IV Torneo Matemático Triangular Aragón La Rioja Navarra Tudela, 11 de marzo de 2017

Transcripción

1 IV Torneo Matemático Triangular Tudela, 11 de marzo de 017 lgunos usos de simetrías y reflexiones con la bisectriz como referencia IV Torneo Triangular 017

2 Índice Resultados conocidos Definiciones básicas Primeras consecuencias Distancias a puntos de tangencia Semejanzas con exinradios y alturas La bisectriz y la circunferencia circunscrita La bisectriz y cuadriláteros cíclicos IV Torneo Triangular 017

3 Resultados conocidos Definiciones básicas Primeras consecuencias Distancias a puntos de tangencia Semejanzas con exinradios y alturas La bisectriz y la circunferencia circunscrita La bisectriz y cuadriláteros cíclicos IV Torneo Triangular 017

4 Resultados conocidos (I) rco capaz, cuadriláteros cíclicos, teorema del seno ' O O D O 360 D Rsin ' Rsin Rsin IV Torneo Triangular 017

5 P Resultados conocidos (II) Potencia, ángulos semiinscritos W U U T O O PU VP, P P IV Torneo Triangular 017 V UP VP PU PV ( OP R)( OP + R) OP R V P TUV, WTV, WUT son semejantes WT WU WV UTW TVU TPU

6 Resultados conocidos (III) Teoremas del coseno y de Stewart D D ( ) D + D ( cos ) ( sin ) + + cos D D D + D + D D D cos D + D D cos D D + D D D IV Torneo Triangular 017

7 Resultados conocidos Definiciones básicas Primeras consecuencias Distancias a puntos de tangencia Semejanzas con exinradios y alturas La bisectriz y la circunferencia circunscrita La bisectriz y cuadriláteros cíclicos IV Torneo Triangular 017

8 lgunas definiciones básicas (I) isectriz de un ángulo isectrices de dos rectas IV Torneo Triangular 017

9 lgunas definiciones básicas (II) isectrices internas y externas IV Torneo Triangular 017

10 Resultados conocidos Definiciones básicas Primeras consecuencias Distancias a puntos de tangencia Semejanzas con exinradios y alturas La bisectriz y la circunferencia circunscrita La bisectriz y cuadriláteros cíclicos IV Torneo Triangular 017

11 Primeras consecuencias (I) Puntos a igual distancia de dos rectas P' r Q P P'' s Un punto está a la misma distancia de dos rectas no paralelas dadas, si y sólo si está en una de las bisectrices de los ángulos formados por éstas IV Torneo Triangular 017

12 Primeras consecuencias (II) Existencia de incentro d d I d Las bisectrices interiores de un triángulo coinciden en un punto, que es el centro de una circunferencia tangente a los tres lados. IV Torneo Triangular 017

13 Primeras consecuencias (III) Existencia de exincentros d d d I a Las bisectrices exteriores de dos ángulos del triángulo, y la bisectriz interior del tercero, coinciden en un punto, que es el centro de una circunferencia, tangente a un lado y a las prolongaciones de los otros dos. IV Torneo Triangular 017

14 Primeras consecuencias (IV) Teorema de la bisectriz (I) Usando el teorema del seno D sin D sin D sin D sin D D D D c b D D ca b + c ba D b + c La bisectriz de un ángulo divide al lado opuesto en dos segmentos, que están en relación de proporcionalidad directa con los lados adyacentes. IV Torneo Triangular 017

15 Primeras consecuencias (V) Teorema de la bisectriz (II) Usando el teorema de Stewart D D + D bc bca ( b + c) bc ( b + c) ( b + c) D D a plicando el teorema del coseno D D cos 1+ cos b c 4b c ( b + c) ( b + c) bc D cos b + c IV Torneo Triangular 017

16 Ejemplo de aplicación (1) Problema 3, OME 007 (Solución 1) Sea O el circuncentro de un triángulo. La bisectriz que parte de corta al lado opuesto en P. Probar que se cumple P +O OP bc. Solución: O La potencia de P respecto a la circunferencia circunscrita a es R OP O OP P P P P + P Usando el teorema de Stewart P + + P P bc R OP bc O OP IV Torneo Triangular 017

17 Primeras consecuencias (VI) Simétricos del ortocentro respecto de los lados H b Por ser cada altura perpendicular al lado opuesto H H 90 Luego H c H H a H a H H H a El simétrico del ortocentro H de, respecto de cada lado de este triángulo, está sobre la circunferencia circunscrita a. IV Torneo Triangular 017

18 Resultados conocidos Definiciones básicas Primeras consecuencias Distancias a puntos de tangencia Semejanzas con exinradios y alturas La bisectriz y la circunferencia circunscrita La bisectriz y cuadriláteros cíclicos IV Torneo Triangular 017

19 Distancias a puntos de tangencia (I) ircunferencia inscrita I x x y z c y x b x z a z y V W IV Torneo Triangular 017 La distancia desde el vértice a los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con los lados, es (b+c a)/. y z z a c b x + U

20 Ejemplo de aplicación () Problema, Ibero 1990 En el triángulo, sea I el centro de la circunferencia inscrita, y D, E, F sus puntos de tangencia con los lados,, respectivamente. Sea P el otro punto de intersección de la recta D con la circunferencia inscrita, y M el punto medio de EF. Demuestra que P, I, M, D están alineados o son concíclicos. Solución: F P M I E El triángulo EF es isósceles en, luego la bisectriz de y la altura desde en EF coinciden, y M está en I. omo ME y EI son semejantes, usando la potencia de respecto de la circunferencia inscrita se tiene D M I E P D IV Torneo Triangular 017

21 Distancias a puntos de tangencia (II) ircunferencias exinscritas U x y a y x y b x c c b a x + b a c y + IV Torneo Triangular 017 La distancia desde el vértice a los puntos de tangencia de la circunferencia exinscrita opuesta, con las prolongaciones de los lados,, es (a+b+c)/. I a V W x y c b a x c y b

22 Distancias a puntos de tangencia (III) ircunferencias inscrita y exinscritas I U M V V U a + b c I a El punto de tangencia del lado con la circunferencia inscrita, y con la exinscrita opuesta a, son simétricos respecto del punto medio de. IV Torneo Triangular 017

23 Distancias a puntos de tangencia (IV) uadriláteros circunscriptibles x x T y W t r r D t r I r y V U + D x + y + z + t + D z z Un cuadrilátero convexo admite circunferencia inscrita si y sólo si las longitudes de dos lados opuestos suman lo mismo que las otras dos. IV Torneo Triangular 017

24 Resultados conocidos Definiciones básicas Primeras consecuencias Distancias a puntos de tangencia Semejanzas con exinradios y alturas La bisectriz y la circunferencia circunscrita La bisectriz y cuadriláteros cíclicos IV Torneo Triangular 017

25 Semejanzas con exinradios (I) U r I U b + c a V a + b + c Por semejanza de IU, I a V r U b + c a r a V a + b + c V r a I a 1 r a + 1 r b + 1 r c 1 r La suma de los inversos de los exinradios es igual al inverso del inradio. IV Torneo Triangular 017

26 Semejanzas con exinradios (II) ' V ' I U I a El vértice, el punto de tangencia del lado con la circunferencia exinscrita opuesta, y el punto diametrálmente opuesto al de tangencia de la circunferencia inscrita con, están alineados. IV Torneo Triangular 017

27 Semejanzas con exinradios (III) I U I a ' V El vértice, el punto de tangencia del lado con la circunferencia inscrita, y el punto diametrálmente opuesto al de tangencia de la circunferencia exinscrita opuesta con, están alineados. ' IV Torneo Triangular 017

28 Semejanzas con alturas Por semejanza de 'H a y I'T ' h a I' r I h r a h a I Usando conocidas relaciones para el área S de r H a T ' h a + b c a + r a Podemos expresar los cocientes entre distancias desde vértice a incentro y a pie de la bisectriz, en función de altura e inradio, luego en función de lados. IV Torneo Triangular 017

29 Ejemplo de aplicación (3) Problema 1, IMO 1991 Dado un triangulo, sea I el centro del círculo inscrito. Las bisectrices internas de los angulos,, cortan a los lados opuestos en ', ', ', respectivamente. Demostrar que 1 I I I 8 < 4 ' ' ' 7 Solución: Por el resultado anterior, I ' ha r h a S ar S b + c a + b + c y el problema es equivalente a 1 4 < ( a + b)( b + c)( c + a) 8 3 ( a + b + c) 7 Para la desigualdad de la izquierda, p a + b + c u p a v p b w p c p 3 p 3 < + ( p + u)( p + v)( p + w) ( uv + vw + wu) p + uvw IV Torneo Triangular 017

30 Resultados conocidos Definiciones básicas Primeras consecuencias Distancias a puntos de tangencia Semejanzas con exinradios y alturas La bisectriz y la circunferencia circunscrita La bisectriz y cuadriláteros cíclicos IV Torneo Triangular 017

31 La bisectriz y la circunferencia circunscrita (I) N MN 90 Luego MN es diámetro I d d M M M M Luego M está en la mediatriz de M Las bisectrices interna y externa del ángulo, cortan por segunda vez a la circunferencia circunscrita en dos puntos diametralmente opuestos, situados sobre la mediatriz de. IV Torneo Triangular 017

32 Ejemplo de aplicación (4) Problema 4, Ibero 009 Sea un triángulo con incentro I, y sea P el punto de intersección de la bisectriz exterior del ángulo con el circuncírculo de. La recta PI corta por segunda vez al circuncírculo de en el punto J. Pruebe que los circuncírculos de los triángulos JI y JI son respectivamente tangentes a I e I. P Solución: I Por ángulos semiinscritos, basta con demostrar que JP+ I180. Pero como PQ es mediatriz de, y diámetro de la circunferencia circunscrita, JP QP90 PQ 90 Q. Luego JP(+)/ 180 I. J Q IV Torneo Triangular 017

33 La bisectriz y la circunferencia circunscrita (II) N + IM I + M I IM 180 IM M + IM d Luego IM es isósceles en M d d M M IM M El segundo punto de corte de la bisectriz de con la circunferencia circunscrita es centro de una circunferencia que pasa por, y el incentro I. IV Torneo Triangular 017

34 La bisectriz y la circunferencia circunscrita (III) Fórmula de Euler para el triángulo N Los triángulos MN y IU son semejantes U I IM M IU MN I Rr I I IM Rr M La potencia del incentro respecto a la circunferencia circunscrita es Rr. La distancia entre incentro y circuncentro cumple OI R Rr. IV Torneo Triangular 017

35 Resultados conocidos Definiciones básicas Primeras consecuencias Distancias a puntos de tangencia Semejanzas con exinradios y alturas La bisectriz y la circunferencia circunscrita La bisectriz y cuadriláteros cíclicos IV Torneo Triangular 017

36 isectriz y cuadriláteros cíclicos (I) P Los triángulos PD y P son semejantes D El triángulo PD se puede obtener como sigue: se refleja el triángulo P sobre la bisectriz de P, y se amplía con factor de escala PD/PP/P. IV Torneo Triangular 017

37 Ejemplo de aplicación (5) Problema G4, lista corta IMO 009 Dado un cuadrilatero cíclico D, sean E el punto de interseccion de las diagonales y D, y F el punto de intersección de las rectas D y. Los puntos medios de y D son G y H, respectivamente. Demuestra que EF es tangente a la circunferencia circunscrita al triangulo EGH. D Solución: F U G E H V Obtenemos U reflejando y escalando ED. l ser E y DE semejantes, G es punto medio de UE. De forma similar obtenemos V y H es punto medio de EV. omo U y V se obtienen reflejando y escalando EF, UV es simétrica de EF respecto de la bisectriz de F. omo EV y EU se obtienen una de otra por reflexión y escalado, EHG EVF FEU. IV Torneo Triangular 017

38 isectriz y cuadriláteros cíclicos (II) Simetría de H y O respecto de la bisectriz de F H E O Trazando el círculo de diámetro que corta a, en F, E, se tiene que E F90, luego E, F son los pies de las alturas desde,. demás EF se obtiene a partir de por reflexión y escalado. omo O es isósceles en O, D 1 O 90 O 90 H El triángulo formado por los pies de las alturas desde,, y el vértice, forman un triángulo que se obtiene de por reflexión y escalado. Esa misma transformación convierte la recta H en la recta O. IV Torneo Triangular 017

39 Ejemplo de aplicación (6) Problema 3, OME 007 (Solución ) Sea O el circuncentro de un triángulo. La bisectriz que parte de corta al lado opuesto en P. Probar que se cumple P +O OP bc. Solución: plicando el teorema del coseno a OP, obtenemos: P + O OP R P cos OP O Q P omo OP QP, Pcos OPQ, Luego usando conocidas relaciones para el área S de, tenemos 4RS P + O OP R Q bc a IV Torneo Triangular 017

40 Ejemplo de aplicación (7) Problema 3, OME 016 Sea ' el punto diametralmente opuesto al vértice del triángulo en la circunferencia circunscrita, y sea 1 el punto en el que la recta ' corta al lado. La perpendicular a 1 trazada por 1 corta a los lados y (o a sus prolongaciones) en M y N, respectivamente. Demostrar que los puntos, M, ' y N están en una circunferencia cuyo centro se encuentra en la altura desde en el triángulo. Solución: ' '' M 1 O' IV Torneo Triangular 017 '' O 1 ' N El triángulo NM es el resultado de reflejar y escalar el triángulo. Por ese mismo escalado '' se convierte en '. plicamos a la circunferencia de ese escalado, y pasa por los 4 puntos pedidos. Su centro está en la simétrica de O respecto de la bisectriz

41 Ejemplo de aplicación (8-1) Problema 6, IMO 008 Sea D un cuadrilátero convexo con. Se sabe que existe un círculo Γ tangente a la semirrecta más allá de, a la semirrecta más allá de, y a las rectas D, D. Demostrar que las tangentes externas comunes de las circunferencias inscritas en y D, se cortan en un punto de Γ. Solución: Por las simetrías en los puntos de tangencia, T W ; PT PU ; DU DV ; VQ QW; T V; U W. P U D Z V Q + Luego D T T + W W + U DU V DV + D T IV Torneo Triangular 017 W

42 Ejemplo de aplicación (8-) Solución (cont.): X X' Y' Y + D + D X Y Los puntos, X', Y están alineados Los puntos D, X, Y' están alineados D Z Un escalado desde nos permite llevar X' al punto de Γ donde la tangente es paralela a Un escalado desde D nos permite llevar Y' al punto de Γ donde la tangente es paralela a En ese punto Z de Γ convergen X'Y, XY'. IV Torneo Triangular 017