TEMA 7 TRIGONOMETRÍA -

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1 TEMA 7 TRIGONOMETRÍA - 1. MEDIDA DE ÁNGULOS Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice. El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo en caso contrario. Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades: Grado sexagesimal ( ): Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo central correspondiente a cada una de sus partes es un ángulo de un grado (1 ) sexagesimal. Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos (''). Radian: Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio. Ejemplo: 2π rad = 360 π rad = º rad /3 rad º 1

2 2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Se definen las siguientes razones trigonométricas para el ángulo agudo α: 3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES Observa que las razones trigonométricas cumplen con las siguientes propiedades: Las propiedades 6 y 7 se llaman identidades pitagóricas 2

3 Ejemplos 1. Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α. 2. Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α. 3

4 4. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA Se llama circunferencia goniométrica a una circunferencia de radio 1 y con centro en el origen de un sistema de ejes coordenados. Todo ángulo se puede situar en la circunferencia goniométrica situando el vértice del ángulo en el centro de la circunferencia y fijando un lado del ángulo el radio que va hasta el punto (1,0). De esta manera, el punto donde el otro lado del ángulo corta a la circunferencia determina unívocamente un ángulo. Del mismo modo, un ángulo determina un único punto en la circunferencia. A cada uno de los cuartos en que los ejes dividen la circunferencia se les llama cuadrante. Si el ángulo es agudo, el punto está en el 1er cuadrante si el ángulo es obtuso estará en el 2º cuadrante si el ángulo está entre 180 º y 270 º en el 3er cuadrante y si el ángulo está entre 270º y 360º, el punto estará en el 4º cuadrante: 4

5 Ejemplo: Sitúa en el cuadrante que corresponda y expresa en función de un ángulo agudo, el seno, el coseno y la tangente de los siguientes ángulos: Ejemplo: Expresar con valores comprendidos entre -180 y 180º los siguientes ángulos: a) 775º Lo que hacemos es dividir 775º entre 360º, obteniendo 2 de cociente y 55º de resto, que es el valor que buscamos. 55º b) 1400º Lo que hacemos es dividir 1400º entre 360º, obteniendo 3 de cociente y 320º de resto. Al ser el resto mayor de 180º, tengo que restar el resto menos 360º, que es el valor que buscamos. 320º-360=-40º 5

6 5. REDUCCIÓN A UN ÁNGULO CONCRETO TIPOS DE ÁNGULOS ÁNGULO AGUDO < 90º ÁNGULO OBTUSÁNGULO > 90º ÁNGULO RECTÁNGULO = 90º Para reducir a un ángulo agudo, tendremos que restar 360º o 180º al ángulo, según nos venga bien de manera que obtengamos un ángulo agudo. Ejemplos: Sen 150º, cos 150º y tg 150º Sen 150º 180º - 150º =30º +sen 30º = 1/2 Cos 150º 180º - 150º =30º -cos 30º = - tg 150º 180º - 150º =30º -tg 30º = - 6

7 6. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 30º, 45º Y 60º Si consideramos un triángulo rectángulo isósceles de cateto a, entonces la hipotenusa mide (ver diagonal de un cuadrado) Si en este triángulo calculamos las razones trigonométricas, obtenemos: Para calcular las razones trigonométricas para los ángulos de 30 y 60, ocuparemos el triángulo equilátero de la figura: En el triángulo rectángulo, se cumple que: 7

8 Resumiendo, las razones trigonométricas sen, cos y tan para 30, 45 y 60 son: 7. USO DE LA CALCULADORA Las calculadoras trabajan en varios modos: DEG (Grados sexagesimales): Son los que utilizamos normalmente. GRA (Grados centesimales): Un ángulo recto tiene cien grados centesimales. Nunca utilizaremos esta medida. RAD (Radianes): Esta unidad de medida de ángulos está relacionada con el estudio funcional de las razón es trigonométricas. Para poder trabajar la trigonometría, la calculadora tiene que estar en el modo DEG (Grados sexagesimales). Para escribir un ángulo con la calculadora hay que usar esta tecla Para escribir el ángulo 38º 25 36, se procede así: , nos expresa el ángulo en forma sexagesimal. Mientras que si pulsamos de esta manera nos da el ángulo en forma decimal. Si lo que queremos calcular es una razón trigonométrica, utilizaremos las teclas: Para calcular sen (47º 25 ) haremos lo siguiente: 47 25, de esta manera calculamos el seno. 8

9 Funciones inversas: sin -1 cos -1 tan -1 Para adivinar el ángulo con la calculadora sabiendo que el seno, coseno o tangente es un cierto número, se realiza lo siguiente: Para calcular cuánto vale x, sabiendo que cos x =0,56 Para calcular x 0,56 55, Si queremos obtenerlo de forma sexagesimal pulsamos 55º 56 39,13 Calculo de una razón conociendo otra: Sabiendo que cos x = 0,63, Cuánto vale tg x? Para calcular x 0,63 50, , También se puede calcular de forma directa: 0,63 1,

10 8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Nos podemos encontrar con dos tipos de casos a la hora de resolver un triángulo rectángulo mediante la trigonometría. Conociendo dos lados 1. Calculamos mediante Pitágoras el tercer lado. 2. Mediante las razones trigonométricas, hallamos los ángulos. Ejemplo: Sabiendo que los dos catetos de un triángulo son 17 cm y 40 cm, halla el lado que falta y los tres ángulos del triángulo. 1. Calculamos el lado c mediante Pitágoras: 2 2 c= ,46cm 2. Calculamos los dos ángulos que faltan: tg = 17 0, 425 0,425 23º 1 31,77 40 =90- = 90-23º 1 31,77 = 66º

11 Conociendo un lado y un ángulo 1. Hallamos otro lado mediante la razón trigonométrica que relaciona el lado y el ángulo conocido. 2. El otro ángulo es complementario del que conocemos, es decir, restamos 90º menos el ángulo conocido para hallarlo. Ejemplo: Sabiendo que la hipotenusa mide 46 cm y un ángulo agudo mide 27º halla los lados que faltan y el otro ángulo que falta del triángulo. 1. Hallamos otro lado mediante la razón trigonométrica que relaciona el lado y el ángulo conocido. b sen 27 º = 46 b= sen 27 º 46; b= 20,88 cm c cos 27 º = c= cos 27 º 46; c= 40,99 cm El otro ángulo es complementario del que conocemos, es decir, restamos 90º menos el ángulo conocido para hallarlo. =90- = 90-27º = 63º 11

12 9. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Nos podemos encontrar con dos tipos de casos a la hora de resolver un triángulo oblicuángulo mediante la trigonometría. Conociendo dos lados y un ángulo 1. Formamos dos triángulos rectángulos y calculamos h y x : sen 30 º = 7 h h= sen 30 º 7; h= 3,5 cm cos 30 º = 7 x x= cos 30 º 7; x= 6,06 cm Ahora puedo saber lo que vale y, es decir, 10 6,06= 3,94 cm 2. Sabiendo la altura h y el cateto y, calculamos la hipotenusa mediante Pitágoras: 2 2 c= 3,5 3,94 12,25 15,52 27,77 5,26cm 3. Mediante las razones trigonométricas, hallo los ángulos A y B. tg B= 3,5 3,94 B= 41º 36 55,74 ; tg B =0,88 B= 0,88 B=41,61º A = ,61 = 108,39º A = 108º

13 Conociendo dos ángulos y un lado 1. Calculo el ángulo restante: A = = 99º A = 99º 2. Utilizando las razones trigonométricas, aplico en ambos triángulos rectángulos la propiedad de la tangente. tan 53 º = x h h= tan 53 º x; tan 28 º = y h h= tan 28 º y; Igualando ambas ecuaciones obtengo: tan 53 º x = tan 28 º y 1,33 x = 0,53 y Por otro lado, como sé que x + y = 87, formamos un sistema de ecuaciones con las dos ecuaciones que he conseguido: 1,33 x = 0,53 y x + y = 87 Resolviendo el sistema, obtengo que x= 24,8 m e y= 62,2 m 13

14 Gracias a ello, ahora puedo calcular el lado b y el lado c: 24, 8 cos 53º = b 62, 2 cos 28º = c b= c= 24,8 cos53º 62,2 cos28º b=41,2 m c=70,4 m 14