MATEMÁTICAS 1º BACH. CC. N. Y S. 20 de octubre de 2008 Trigonometría. cotg

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1 MATEMÁTICAS º BACH. CC. N. Y S. 0 de octubre de 008 Trigonometría Atención: Los resultados serán válidos sólo cuando los razonamientos empleados se incluyan. Todos los problemas valen puntos. ) Sabiendo que > 90º y que tg /, calcular el resto de razones trigonométricas de sin usar la calculadora. Posteriormente, decir el valor de en grados, minutos y segundos, ayudándose de la calculadora. ) El punto más alto de una elevación se ve, desde un punto del suelo, bajo un ángulo de 60º. Alejándose 0 m en línea recta con la base de dicha elevación, se ve bajo un ángulo de 0º. Averiguar la altura de la elevación. ) Resolver un triángulo, del que conocemos a 4 m, b 7 m y A 0º. 4) Sin usar la calculadora, decir el valor de: a) tg 90º; b) sen ( 765º). cosec 5) Demostrar la siguiente identidad: sen cotg

2 MATEMÁTICAS º BACH. CC. N. Y S. 0 de octubre de 008 Trigonometría SOLUCIONES ) Sabiendo que > 90º y que tg /, calcular el resto de razones trigonométricas de sin usar la calculadora. Posteriormente, decir el valor de en grados, minutos y segundos, ayudándose de la calculadora. Si > 90º y tg > 0 está en el tercer cuadrante. Pues bien: Como tg 0 9 cos cos 9 cos 9 cos cos que estamos en el tercer cuadrante. Por otra parte, sen tg cos Las otras tres razones son: cosec sen 0 sec cotg cos tg sen 0 0 0, donde el signo se debe a sen Por último, como tg /, con la calculadora obtenemos que: 8,4º. Trasladándolo al tercer cuadrante: 80º + 8,4º 98,4º 98º 6 5,8 (Ver figura). ) El punto más alto de una elevación se ve, desde un punto del suelo, bajo un ángulo de 60º. Alejándose 0 m en línea recta con la base de dicha elevación, se ve bajo un ángulo de 0º. Averiguar la altura de la elevación. En el triángulo rectángulo cuyos catetos son x e y, deducimos: x x tg 60º x y tg 60º () y 0º 60º En el triángulo rectángulo cuyos catetos son x y 0 y 0+y, se tiene: 0º 0 y x (0 + y) tg 0º Igualando: y tg 60º (0 + y) tg 0º 0 tg 0º + y tg 0º y tg 60º y tg 0º 0 tg 0º 0 tg 0º y(tg 60º tg 0º) 0 tg 0º y 0 tg60º tg 0º Sustituyendo en (): x 0 tg 60º 7, m ) Resolver un triángulo, del que conocemos a 4 m, b 7 m y A 0º. Prof. Rogelio Mohigefer Examen 0/0/08 Página

3 Como conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, usamos el Teorema del Seno: a b b sen A 7 sen 0 sen B sen A sen B a 4 B 6,04º ó B 80º 6,04º 8,96º. Si B 6,04º C 80º 6,04º 0º 88,96º. Y además: a c a sen C 4 sen 88,96º c 8,00 m sen A sen C sen A sen 0º Si B 8,96º C 80º 8,96º 0º,04º. De modo que: a c a sen C 4 sen,04º c 4, m sen A sen C sen A sen 0º 4) Sin usar la calculadora, decir el valor de: a) tg 90º; b) sen ( 765º). Dividiendo 90 entre 60 se obtiene 5 de cociente y 0 de resto. Es decir: 90º 60º 5 + 0º. Luego 90º coincide, sobre la circunferencia, con 0º, después de dar 5 vueltas. Por tanto, tg 90º tg 0º. Además tg 90º tg 0º tg (80 60º) tg 60º De la misma forma, º 765º coincide con 45º, después de dos vueltas en sentido negativo. Y además, por tratarse de un ángulo del 4º cuadrante: sen( 765º) sen( 45º) sen(45º) cosec 5) Demostrar la siguiente identidad: sen cotg Usando que cosec y que cotg, tenemos: sen sen cosec sen sen sen cotg sen sen. Prof. Rogelio Mohigefer Examen 0/0/08 Página

4 MATEMÁTICAS º BACH. CC. N. Y S. de noviembre de 008 Trigonometría ) Resolver un triángulo del que se conocen: a 4, c 0 y A 0º. (,5 puntos) ) Demostrar que cos x sen x ( puntos) ) Resolver la ecuación: sen x + cos x + cos x 0 (,5 puntos) 4) Empleando las fórmulas que relacionan las distintas razones trigonométricas entre si, y sin usar calculadora, hallar las restantes razones de, sabiendo que tg 5/, 90º80º. Después, decir el valor de con ayuda de la calculadora. ( puntos) 5) Sin usar la calculadora, decir el valor de: a) tg 90º; b) sen ( 765º). ( punto)

5 MATEMÁTICAS º BACH. CC. N. Y S. de noviembre de 008 Trigonometría SOLUCIONES ) Resolver un triángulo del que se conocen: a 4, c 0 y A 0º. (,5 puntos) Por el T. de los senos: a c c sen A 0 sen 0 sen C sen A sen C a 4 C 58,76º ó C 80º 58,76º,º. Si C 58,76º B 80º A C 0,º. Y además: b a c accos B cos0,º,47 Si C,º B 80º A C 8,76º. De modo que: b a c accos B cos8,76º 7, Demostrar que cos x sen x ( puntos) cos x cos x sen x sen x ( + cos x) sen x sen x + cos x sen x + cos x sen x + sen x sen x cos x ) Resolver la ecuación: sen x + cos x + cos x 0 (,5 puntos) ( cos x) + cos x + cos x 0 cos x + cos x + cos x 0 cos x + cos x + 0 cos x cos x 0 que es una ecuación de segundo grado cuya incógnita es cos x: cos x x 80º 60º k, k Z ,5 que no es posible 4 4 ) Empleando las fórmulas que relacionan las distintas razones trigonométricas entre si, y sin usar calculadora, hallar las restantes razones de, sabiendo que tg 5/, 90º80º. Después, decir el valor de con ayuda de la calculadora. ( puntos) es del segundo cuadrante. +tg cos. Por otra parte: tg sen tg cos. cos cos 9 9 sen cos 4 4 Por tanto: cotg, sec 5 4, cosec 4. 5 Con la calculadora, usando que tg 5/, obtenemos que 59,0º. Pero tratándose de un ángulo del segundo cuadrante, el verdadero valor es 80º 59,0º: 0,97º. 4) Sin usar la calculadora, decir el valor de: a) tg 90º; b) sen ( 765º). ( punto) Dividiendo 90 entre 60 se obtiene 5 de cociente y 0 de resto. Es decir: 90º 60º 5 + 0º. Luego 90º coincide, sobre la circunferencia, con 0º, después de dar 5 vueltas. Por tanto, tg 90º tg 0º. Además tg 90º tg 0º tg (80 60º) tg 60º Prof. Rogelio Mohigefer Examen //08 Página

6 De la misma forma, º 765º coincide con 45º, después de dos vueltas en sentido negativo. Y además, por tratarse de un ángulo del 4º cuadrante: sen( 765º) sen( 45º) sen(45º). Prof. Rogelio Mohigefer Examen //08 Página

7 MATEMÁTICAS º BACH. C. N. Y S. de diciembre de 008 Trigonometría y Complejos ) Conociendo que cos / y que está en el cuarto cuadrante, hallar, sin usar calculadora, el resto de las razones trigonométricas de dicho ángulo. Posteriormente, con ayuda de la calculadora, decir cuánto vale el ángulo. ( puntos) ) Resolver un triángulo sabiendo que A96º, a m y b9 m ( puntos) ) Demostrar que tg(45º x) tg(45º x) tgx ( puntos) 4) Resolver la ecuación cosx 5cos x 6 ( puntos) 5) a) Hallar ( +i ) 5 ( punto) b) Hallar los cinco resultados de 5 4 ( punto)

8 MATEMÁTICAS º BACH. C. N. Y S. de diciembre de 008 Trigonometría y Complejos SOLUCIONES ) Conociendo que cos / y que está en el cuarto cuadrante, hallar, sin usar calculadora, el resto de las razones trigonométricas de dicho ángulo. Posteriormente, con ayuda de la calculadora, decir cuánto vale el ángulo. ( puntos) Como sen + cos sen cos sen 9 8 8, donde el signo negativo es por ser del cuarto cuadrante. Por tanto, tg sen cos. Con lo que: cotg ; sec 4 cosec 4 ; / Como cos / 70,5º. Pero considerando que es del 4º cuadrante, el resultado real es: 60º 70,5º 89,47º 89º 8 6. ) Resolver un triángulo sabiendo que A96º, a m y b9 m ( puntos) Por el T. de los senos: a b b sen A 9 sen 96º sen B sen A sen B a B 48,4º ó B 80º 48,4º,76º. Pero esta segunda solución no es válida, porque A + B > 80º, con lo que no puede completarse el triángulo. Entonces: C 80º A B 5,76º. Y además: a c a sen C sen 5,76º c 7,05 m sen A sen C sen A sen 96º ) Demostrar que tg(45º x) tg(45º x) tgx ( puntos) tg45º tg x tg45º tg x tg(45º x) tg(45º x) tg45º tg45º ( ) ( ) ( )( ) tg ( tg x 4 x) 4) Resolver la ecuación cosx 5cos x 6 ( puntos) cosx 5cos x 6 cos x sen x + 5 cos x 6 6 cos x ( cos x) 6 Prof. Rogelio Mohigefer Examen //08 Página

9 7 cos x 6 7 cos x 7 cos x cos x ±. En consecuencia: Si cos x x 80º + 60ºk, kz Si cos x x 0º + 60ºk, kz 5) a) Hallar ( +i ) 5 ( punto) Lo primero es pasar la base de la potencia a forma polar, para poder operar fácilmente. El módulo será Como arctg ( ) ( ). 60º, y el complejo está en el segundo cuadrante (pues su parte real es negativa, y la parte imaginaria positiva) 80º 60º 0º Por tanto, ( +i ) 5 ( 0º ) 5 ( 5 ) 5 0º º.768 0º.768 Ya que.800º 5 60º + 0º. b) Hallar los cinco resultados de 5 4 ( punto) Para empezar, es imprescindible poner el radicando en polares. Lo que es fácil: º pues el número está en la parte negativa del eje real. Entonces, las cinco raíces tendrán como modulo 5 4. Sus argumentos serán: 4 5 por lo que los resultados finales son: 80 6º 5 z 6º º + 6º + 7º 08º 5 5 z 08º º + 6º + 7º 80º 5 5 z 80º º + 6º + 7º 5º 5 5 z4 5º º + 4 6º + 7º 4 4º 5 5 z5 4º Prof. Rogelio Mohigefer Examen //08 Página

10 MATEMÁTICAS º BACH. C. N. Y S. de enero de 009 Trigonometría y Complejos (recuperación) ) Demostrar que tg a sen a + sen a tg a ( puntos) ) Resolver la ecuación sen x cos x ( puntos) ) Resolver un triángulo sabiendo que a 5 cm, b 4 cm y C 47º (ángulo comprendido) ( puntos) 4) a) Calcular cos 05º sin utilizar la calculadora, expresando 05º en función de otros ángulos cuyas razones trigonométricas sean conocidas. ( punto) b) Sin usar la calculadora, hallar cos 70º. ( punto) 5) a) Dado z i, calcular z 4 ( punto) b) Calcular las raíces cúbicas de en el conjunto de los complejos ( punto)

11 MATEMÁTICAS º BACH. C. N. Y S. de enero de 009 Trigonometría y Complejos (recuperación) SOLUCIONES ) Demostrar que tg a sen a + sen a tg a ( puntos) tg a sen a cos a cos a + sen a tg a + sen a tg a + sen a sen a tg a ( cos a) + sen a tg a tg a cos a + sen a tg a cos a + sen a cos a tg a sen a + sen a tg a ) Resolver la ecuación sen x cos x ( puntos) sen x cos x sen x cos x cos x sen x cos x cos x 0 (cos x)(sen x ) 0 Como un producto vale cero si, y sólo si alguno de los factores es cero, se tienen dos posibilidades: a) cos x 0 x 90º + 60ºk ó x 70º + 60ºk (que pueden escribirse en una sola fórmula como x 90º + 80ºk), kz. x 0º 60º k ó b) sen x 0 sen x sen x ½ kz. x 50º 60º k ) Resolver un triángulo sabiendo que a 5 cm, b 4 cm y C 47º (ángulo comprendido) ( puntos) Por los datos que tenemos, hemos de utilizar el teorema del coseno: c a + b ab cos C cos 47º c,70 m Según el T. del seno: a c a sen C 5 sen 47º sen A A 80,8º ó A 80º 80,8º 99,7º. sen A sen C c,70 En principio, ambas soluciones serían válidas, porque sumadas con el ángulo C no llegan a 80º, por lo que podría existir B en ambos casos. Sin embargo, cuando un problema de este tipo se puede comenzar con el Teorema del coseno, sólo hay una solución válida. Como no tenemos forma de saber cuál de las dos es la correcta, desechamos el procedimiento y recalculamos A usando el teorema del coseno: a b + c bc cos A 5 6 +,70 4,70 cos A 5 6,70 cos A A 80,8º 80º ,70 Por tanto, B 80º A C 5,7º 5º 9 55,8. 4) a) Calcular cos 05º sin utilizar la calculadora, expresando 05º en función de otros ángulos cuyas razones trigonométricas sean conocidas. ( punto) cos 05º cos (60º+45º) cos 60º cos 45º sen 60º sen 45º 4 6. Prof. Rogelio Mohigefer Examen //09 Página

12 b) Sin usar la calculadora, hallar cos 70º. ( punto) Dividiendo 70º entre 60º, se tiene que 70º 6 60º + 0º. Es decir, que tras 6 vueltas completas, 70º se sitúa en el mismo lugar de la circunferencia que 0º. Razonando sobre la circunferencia trigonométrica, tendremos, por tanto: cos 70º cos 0º cos (0º 80º) cos 0º 5) a) Dado z i, calcular z 4 ( punto) Pasamos z a polares. z ( ) ( ) ( ) ( ) Como arctg arctg 60º, pero estamos en el tercer cuadrante, al ser negativas la parte real y la imaginaria 40º. Luego: z 4 (4 40º ) 4 (4 4 ) 40º 4 (4 4 ) 60º (4 4 ) 0º º puesto que 60º 60º 9 + 0º. b) Calcular las raíces cúbicas de en el conjunto de los complejos ( punto) Comenzamos escribiendo en polares. Como su afijo está en la parte negativa del eje real 80º. Luego nos piden todas las soluciones de 80 º. Pues bien, el módulo de las tres soluciones será:. Y sus argumentos: 80º 60º 0 60º z 60º 80º 60º 80º 60º 60º + 0º 80º z 80º 80º 60º 80º 60º 60º + 0º 00º z 00º Prof. Rogelio Mohigefer Examen //09 Página

13 MATEMÁTICAS º BACH. C. N. Y S. 6 de Marzo de 009 Trigonometría y Complejos (Recuperación) ) Empleando las fórmulas que relacionan las distintas razones trigonométricas entre si, y sin usar calculadora, hallar las restantes razones de a, sabiendo que tg a /4, 70º a 60º. Después, decir el valor de a con ayuda de la calculadora. ( puntos) cosec x ) Demostrar que co ( puntos) ) Resolver un triángulo sabiendo que a 0, b y c 7. ( puntos) 4) Resolver: 4 cos x sen x ( puntos) 5) a) Dado z i, calcular z ( punto) b) Calcular las raíces cúbicas de 7 en el conjunto de los complejos ( punto)

14 MATEMÁTICAS º BACH. C. N. Y S. 6 de Marzo de 009 Trigonometría y Complejos (Recuperación) SOLUCIONES ) Empleando las fórmulas que relacionan las distintas razones trigonométricas entre si, y sin usar calculadora, hallar las restantes razones de a, sabiendo que tg a /4, 70º a 60º. Después, decir el valor de a con ayuda de la calculadora. ( puntos) es del cuarto cuadrante + tg cos. cos cos sen 4 Por otra parte: tg sen tg cos. cos Por tanto: cotg 4, sec 5 5, cosec 4. Con la calculadora, usando que tg /4, obtenemos que: 6,87º 6,87º + 60º,º º 7 48,4. cosec x ) Demostrar que co sen x cosec x cos x sen x cos x sen x cos x cos x cos x cos x sen x cos sen x x co ( puntos) ) Resolver un triángulo sabiendo que a 0, b y c 7. ( puntos) Como conocemos los tres lados, empezamos aplicando el Teorema del coseno: a b + c b c a 7 0 bc cos A cos A A 5,87º bc 7 Con la calculadora, las operaciones son: nd cos - ( ( x + 7 x 0 x ) ( x x 7 ) ) STO A, donde la última operación es guardar el resultado en la memoria A para su uso posterior. Para no tener problemas con los dos resultados que produce el uso del Teorema del Seno, aplicamos directamente el del Coseno para el cálculo de otro de los ángulos: c a + b a b c 0 7 ab cos C cos C C 47,89º ab 0 El uso de la calculadora es similar, salvo que guardamos el resultado en la memoria C. Por último, B 80º (A + C) 06,º Que, con calculadora, es así: 80 ( MEMVAR A + MEMVAR C ). 4) Resolver: 4 cos x sen x ( puntos) 4 cos x sen x 4(cos x sen x) sen x 0 4 cos x 4 sen x sen x 0 4 ( sen x) 4 sen x sen x sen x 4 sen x sen x 0 8 sen x sen x sen x + sen x 0 Prof. Rogelio Mohigefer Examen 6//09 Página

15 sen x 4 4 8() x 0º 60º k ó 0,5 x 50º 60º k x 8,59º 60º k 0,75 x,4º 60º k ó 5) a) Dado z i, calcular z ( punto) Pasamos z a polares. z ( ) ( ) ( ) ( ) Como arctg arctg 60º, pero estamos en el tercer cuadrante, al ser negativas la parte real y la imaginaria 40º. Luego: z (4 40º ) (4 ) 40º (4 ) 0º (4 ) 40º º puesto que 60º 60º º. b) Calcular las raíces cúbicas de 7 en el conjunto de los complejos ( punto) Comenzamos escribiendo 7 en polares. Como su afijo está en la parte negativa del eje real º. Luego nos piden todas las soluciones de 780 º. Pues bien, el módulo de las tres soluciones será: 7. Y sus argumentos: 80º 60º 0 60º z 60º 80º 60º 80º 60º 60º + 0º 80º z 80º 80º 60º 80º 60º 60º + 0º 00º z 00º Prof. Rogelio Mohigefer Examen 6//09 Página

16 MATEMÁTICAS º BACH. C. N. Y S. 8 de junio de 009 Trigonometría y Complejos (Recuperación) ) Demostrar que: cosec x ) Resolver: cos x + cos x 0 ) Resolver un triángulo del que conocemos a 6, b 8 y C 60º. 4) Calcular ( + i), dando el resultado final en forma polar, trigonómetrica, binómica y cartesiana. 5) Calcular las raíces sextas de i.