SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE

Transcripción

1 Pág. 1 Página 144 Observando con atención las fotografías y los objetos que aparecen en este taller de Geometría, podrás encontrar, repetidos en diferentes tamaños, todos los polígonos que aparecen a continuación. Relaciona cada uno de ellos con las figuras reales en las que aparecen. Torre alón Logotipo del metro aja aja Puente Puente y cubo sobre la mesa alón y panel de avispas Escultura que hay delante de la torre Página uánto miden estos ángulos? Razona tu respuesta. 40 (opuestos por el vértice) D 40 (correspondientes) F 40 (alternos eternos) F^ E^ G^ D^ ^ ^ ^ (opuestos por el vértice) E 140 (correspondientes) G 140 (alternos eternos) En un decágono regular (10 lados), calcula la suma de todos sus ángulos, y las amplitudes de uno de sus ángulos y de su ángulo central. Suma 180 (10 ) Ángulo Ángulo central

2 Pág. Página Dibuja un triángulo de lados 8 cm, 10 cm y. Traza sus mediatrices, halla su circuncentro y dibuja la circunferencia circunscrita. m c 8 cm m b IRUNENTRO 10 cm IRUNFERENI IRUNSRIT m a En un triángulo igual al anterior, halla el incentro y la circunferencia inscrita. Justifica que el incentro equidista de los tres lados. 8 cm b c INENTRO IRUNFERENI INSRIT b b 10 cm b a Justificación de que el incentro equidista de los tres lados: Las bisectrices b a y b b se cortan en el incentro. Por pertenecer a b a, el incentro está a igual distancia del lado que del lado. Por pertenecer a b b, el incentro está a igual distancia del lado que del lado. Por tanto: El incentro está a igual distancia de que de que de ; es decir, equidista de los tres lados. (demás, el incentro también pertenece a la bisectriz b c, por equidistar de los lados y ).

3 Pág. 3 Página Dibuja un triángulo de lados 8 cm, 10 cm y. Traza sus medianas y comprueba, midiendo, que la distancia del baricentro a cada vértice es doble que al punto medio del correspondiente lado opuesto. 8 cm m c,4 cm 5,,8 cm m a 1,7 cm 3,4 cm 10 cm m b RIENTRO 4,8 cm La distancia del baricentro a cada vértice es doble que al punto medio del correspondiente lado opuesto. 4 Halla, dibujando sus alturas, el ortocentro de un triángulo acutángulo, de uno obtusángulo y de uno rectángulo. omprobarás que en el primero está dentro del triángulo, en el segundo, fuera, y en el tercero, en el vértice del ángulo recto. Triángulo acutángulo Triángulo rectángulo Triángulo obtusángulo ORTOENTRO ORTOENTRO ORTOENTRO Página En los siguientes triángulos rectángulos, se dan dos catetos y se pide la hipotenusa (si su medida no es eacta, dala con una cifra decimal): a) 37 cm y 45 cm b) 1 y 30 cm a) plicamos el teorema de Pitágoras: a cm a 45 cm a a a ,3 cm b) a a a a 1 a cm 30 cm

4 17 Pág. 4 En los siguientes triángulos rectángulos, se da la hipotenusa y un cateto, y se pide el otro cateto (eactamente o con una cifra decimal): a) 37 cm y 45 cm b) 15 cm y 39 cm a) plicamos el teorema de Pitágoras: 45 b + 37 b 45 cm 37 cm 05 b b b 656 b 656 5, b) 39 b b cm 15 cm b b b 1 96 b Página verigua cómo son los triángulos de lados: a) 49 m, 18 m y 5 m. b) 44 cm, 17 cm y 39 cm. a) a + b c a + b > c Triángulo acutángulo b) a + b c a + b < c Triángulo obtusángulo 4 Halla el área de los triángulos de lados: a) 49 m, 18 m y 5 m. b) 44 cm, 17 cm y 39 cm. a) plicamos el teorema de Pitágoras 49 m h 18 m en cada uno de los dos triángulos rectángulos: 5 49 h + (5 ) 5 m 18 h + h 49 (5 ) h 18

5 Pág (5 ) ( ) ,03 m 6,03 m h ,36 87,64 h 87,64 Área base h 5 16,96 440,96 m 16,96 m b) plicamos el teorema de Pitágoras en cada uno 39 cm 17 cm de los dos triángulos rectángulos: h h + (44 ) h 39 (44 ) 44 cm 17 h + h (44 ) ( ) cm 88 h h 5 15 cm Área base h cm Página Las diagonales de un rombo miden 1 y 30 cm. Halla la longitud de su lado. 8 cm l 15 cm plicamos el teorema de Pitágoras: l l l 89 l cm La diagonal de un estadio rectangular mide 10 m, y uno de sus lados, 90 m. Halla el otro lado. 10 m 90 m plicamos el teorema de Pitágoras: m

6 Pág. 6 3 La altura de un trapecio isósceles mide 1 y sus bases, 5 dm y 3 dm. Halla la longitud de los dos lados iguales, aproimando hasta los milímetros. 3 dm 5 3 dm : 1 dm plicamos el teorema de Pitágoras: 1,6 dm 1 dm 1,6 + 1, ,56 3,56 1,89 dm 1,89 dm 189 mm Página 15 1 Una circunferencia tiene un radio de. Trazamos una recta a 10 cm de su centro. Halla la longitud de la cuerda que determina la recta en la circunferencia. 10 cm plicamos el teorema de Pitágoras: cm 48 cm mide la cuerda El segmento tangente desde un punto P a una circunferencia de centro O mide 55 cm. La distancia de P a O es 60 cm. uál es el diámetro de la circunferencia? P 55 cm 60 cm r O plicamos el teorema de Pitágoras: 60 r r r r 575 r 575 3,98 cm Diámetro r 3,98 47,9 Página Los radios de dos circunferencias son r 1 10 cm y r. La distancia entre sus centros, 1 cm. a) Halla el segmento de tangente común eterna. b) Halla el segmento de tangente común interna.

7 Pág cm d 1 cm t 1 t a) plicamos el teorema de Pitágoras: 4 cm 1 t t t t , b) plicamos el teorema de Pitágoras: 1 t 1 t 1 1 cm t 1 t t + 56 t t cm t ,60 cm 4 Tenemos dos circunferencias de radios 8 cm y 3 cm, respectivamente, con un segmento tangente común eterno que mide 1 cm. alcula la distancia entre sus centros y su segmento de tangente común interna. Distancia entre sus centros: 3 cm 1 cm 5 cm O 1 cm d 3 cm O' d d d cm Segmento de tangente común interna: O 8 cm 3 cm 13 cm t t O' 3 cm 13 t + 11 t t t 48 6,93 cm

8 Pág. 8 Página a) uál es la medida angular de cada uno de los seis arcos que un heágono regular determina en la circuferencia circunscrita? α γ β b) Halla el valor de los ángulos α, β y γ. a) El ángulo central, OD, mide 360 F 60, luego cada uno de los arcos, ) 6, F ), FE ) α α', ED ), D ), y ) O mide también 60. γ E b) α es un ángulo inscrito en la circunferencia, β por tanto, α D ) D α 30 β es el ángulo recto de un triángulo rectángulo β 90 El segmento FE es paralelo al segmento D, y el segmento FD es paralelo al segmento. sí, α α'. Entonces: γ 90 + α' a) uál es la medida angular de cada uno de los cinco arcos que un pentágono regular determina en la circunferencia circunscrita? α β γ b) Halla el valor de los ángulos α, β y γ. a) El ángulo central O mide ada uno de los cinco arcos mide 7. α β O β' β' γ b) omo 7 β 7 36 α + β 180 α Por otro lado, β' β. omo β' + γ γ 180 γ

9 Pág. 9 3 Halla: a) D ➀ b) D ➁ c) DV d) VD α D α V 100 D 40 a) D 40 0 b) D c) DV d) VD Halla: a) D ➀ b) D ➁ c) VD d) V α 100 α 1 V 40 D 100 D 40 a) D 40 0 b) D c) VD 180 ➀ ➁ d) V α Página Halla el área y el perímetro de las siguientes figuras, calculando previamente el elemento que falta: a b 17 m 15 m 15 m 15 m c 1 m 1 m 5, d 1 3 cm 6,9 cm 8 cm

10 Pág. 10 a) 15 m plicamos el teorema de Pitágoras para hallar : 17 m 15 m m Perímetro (15 + 8) 3 46 m Área b h m b) 4 m plicamos el teorema de Pitágoras para hallar h: 15 m h 15 m 15 h h m 1 m h h 81 9 m Perímetro (15 + 4) m Área b h m c) Llamamos a la mitad del lado y lo calculamos aplicando el teorema de Pitágoras: 5, l l 6,9 + 5,6 47, ,36 6,9 cm l l 47,61 31,36 16,5 16,5 4,03 cm lado 4,03 8,0 Perímetro 5l 5 8,06 40,30 cm Perímetro a Área 40,30 5,6 11,84 cm d) 1 Hallamos h aplicando el teorema de Pitágoras: 3 h h h h 3 cm h h , 8 cm 1 cm Perímetro ,6 86, Área (b + b') h (8 + 16) 19,6 431,64 cm

11 Pág. 11 Página Halla el área de las figuras coloreadas. a) 10 cm b) 4 cm 10 a) El área del círculo de 10 cm de diámetro es: S c10 π 5 5π 78,5 cm El área del círculo pequeño, que tiene cm de diámetro, es: S c π 1 π 3,14 cm El área de la elipse de semieje mayor 5 y semieje menor 3 es: S e π π 47,1 cm Entonces, el área sombreada es: S S c10 S c S e 5π π 15π 8π 5,1 cm b) El área del sector circular de de radio es: S s6 π π 37,68 cm 360 El área del sector circular de 4 cm de radio es: S s4 π π 16,73 cm Entonces, el área sombreada es: S S s6 S s4 1π 16 π 0 π 0,94 cm 3 3