sen a + b c) Expresa las sumas del segundo miembro como productos y concluye que se cumple que a + b

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María Ángeles Redondo Vera
hace 7 años
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1 NOTA: Todos los ejercicios con asterisco (*) deberán ser entregados antes del 3 de enero del 0. Ejercicio Calcula los lados y ángulos que faltan, el área y los radios de la inscrita y circunscrita en los siguientes triángulos (longitudes en cm): a) α 05 o b c b) a 4 sen α 3 4, β 30o c) a 5, b 6 y c 7 Ejercicio En un triángulo prueba que: a) [ABC] abc 4R b) [ABC] R sen α sen β sen γ c) R sen α sen β sen γ r(sen α + sen β + sen γ) (Usa el apartado anterior y una de las fórmulas del área). Ejercicio 3 En un triángulo arbitrario prueba que se cumple que Pista: γ π ( ) α + β tg α tg β + tg β tg γ + tg γ tg α Ejercicio 4 (Ecuación de Mollweide) Demuestra que en un triángulo arbitrario, se cumple que: c sen α β sen γ (Pista: Utilizando el teorema del seno, deducir que se cumple que c resultado) sen α sen β sen γ y de ahí deduce el Ejercicio 5 (Fórmula de las tangentes) (*) El siguiente ejercicio va encaminado a demotrar que en un triángulo arbitrario se cumple que a + b α β tg tg α+β a) Demuestra que si a b c d entonces a + b c d (pista: divide el primer miembro entre b denominador c + d y numerados y el segundo entre d) b) A partir del teorema del seno, deduce que se cumple que sen α sen β a + b sen α + sen β c) Expresa las sumas del segundo miembro como productos y concluye que se cumple que a + b α+β tg tg α β Ejercicio 6 Demuestra que en un triángulo arbitrario se cumple que: a) sen α (p b)(p c) bc

2 b) cos α p(p a) bc c) Deduce que entonces se cumple que r 4R sen α sen β sen γ Ejercicio 7 Caracteriza los triángulos que cumplan las siguientes propiedades: a) sen α + cos α sen β + cos β b) sen α cos α sen β cos β c) sen α sen β + sen γ cos β + cos γ d) sen γ cos α + cos β Ejercicio 8 Demuestra que si en un triángulo se cumple que β γ entonces: a) b c cos γ (Usa el teorema del seno) b) ac b c Ejercicio 9 En un triángulo ABC se cumple que 3 sen α + 4 cos β 6 y 4 sen β + 3 cos α. Halla la medida del ángulo γ. Ejercicio 0 (*) Estás sobre un avión a 500 m sobre la superficie de la Tierra Hastá que distancia del horizonte puedes ver? (distancia desde donde tú estás) Ejercicio (*) En un círculo llamamos cuerda a un segmento que una dos puntos de la circunferencia. Una cuerda divide al círculo en dos regiones. Llamaremos sector circular a la región que no contiene el centro de la circunferencia. Halla el área de un sector circular delimitado por una cuerda de longitud d en una circunferencia de radio r. Ejercicio (Triángulo inscrito de mínimo perímetro) (*) Consideremos un triángulo arbitrario. Sean H A, H B y H C los tres pies de las alturas. Llamamos triángulo órtico al triángulo H A H B H C. En este ejercicio vamos a demostrar que el triángulo órtico es el triángulo de menor perímetro de todos los inscritos en ABC. Para esto, antes hemos de demostrar que las alturas son las bisectrices del triángulo órtico. a) Demuestra que la circunferencia que tiene diámetro BC pasa también por H B y H C. b) Deduce que CH C H B H B BC π BCA c) Aplica lo mismo al segmento CA ahora, para deducir que CH C H A CAH A π BCA d) Concluye que la altura h C es bisectriz de H A H C H B Una vez demostrado esto vamos a demostrar que el órtico es el triángulo de menor perímetro de todos los inscritos: e) Sea un triángulo inscrito UVW con U en a, Y en B y W en c. Sean U y U los reflejados de U con ejes b y c respectivamente. Justifica que AU AU AU y que U AU α f) Demuestra que el perímetro de g) Demuestra que U U AU sen α UVW es mayor o igual que U U (compáralo con U V + VW + WU ) h) Concluye que si AU es mínimo y U V + VW + WU U U entonces UVW es de perímetro mínimo. i) Para terminar, utiliza que las alturas son bisectrices del órtico para demostrar que el órtico cumple la pripiedad anterior.

3 Los ejercicios con asterisco (*) son de entrega voluntaria, pero la entrega tendrá que ser antes del 0 de febrero. Ejercicio 3 Resuelve los siguientes triángulos, es decir, halla los otros tres elementos, r, R y [ABC]: a) a, α 30 o, β 40 o b) a, b, γ 30 o c) a, b, c, 5 d) b 5, β 45 o, γ 60 o e) c 3, α 37 o, β 54 o f) a 3, c 4, β 50 o g) b 5, c 0, α 30 o h) a 3, b 5, α 3 o Ejercicio 6 En un triángulo rectángulo la bisectriz del ángulo recto divide la hipotenusa en razón : 3. Determina el valor de los otros dos águlos. Ejercicio 7 En un triángulo isósceles la base mide 30 cm y los ángulos iguales miden 63 o. Inscribimos un cuadrado de forma que uno de los lados yace sobre la base y los otros dos vértices tocan cada uno un lado. Halla el lado de dicho cuadrado. Ejercicio 8 En un triángulo ABC tenemos que a c cm y sen α, sen β y sen γ están en relación 63 : 5 : 5. Halla lo que miden los lados y los ángulos. Ejercicio 9 Basándote en el siguiente diagrama: i) a, b 3, c 4 j) b, c 4, γ 63 o k) c, a, β 08 o Ejercicio 4 Puede suceder que dos triángulos que tengan dos lados iguales y tres ángulos iguales no sean congruentes? Dí qué condiciones han de cumplir para que eso suceda. Ejercicio 5 Queremos medir el radio R de un lago circular, para lo cual fijamos tres puntos A, B y C sobre su costa y otro punto D fuera de él. Las medidas que hacemos nos dan los siguientes resultados: AD 0 m, BD 30 m ABC 30 o, ADC 45 o Cuánto vale el radio R del lago? demuestra que dado un triángulo ABC se cumple siempre que: sen α a b + c Pista: Considera los triángulos ABD y ACF Ejercicio 0 En un triángulo los lados están en relación 9 : 0 : 7. Halla los radios de la inscrita y de la circunscrita sabiendo que el área es 44 cm Ejercicio Demuestra que en un triángulo ABC se cumple que: tg α + tg β + tg γ tg α tg β tg γ Ejercicio El objetivo final de este ejercicio es probar que en un triángulo arbitrario se cumple que sen α sen β sen γ. Para ello vamos a tener que 8 desarrollar una desigualdad bastante utilizada: 3

4 a) A partir de que ( a b ) 0 ( Por qué?) prueba que se cumple que si a y b son dos números positivos ab a + b Cuándo se da la igualdad? A la desigualdad anterior la conocemos como desigualdad aritmético-geométrica (la media aritmética de dos números positivos es menor o igual que la aritmética). b) En el siguiente dibujo tienes otra demostración del mismo hecho Podrías justificarla? Ejercicio 4 Dado un triángulo ABCprueba que: a) sen α +sen β +sen γ + sen α sen β sen γ b) sen α + sen β + sen γ 3 4 c) cos α + cos β + cos γ 9 4 Ejercicio 5 En un triángulo cumple: ABC, prueba que se a) r 4R sen α sen β sen γ b) Deduce que entonces en cualquier triángulo se cumple que r R c) a cos α + b cos β + c cos γ abc R d) p 4R cos α cos β cos γ c) Como aplicación de lo anterior, demuestra que para tres números a, b y c con p a + b + c se tiene que: a (p b) (p c) de- d) Sabiendo que sen α (p b) (p c) bc muestra que: sen α a bc e) Concluye que en un triángulo ABCse cumple que sen α sen β sen γ 8 Ejercicio 3 (*) Construye un triángulo rectángulo conociendo la medida de la hipotenusa a y r. Pista: El vértice A ha de estar en la circunferencia de diámetro a ( Por qué?) y la bisectriz del ángulo recto cortará a dicha circunferencia en el mismo punto que la mediatriz de a ( Por qué?). e) p 3 3 R f) h a + h b + h c r g) h a + h b + h c h) h a +h b +h c [ABC] R ab + bc + ca R (cosec α + cosec β + cosec γ) Ejercicio 6 En un paralelogramo con ángulo agudo 30 o y el cociente entre la longitud de las diagonales es 3 + halla el cociente entre las longitudes de los 3 lados. Ejercicio 7 Demuestra que en cualquier triángulo se tiene que: cos α + cos β + cos γ + r R Ejercicio 8 En un triángulo ABC, a 0, β 60 o y γ 45 o. Halla r, la longitud de la bisectriz b β y la longitud de la mediana m a 4

5 Ejercicio 9 Un rombo de ángulo agudo α es circunscrito en una circunferencia de radio r. Halla el área del rombo en función de α y r. Ejercicio 30 (*) Consideremos un triángulo ABC, en este ejercicio vamos a demostrar que si d es la distancia entre su incentro y su circuncentro, entonces se cumple que d R Rr. Para ello vamos a necesitar algún resultado extra. a) Demuestra que si la bisectriz del ángulo α corta a la circunferencia circunscrita en P, entonces se cumple que PB PI PC (demuestra que el triángulo PCI es isósceles). b) Sea una circunferencia Γ y un punto P arbitrario. Supongamos dos rectas r y r que pasan por P y cortan a Γ en A y B y C y D respectivamente. Demuestra que se cumple que PA PB PC PD (demuestra primero que los triángulos APD y CPB son semejantes, el resultado es una consecuencia inmediata). Al número PA PB lo llamaremos potencia de P respecto de Γ, Pot(P; Γ). Por lo que hemos visto arriba da el mismo valor para cualquier recta que tomemos que pase por P y corte a Γ, luego es independiente de la recta que consideremos. Consideremos ahora un triángulo ABC, con I su incentro, O su circuncentro, d la distancia entre los dos y Γ la circunferencia circunscrita. c) Demuestra, considerando DE, que Pot(I, Γ) (R + d) (R d) d) Demuestra, considerendo la bisectriz b α, que Pot(I, Γ) IA IP donde P es el otro punto de corte de b α con Γ. e) Demuestra que PB R sen α f) Si llamamos F al punto de tangencia de la circunferencia inscrita con el lado c, demuestra que se tiene que IA r sen α g) Utilizando todo lo anterior deduce que d R Rr h) Como consecuencia de lo anterior, deduce otra vez que R r 5

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