RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

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1 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Página 03 REFLEXIONA Y RESUELVE Problema Para calcular la altura de un árbol, podemos seguir el procedimiento que utilizó Tales de Mileto para hallar la altura de una pirámide de Egipto: comparar su sombra con la de una vara vertical cuya longitud es conocida. Hazlo tú siguiendo este método y sabiendo que: la vara mide cm, la sombra de la vara mide 37 cm, la sombra del árbol mide 58 cm. Para solucionar este problema habrás utilizado la semejanza de dos triángulos. x x x = = = 86,65 cm cm 58 cm 37 cm La altura del árbol es de 86,65 cm. Problema Bernardo conoce la distancia AB a la que está del árbol y los ángulos CBA y BAC; y quiere calcular la distancia BC a la que está de Carmen. Datos: AB = 63 m; CBA = o ; BAC = 83 o Para resolver el problema, primero realiza un dibujo a escala : 000 ( m 8 8 mm). Después, mide la longitud del segmento BC y, deshaciendo la escala, obtendrás la distancia a la que Bernardo está de Carmen. BC = mm 63 m A 83 Deshaciendo la escala: BC = m B C 7

2 Problema 3 Análogamente puedes resolver este otro: Bernardo ve desde su casa el castillo y la abadía. Conoce las distancias a ambos lugares, pues ha hecho el camino a pie muchas veces; y quiere averiguar la distancia del castillo a la abadía. Para ello debe, previamente, medir el ángulo CBA. Datos: BC = 00 m; BA = 700 m; CBA = 08 o. Utiliza ahora la escala :0 000 (00 m 8 cm). 00 m 8 cm 00 m 8 cm 700 m 8 7 cm CA =,7 cm ò CA = 70 m A 700 m 8 7 cm 08 B 00 m 8 cm NOTA: El triángulo está construido al 50% de su tamaño. C Problema Calcula, aplicando el teorema de Pitágoras: a) Los lados iguales de un triángulo rectángulo isósceles cuya hipotenusa mide. x x b)la altura de un triángulo equilátero de lado. Haz todos los cálculos manteniendo los radicales. Debes llegar a las siguientes soluciones: x = y = 3 y 8

3 UNIDAD a) = x + x 8 = x 8 x = 8 x = = b) = y + ( ) 8 y = = 8 y = Página 0. Calcula tg a sabiendo que sen a = 0,39. Hazlo, también, con calculadora. cos a = (sen a) = 0,39 = 0,9 sen a tg a = = 0, cos a Con calculadora: s ß 0,39 = t = { Ÿ ««} 3 3. Calcula cos a sabiendo que tg a =,8. Hazlo, también, con calculadora. s + c = s/c =,8 Resolviendo el sistema se obtiene s = 0,79 y c = 0,6. Con calculadora: s t,8 = = { Ÿ\ \ } Página 05. Sabiendo que el ángulo a está en el segundo cuadrante (90 < a < 80) y sen a = 0,6, calcula cos a y tg a. c 0,6 t cos a = 0,6 = 0,78 0,6 tg a = = 0,79 0,78. Sabiendo que el ángulo a está en el tercer cuadrante (80 < a < 70) y cos a = 0,83, calcula sen a y tg a. s 0,83 t sen a = (0,83) = 0,56 0,56 tg a = = 0,67 0,83 9

4 3. Sabiendo que el ángulo a está en el cuarto cuadrante (70 < a < 360) y tg a = 0,9, calcula sen a y cos a. c s t 0,9 s/c = 0,9 s + c = s = 0,68; c = 0,7 s = 0,68; c = 0,7 El sistema tiene dos soluciones: Teniendo en cuenta dónde está el ángulo, la solución es la primera: sen a = 0,68, cos a = 0,7. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla y amplíala para los ángulos 0, 5, 0, 70, 300, 35, 330 y sen 0 / / 3/ cos 3/ 0 tg 0 3/3 Ayúdate de la representación de los ángulos en una circunferencia goniométrica sen 0 / / 3/ 3/ / / 0 cos 3/ / / 0 / / 3/ tg 0 3/ / sen / / 3/ 3/ / / 0 cos 3/ / / 0 / / 3/ tg 3/ /3 0 Página 06. Halla las razones trigonométricas del ángulo 397: a) Obteniendo la expresión del ángulo en el intervalo [0, 360). b) Obteniendo la expresión del ángulo en el intervalo ( 80, 80]. c) Directamente con la calculadora. a) 397 = b) 397 = sen 397 = sen 37 = 0,8 sen 397 = sen ( 3) = 0,8 cos 397 = cos 37 = 0,5 cos 397 = cos ( 3) = 0,5 tg 397 = tg 37 =,5 tg 397 = tg ( 3) =,5 0

5 UNIDAD. Pasa cada uno de los siguientes ángulos al intervalo [0, 360) y al intervalo ( 80, 80]: a) 396 b) 9 c) 65 d) e) 7 6 f ) 980 Se trata de expresar el ángulo de la siguiente forma: a) 396 = = 36 b) 9 = = 3 k o k, donde k Ì 80 c) 65 = = 85 = = 75 d) 3895 = = 95 = = 65 e) 76 = = 5 f) 980 = = 80 Cuando hacemos, por ejemplo, 76 = , por qué tomamos? Porque, previamente, hemos realizado la división 7 6 / 360 = { }. Es el cociente entero. Página 07 LENGUAJE MATEMÁTICO. Di el valor de las siguientes razones trigonométricas sin preguntarlo a la calculadora. Después, compruébalo con su ayuda: a) sen(37 Ò ) b) cos( 5 Ò ) c) tg( Ò ) d) cos(7 Ò ) a) sen ( ) = sen ( 30) = sen 30 = b) cos ( ) = cos (0) = c) tg ( ) = tg ( 35) = tg 35 = d) cos ( ) = cos ( ) = = cos ( 360 5) = cos ( 5) = cos 5 =. Repite con la calculadora estos cálculos: s t P 0 = { } s t P 0 = { } Explica los resultados. Cómo es posible que diga que el ángulo cuya tangente vale 0 0 es 90 si 90 no tiene tangente? Es un ángulo que difiere de 90 una cantidad tan pequeña que, a pesar de las muchas cifras que la calculadora maneja, al redondearlo da 90.

6 Página 09. Calcula las razones trigonométricas de 55, 5, 5, 5, 35, 305 y 35 a partir de las razones trigonométricas de 35: sen 35 = 0,57; cos 35 = 0,8; tg 35 = 0,70 55 = ò 55 y 35 son complementarios. sen 55 = cos 35 = 0,8 cos 55 = sen 55 = 0,57 ( También tg 55 = =,3 tg 35 0,70 sen 55 0,8 tg 55 = = =,3 cos 55 0,57 ) 5 = sen 5 = cos 35 = 0,8 cos 5 = sen 35 = 0,57 tg 5 = = =,3 tg 35 0, = ò 5 y 35 son suplementarios. sen 5 = sen 35 = 0,57 cos 5 = cos 35 = 0,8 tg 5 = tg 35 = 0, = sen 5 = sen 35 = 0,57 cos 5 = cos 35 = 0,8 tg 5 = tg 35 = 0, = sen 35 = cos 35 = 0,8 cos 35 = sen 35 = 0,57 sen 35 cos 35 tg 35 = = = = =,3 cos 35 sen 35 tg 35 0,

7 UNIDAD 305 = sen 305 = cos 35 = 0,8 cos 305 = sen 35 = 0,57 sen 305 cos 35 tg 305 = = = =,3 cos 305 sen 35 tg = (= 35) sen 35 = sen 35 = 0,57 cos 35 = cos 35 = 0,8 sen 35 sen 35 tg 35 = = = tg 35 = 0,70 cos 35 cos Averigua las razones trigonométricas de 358, 56 y 3, utilizando la calculadora solo para hallar razones trigonométricas de ángulos comprendidos entre 0 y = 360 sen 358 = sen = 0,039 cos 358 = cos = 0,999 tg 358 ( *) = tg = 0,039 (*) sen 358 sen tg 358 = = = tg cos 358 cos 56 = 80 sen 56 = sen = 0,067 cos 56 = cos = 0,935 tg 56 = tg = 0,5 OTRA FORMA DE RESOLVERLO: 56 = sen 56 = cos 66 = 0,067 cos 56 = sen 66 = 0,935 tg 56 = = = 0,5 tg 66,60 3 = sen 3 = sen 8 = 0,3090 cos 3 = cos 8 = 0,95 tg 3 = tg 8 = 0,39 3

8 3. Dibuja, sobre la circunferencia goniométrica, ángulos que cumplan las siguientes condiciones y estima, en cada caso, el valor de las restantes razones trigonométricas: a) sen a =, 3 tg a > 0 b) cos a =, a > 90 c) tg b =, cos b < 0 d) tg a =, cos a < 0 a) sen a = / < 0 tg a > 0 sen a = / cos a 0,86 8 cos a < 0 8 a é 3. er cuadrante tg a 0,58 b) cos a = 3/ a > 90º sen a 0,66 cos a = 3/ 8 a é. cuadrante tg a 0,88 c) tg b = < 0 cos b < 0 sen b 0,7 cos b 0,7 8 sen b > 0 8 b é. cuadrante tg b = d) tg a = > 0 cos a < 0 sen a 0,9 cos a 0,5 8 sen a < 0 8 a é 3. er cuadrante tg a = Página. Las siguientes propuestas están referidas a triángulos rectángulos que, en todos los casos, se designan por ABC, siendo C el ángulo recto. a) Datos: c = 3 cm, B^ = 57. Calcula a. b)datos: c = 3 cm, B^ = 57. Calcula b. c) Datos: a = 50 m, b = 308 m. Calcula c y A^. d)datos: a = 35 cm, A^ = 3. Calcula b. e) Datos: a = 35 cm, A^ = 3. Calcula c. a a) cos B^ = 8 a = c cos B^ = 7,3 cm c b b) sen B^ = 8 b = c sen B^ = 6,8 cm c