ellos es que: a a = c c = = ; = c = c Pero como no se conoce el valor de c o de c, no se puede averiguar el valor de exacto de cualquiera de ellos. Ejercicios:. Un edificio proyecta su sombra, la cual mide 0 m. Un bastón de m de longitud proyecta una sombra de 0 cm. Cuánto mide el edificio? Sol. 50 m. Se toma una foto de un campo de fútbol del que se conoce que la diagonal vale,8 m. En la foto la diagonal tiene, aproximadamente, 0 cm, y los lados 9 cm y 4,5 cm, respectivamente. Cuáles son las dimensiones del campo de fútbol? Sol. 50, m y 00,6 m. Otras propiedades útiles de los triángulos. Teorema Suma de los ángulos de un triángulo: La suma de los ángulos de un triángulo es 80 o (ó π si se usan radianes): α + β + γ = π () Demostracion: Para demostrarlo sólo hay que desplazar los ángulos del triángulo sobre uno de ellos y verificar que al colocar los tres se forma una línea recta, es decir, un ángulo de 80 o :

3 4 EL RADIAN. Vamos a juguetear con esta expresión para ver su potencial: En el caso de un triángulo rectángulo ya se sabe que uno de los lados vale 90 o, por lo que se puede hallar una relación entre los otros dos ángulos: γ = π ; α + β = π γ = π π = π ; α + β = π A los ángulos que cumplen esta propiedad, que suman 90 o (= π rad), reciben el nombre de ángulos complementarios. Más adelante se estudiarán las propiedades de estos ángulos. Para un triángulo equilátero, tiene los tres ángulos y los tres lados iguales, se puede deducir que: α = β = γ; α + β + γ = π; α = π; α = π = 60o Para un triángulo isósceles, tiene dos ángulos y dos lados iguales, se puede hallar una relación entre los ángulos: α = β; α + β + γ = π; α + γ = π Se deja al lector el ejercicio de repasar los conceptos de medianas, baricentro, mediatrices, incentro, bisectrices y circuncentro para un triángulo. 4. El radian. Una cuestión interesante es pensar sobre el tipo de unidades que se pueden utilizar para medir ángulos. Se podría medir el ángulo usando como unidad los grados. Esta unidad considera que el ángulo completo vale 60 o. Para el caso del radian se considera que un ángulo completo vale π rad. Se puede, usando una regla de tres establecer relaciones entre los radianes y los grados. Así, para el ángulo completo se tienen 60 o, o bien, π rad, por lo tanto: g 60 = r π Siendo g el ángulo en grados y r el ángulo en radianes. Con la expresión anterior se pueden calcular la correspondencia entre ángulos en radianes y ángulos en grados. Por ejemplo: Si g = 90 o, cuánto vale en radianes? g 60 = r π ; r = π g 60 = π = π En la siguiente tabla se muestra el valor de una serie de ángulos importantes en grados y radianes. Conviene saberlos pues serán muy usados en secciones posteriores:

4 4 EL RADIAN. 4 Grados Radianes 0 o 0 rad 0 o π 6 rad 45 o π 4 rad 60 o π rad 90 o π rad 80 o π rad 60 o π rad Ejercicios: En la tabla anterior practicar calculando el paso de radianes a grados y viceversa. La causa de que al radian se le asocie este valor tan extraño se debe a que el arco de circunferencia abarcado por un ángulo cuyo vértice coincide con el centro de la circunferencia es proporcional al valor del ángulo. Esta constante de proporcionalidad dependerá de la unidad de medida que se esté usando para medir el ángulo. Recordando que la longitud de una circunferencia vale πr (siendo R el radio de la circunferencia), si al ángulo completo se le asigna como valor π rad, entonces la longitud de la circunferencia abarcada será πr por lo que la constante de proporcionalidad para el radian será justamente la longitud de la circunferencia. Según esto: La longitud del arco abarcado por un ángulo cuyo vértice coincide con el centro de la circunferencia es proporcional al valor del ángulo, expresado en radianes, siendo la constante de proporcionalidad el radio de la circunferencia. Pero no sólo esto. Vamos a pensar ahora sobre el área abarcada por dicho ángulo: Si el ángulo fuese completo, π rad, el valor del área sería πr. Si el ángulo fuese la mitad, π rad, sólo abarcaría la mitad del área, πr. Si sólo fuese un cuarto, π πr rad, se abarcaría un cuarto del área, 4. Por lo tanto, también parece existir una proporcionalidad entre el área abarcada y el ángulo. En el caso del radian la constante de proporcionalidad parece ser de R Nota:. Es importante pensar en el significado de lo que se está estudiando. Un ejemplo muy claro de la importancia de pensar en lo que se está estudiando es el siguiente:

5 4 EL RADIAN. 5 El bibliotecario de la biblioteca de Alejandría leyó en un manuscrito que había una ciudad en la que cierto día del año los rayos del Sol llegaban hasta el fondo de los pozos. En principio, parece sólo una mera anécdota. Nuestro bibliotecario, a partir de esta información ideó un método para calcular el radio de la Tierra!!: Lo primero que hizo fue contratar a un hombre que contara los pasos que había hasta aquella ciudad. Una vez que tuvo dicha distancia, clavó una estaca en el suelo y midió el ángulo que formaba la sombra. Imaginó que se tenía la siguiente figura: Suponiendo que el ángulo α es pequeño, se puede suponer que el arco de circunferencia que hay entre la ciudad A y la ciudad B es pequeño y se puede aproximar usando una línea recta. Otra suposición que se hace es que el Sol está muy lejos y sus rayos llegan prácticamente paralelos. Se conocen los siguientes datos: AB representa la distancia entre las dos ciudades. BD sería la longitud de la sombra que proyecta la estaca. BE es la longitud de la estaca. CA=R es el radio de la Tierra y es lo que nos falta por averiguar. Con estas conjeturas se puede considerar que los triángulos ABC y BED son semejantes. Por lo que se puede aplicar el teorema de Thales obteniendo: CA AB = BE BE ; R = CA = AB BD BD Por lo que con estos datos pudo deducir el radio de la Tierra. Ejercicios:. Un cerrajero necesitar fabricar un valla que rodea una fuente de forma circular. Si la fuente tiene un radio de m, cuántos metros de valla necesita fabricar? Sol.: 6,8 m. Se tiene una porción de circunferencia que abarca 6 o y tiene un radio de 4 m, qué área tiene? Cuál es la longitud del arco que abarca? Sol.: 49,6 m,5 m

6 5 EL TEOREMA DE PITÁGORAS El teorema de Pitágoras. Con el teorema de Thales se pueden relacionar dos triángulos semejantes. Para el caso especial de los triángulos rectángulos (aquellos que tienen un ángulo recto) se puede encontrar un relación entre sus lados. Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es la suma de los cuadrados de los catetos. h = c + c () Demostracion: Se demuestra primero el llamado teorema del cateto: En un triángulo rectángulo: c = hn c = hm Donde m, n R. Se considera la siguiente construcción:

7 5 EL TEOREMA DE PITÁGORAS. 7 El triángulo ADC es semejante al ABC. Por el teorema de Thales: c m = h c ; c = hm El triángulo BDC es semejante al ABC. Por el teorema de Thales: c n = h c ; c = hn Además n + m = h: h c + {}}{ c = hn + hm = h n + m = h c + c = h Hay que resaltar que lo anterior sólo es válido para triángulos rectángulos. Ejemplo: Suponiendo que c = y h =, vamos a calcular c : h = c + c ; c = h c = = 0; c = Se puede ver que en este caso se obtiene que c = 0!!!!. Es decir, que el triángulo que cumple que c = y h = es una línea recta. También se pueden encontrar ejemplos de triángulos que no existen realmente, por ejemplo, c = y h = si se intenta resolver este supuesto triángulo, el lector se encontrará que no existe tal triángulo. Sería recomendable que intentase dibujarlo y viera que no es posible encontrar un triángulo rectángulo con dichas características. c = 0 Ejercicios:. Sea un triángulo rectángulo donde h es la hipotenusa, c y c son los catetos. Dados los siguientes datos calcular el lado que falta: a) c =, c = b) c = 4, c = c) h = 4, c = d) h = 5, c = Sol.: h = 0, h = 5, h = 7, h =. Un campo de fútbol tiene 00 m de largo por 50 m de ancho. Cuánto vale su diagonal? Sol.:,8 m

8 6 LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Las razones trigonométricas. Con los dos teoremas que hemos visto anteriormente, el teorema de Thales y el teorema de Pitágoras, se pueden resolver gran cantidad de triángulos. Se podrían crear tablas de triángulos rectángulos el los que se indicasen la longitud de sus lados y los ángulos que forman. Con estas tablas podrían resolverse gran cantidad de triángulos aplicando el teorema de Thales y de Pitágoras. Pero, qué triángulos se pueden coger para realizar dichas tablas? Por convenio se podrían elegir aquellos triángulos cuya hipotenusa es el radio de una circunferencia de radio unidad y clasificarlos según uno de sus ángulos de la forma siguiente: Respecto a el ángulo α se denomina c.o. al cateto opuesto y c.c. al cateto contiguo. h será, evidentemente, la hipotenusa. Ya hemos dicho que por convenio h =. Por el teorema de Thales se pueden establecer relaciones con otros triángulos semejantes. Manipulando la expresión del teorema de Thales: a a = b a b ; b = a b Por lo que para aplicar dicho teorema sólo necesitamos tabular los cocientes entre los lados de los triángulos rectángulos que se toman como referencia. Para facilitar el trabajo a estos cocientes se les puede poner nombre. Así respecto a el ángulo α se pueden definir los siguientes cocientes o razones trigonométricas: Seno: Coseno: Tangente: sen(α) = cos(α) = tg(α) = cateto opuesto hipotenusa cateto contiguo hipotenusa cateto opuesto cateto contiguo Además se definen también las razones trigonométricas inversas: () (4) (5) Cosecante: Secante: cosec(α) = sen(α) sec(α) = cos(α) (6) (7)

9 6 LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS. 9 Cotangente: cotg(α) = tg(α) Podemos así realizar las tablas a las que nos referíamos: (8) α sin(α) cos(α) tg(α) 0 o o 45 o 60 o 90 o 0 Nota: Una regla memotécnica para recordar de forma sencilla las razones trigonométricas de los ángulos de 0 o, 45 o y 60 o, es ir realizando la siguiente construcción: Primero se realiza la siguiente tabla: α sin(α) cos(α) tg(α) 0 o 45 o 60 o Tanto el seno como el coseno están divididos entre : α sin(α) cos(α) tg(α) 0 o 45 o 60 o Después sólo hay que rellenar los denominadores del seno con, y. De forma idéntica con el coseno pero en orden inverso, y : α sin(α) cos(α) tg(α) 0 o 45 o 60 o

10 7 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS. 0 Para terminar de completar la tabla, sólo hay que recordar que tg(x) = sen(x) cos(x) : α sin(α) cos(α) tg(α) 0 o 45 o 60 o 7. Resolución de triángulos rectángulos. Para resolver triángulo rectángulos usando las razones trigonométricas, sólo hay que:. Se identifica qué ángulo y qué lado se conoce y qué lado se desea averiguar. Evidentemente no es válido el ángulo de 90 o.. Se busca una razón trigonométrica que relacione los dos lados respecto a el ángulo conocido.. Se plantea una ecuación usando la razón trigonométrica conocida, sustituyendo los valores conocidos y dejando el valor desconocido como incógnita. Ejemplo: Se considera el triángulo rectángulo de la figura. Vamos a considerar que h = y α = 0 o, se desea calcular el valor de a y de b. Respecto a el ángulo α se tiene que a es el cateto opuesto y h es la hipotenusa. La razón trigonométrica que relaciona ambos lados es el seno: Si nos fijamos en las tablas: sen(α) = a h ; sen(α) = a ; a = sen(α) Por ello: sen(0 o ) = a = sen(0 o ) = = ; a = Para calcular el valor de b se sigue un procedimiento similar: Respecto a el ángulo α se tiene que b es el cateto opuesto y h es la hipotenusa. La razón trigonométrica que relaciona ambos lados es el coseno: cos(α) = b h ; cos(α) = b ; b = cos(α)

11 7 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS. Si nos fijamos en las tablas: Por ello: cos(0 o ) = b = cos(0 o ) = Ejemplo: Se considera el triángulo rectángulo de la figura. = ; b = De este triángulo se conoce que δ = 60 o y que a =. Se pueden calcular el resto de valores. Respecto a δ, a es el cateto contiguo, b es el cateto opuesto (sólo hay que girar el triángulo para darse cuenta). Para calcular h hay que buscar la razón trigonométrica que relaciona a con h, que en este caso será el coseno: cosδ = a h ;cos(60o ) = h ;h = cos(60 o ) ;h = 6 Se procede de forma idéntica para calcular b. En este caso la razón trigonométrica que relaciona a con b es la tangente: tg δ = b a ;tg(60o ) = b ;b = tg(60o );b = Ejercicios: Sea el triángulo: Calcular los lados desconocidos en los siguientes casos:. δ = 0 o, h = 0 cm Sol.: b = 5 cm a = 8,66 cm. α = 45 o, a = 0 cm Sol.: b = 0 cm h = 4,4 cm. α = 60 o, h = 0 cm Sol.: b = 5 cm a = 8,66 cm 4. El ángulo de elevación del Sol sobre el horizonte es de 0 o, calcular la sombra de una persona que mida,65 m. Sol.: En este caso es como resolver un triángulo con α = 0 o y a =,65m. Resolviendo b =,86 m Por último se le plantea a lector una cuestión: por qué no se puede usar el ángulo de 90 o para resolver los triángulos?

12 8 TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO. 8. Teoremas del seno y del coseno. Los teoremas del seno y del coseno permiten resolver triángulos de cualquier tipo. Aplicar un teorema u otro sólo dependerá de los datos que nos suministren. 8.. Teorema del seno. Sea el triángulo: Donde α es el ángulo opuesto al lado a, β es el ángulo opuesto al lado b y γ es el lado opuesto al lado c. El teorema del seno indica: Ejemplo: Sea el triángulo: sen(α) a sen(α) a sen(β) b = sen(β) b = sen(γ) c = sen(γ) c Donde a =, α = 0 o y β = 45 o. Cuánto vale b: Hay que buscar una relación que use todos los datos anteriores: sen(α) a = sen(β) b sen(0o ) = sen(45o ) b b = sen(45o ) sen(0 o ) = = Ejercicios: Sea el triángulo:

13 8 TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO. Calcular los lados desconocidos en los siguientes casos:. a=, α = 0 o, β = 45 o Sol.: b =,4, c =,9 Recordar que α + β + γ = 80 o. a=, α = 45 o, β = 0 o Sol.: b =,4, c =,7 8.. Teorema del coseno. Sea el triángulo: Donde α es el ángulo opuesto al lado a, β es el ángulo opuesto al lado b y γ es el lado opuesto al lado c. El teorema del coseno indica: Ejemplo: Sea el triángulo: a = b + c bc cos(α) b = a + c ac cos(β) c = a + b ab cos(γ) Donde α = 0 o, b = y c =. Cuánto vale a? Hay que buscar una relación que use todos los datos anteriores y devuelva a: a = b + c bc cos(α) = + cos(0 o ) = = Ejercicios: Sea el triángulo:

14 9 LA IDENTIDAD PITAGÓRICA. 4 Calcular los lados desconocidos en los siguientes casos:. c=7, b=5, α = 0 o Sol.: a =,65. a=, c=, β = 45 o Sol.: b =,. a=, b=, β = 60 o Sol.: b = 9. La identidad Pitagórica. Es la siguiente expresión: sen (α) + cos (α) = Demostracion: Por el teorema de Pitágoras: c + c = h ; c h + c h = ; sen (α) + cos (α) = ; La identidad Pitagórica da una forma de calcular el seno conociendo el coseno o viceversa. Por ejemplo: Si sen(α) = : sen (α) + cos (α) = ; cos(α) = sen (α) = 8 = = También es muy útil a la hora de simplificar expresiones en la ecuaciones trigonométricas. Se ha hallado una relación entre sen(α) y cos(α). Se podría hacer lo mismo con el sen(α) y la tg(α)? Y entre el resto de la razones trigonométricas? La respuesta es que sí. Se divide la identidad pitagórica por sen (α): sen (α) + cos (α) = sen (α) sen (α) + cos (α) sen (α) = sen (α) + cotg (α) = + tg (α) = sen (α) De forma idéntica se puede operar dividiendo entre el coseno: sen (α) + cos (α) = sen (α) cos (α) + cos (α) cos (α) = cos (α) tg (α) + = sen (α) cos (α) En los ejercicios se puede solicitar calcular, por ejemplo, un coseno y la tangente a partir del seno. Para ello se podrían usar las fórmulas que se han deducido anteriormente, o bien usar el siguiente truco:

15 0 SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS. 5 Por ejemplo: Sabiendo que sen(α) = calcular el cos y la tg. Por la definición de seno se sabe que: sen(α) = cateto opuesto hipotenusa = { cateto opuesto = hipotenusa = Es decir, de un triángulo rectángulo se conocen la hipotenusa y el cateto opuesto. Aplicando el teorema de Pitágoras: h = c + c cateto contiguo = h c = = 5 Aplicando las definiciones de coseno y tangente se pueden calcular rápidamente el valor del coseno y la tangente: cos(α) = 5 tg(α) = 5 Ejercicios:. Sabiendo que sen α = 0, calcular cos α y tg α. Sol.: cosα = 0,99 y tg α = 0,.. Sabiendo que cos α = 0, calcular sen α y tg α. Sol.: senα = 0,95 y tg α =,7. Sabiendo que tg α = 0,5 calcular cos α y sen α. Sol.: senα = 0,45 y cosα = 0,89 0. Signos de las razones trigonométricas. Según en el cuadrante en el que se encuentren situados los ángulos las razones trigonométricas pueden ser positivas o negativas. Por ejemplo: Según el cuadrante en el que se encuentre el ángulo, el seno será positivo o negativo. Esquemáticamente:

16 OPERACIONES CON ÁNGULOS. 6 De forma idéntica se pueden definir los signos para cada cuadrante para el coseno y la tangente: Ejercicios:. Sabiendo que sen(74 o ) = 0, calcular cos(74 o ) y tg(74 o ). Sol.: cos(74 o ) = 0,99 y tg(74 o ) = 0,.. Sabiendo que cos(87 o ) = 0, calcular sen(87 o ) y tg(87 o ). Sol.: sen(87 o ) = 0,95 y tg(87 o ) =,7. Sabiendo que tg(06 o ) = 0,5 calcular cos(06 o ) y sen(06 o ). Sol.: sen(06 o ) = 0,45 y cos(06 o ) = 0,89. Operaciones con ángulos. Puede ser interesante obtener el seno, o el coseno, de la suma de dos ángulo, o su diferencia. Para ello se usarán las siguientes expresiones: sen(α + β) = sen(α) cos(β) + sen(β) cos(α) sen(α β) = sen(α) cos(β) sen(β) cos(α) cos(α + β) = cos(α) cos(β) sen(β) sen(α) cos(α β) = cos(α) cos(β) + sen(β) sen(α) tg(α + β) = tg(α) + tg(β) tg(α) tg(β tg(α) tg(β) tg(α β) = + tg(α) tg(β ( ) α sen = ± cos(α) ( ) α + cos(α) cos = ± El signo ± depende del cuadrante en el que esté situado α. Ejemplo: Calcular sen(0 o + 45 o ): sen(0 o + 45 o ) = sen(0 o ) cos(45 o ) + sen(45 o ) cos(0 o ) = ( + = + ) 4

17 LAS FUNCIONES ARCO. 7. Las funciones arco. Al igual que la operación contraria a la suma es la resta, a partir del resultado de una función trigonométrica las funciones arco averiguan el ángulo la genera. Por ejemplo: sen(0 o ) = por lo tanto arcsen( ) = 0o cos(0 o ) = por lo tanto arccos( ) = 0o tg(45 o ) = por lo tanto arctg() = 45 o La siguiente tabla puede ser útil para encontrar el valor del ángulo buscado: α sen(α) cos(α) tg(α) 0 0,00,00 0,00 0 0,7 0,98 0,8 0 0,4 0,94 0,6 0 0,50 0,87 0, ,64 0,77 0, ,77 0,64,9 60 0,87 0,50,7 70 0,94 0,4, ,98 0,7 5,67 90,00 0, ,98 0,7 5,67 0 0,94 0,4,75 0 0,87 0,50,7 0 0,77 0,64,9 40 0,64 0,77 0, ,50 0,87 0, ,4 0,94 0,6 70 0,7 0,98 0,8 80 0,00,00 0, ,7 0,98 0,8 00 0,4 0,94 0,6 0 0,50 0,87 0,58 0 0,64 0,77 0,84 0 0,77 0,64,9 40 0,87 0,50,7 50 0,94 0,4, ,98 0,7 5,67 70,00 0, ,98 0,7 5, ,94 0,4, ,87 0,50,7 0 0,77 0,64,9 0 0,64 0,77 0,84 0 0,50 0,87 0, ,4 0,94 0,6 50 0,7 0,98 0,8 60 0,00,00 0,00

18 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS. 8 Viendo la tabla, por ejemplo para arcsen 0,5, se puede ver que hay varias soluciones posibles. Así para arcsen 0,5 se puede ver que tanto 0 o como 50 o son soluciones. En el tema de funciones se estudiarán las funciones periódicas y se descubrirá que hay muchas más soluciones para el arcsen 0,5. Ejercicios: Calcular el primer valor de las siguientes funciones arco:. arcsen 0,64 Sol.: 40 o. arccos 0,77 Sol.: 40 o. arctg 0,84 Sol.: 40 o 4. arcsen 0,94 Sol.: 70 o. Ecuaciones trigonométricas. Existen ecuaciones en las que aparecen incógnitas en las funciones trigonométricas. Por ejemplo: sen α = En este caso es sencillo sólo hay que aplicar la función arco correspondiente: Otro ejemplo: Operando: senα = α = arcsen = 0o cos x + = cos(x) + = cos x = cos x = x = arccos = 0 Es decir, básicamente hay que aislar la función trigonométrica que tiene la incógnita en uno de los miembros de la ecuación y aplicar la función arco correspondiente a los dos miembros de la ecuación. Una ecuación un poco más elaborada: tg x + = tg x Para resolverla llevamos las funciones con incógnita a un lado de la ecuación y el resto de elementos al otro lado: tg x + = tg x tg x tg x = tg x = tg x = x = arctg = 7,5 o Ejercicios:. sen x = Sol.: x=0o. cos x = cos x + Sol.: x=60 o. sen x + = 0 Sol.: No tiene solución. Tanto sen como cos sólo devuelven valores entre - y.

19 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS cos x + 9 = cos x 0 Sol.: No tiene solución. Tanto sen como cos sólo devuelven valores entre - y. Existen otras ecuaciones en las que la función trigonométrica puede estar elevada a una potencia: Nota: sen x = (sen x) = (sen x)(sen x) sen x + sen x = 0 Se considera que es una ecuación de segundo grado cuya incógnita es sen x. Por ello, se usa la fórmula de la ecuación de segundo grado: sen x = ± + 4 = ± = { Por lo tanto se tienen dos resultados: sen x = x = arcsen( ) = 70 o sen x = No tiene solución. Tanto sen como cos sólo devuelven valores entre - y. Ejercicios:. sen x sen x + = 0 Sol.: x=90 o. sen x sen x + = 0 Sol.: x=90 o. cos 8cos x + 5 = 0 Sol.: No tiene solución. Tanto sen como cos sólo devuelven valores entre - y. A veces hay que usar las relaciones entre las funciones trigonométricas para poder encontrar la solución. Este truco se debe usar cuando hay funciones trigonométricas diferentes dentro de la misma ecuación. Por ejemplo: sen x = cos x En este caso habrá que buscar una relación entre sen y cos, como por ejemplo tg x = sen x cos x. Así: sen x = cos x sen x cos x = tg x = x = arctg = 7o En otros caso habrá que usar la identidad pitagórica sen (α) + cos (α) = y despejar. Por ejemplo: sen x + cos x = Aplicando la identidad pitagórica: sen (α) + cos (α) = cos (α) = sen (α): sen x + cos x = sen x + sen x = sen x + sen x = 0 La ecuación que se obtiene ya se sabe resolver: sen x = ± + 4 = ± { =

20 4 ACTIVIDADES. 0 Por lo tanto se tienen dos resultados: sen x = x = arcsen( ) = 70 o sen x = No tiene solución. Tanto sen como cos sólo devuelven valores entre - y. Ejercicios:. sen x + sen x = 0 Sol.: x=0 o. tg x sen x = Sol.: x=0o!! Intente verificar la solución y verá que tiene sorpresa. 4. Actividades.. Sea el triángulo: Resolverlo en los siguientes casos (calcular el resto de lados y ángulos desconocidos): a) γ = 90 o, α = 60 o, a= b) γ = 90 o, α = 0 o, b= c) γ = 90 o, α = 45 o, c= d) γ = 0 o, α = 45 o, c= e) α = 60 o, a=, β = 0 o f ) α = 60 o, c=, b= g) γ = 0 o, b=, a=. Un árbol proyecta una sombra de m que forma un ángulo con la horizontal de 60 o. Qué altura tiene el árbol?. Un pentágono está inscrito en una circunferencia de radio. Cuánto miden los lados del pentágono? Suponiendo que el pentágono se puede dividir en 5 triángulos iguales, cuál es el área del pentágono? 4. Desde dos faros separados entre sí km se observa un barco. Desde el primer faro el barco forma un ángulo de 0 o con el segundo faro. Desde el segundo faro el barco hace un ángulo de 45 o con el primero. A qué distancia está el barco de cada faro?

21 4 ACTIVIDADES. 5. Una empresa de teléfonos móviles desea averiguar la posición en la que se encuentra un usuario. Para ello se conoce perfectamente la posición de cada antena y son direccionables (se pueden girar un cierto número de grados para mejorar la recepción). Qué método se podría seguir para conocer la posición de un abonado? 6. Calcular, usando la identidad pitagórica y las razones trigonométricas cuánto valen: a) El cos(α) y la tg(α) sabiendo que el sen(α) = 0, b) El cos(α) y el sen(α) sabiendo que el tg(α) =