Problemas Tema 2 Solución a problemas de Trigonometría - Hoja 11 - Todos resueltos
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- Milagros Casado Roldán
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1 Problemas Tema : Solución a problemas de Trigonometría - Hoja 11 - Todos resueltos página 1/6 Problemas Tema Solución a problemas de Trigonometría - Hoja 11 - Todos resueltos Hoja 11. Problema 1 1. Demuestra la siguiente igualdad cotg (x) cos (x)=cotg (x) cos (x). Expresamos la cotangente como cociente entre coseno y seno. cos (x) sen (x) cos ( x)= cos (x) cos (x) sen ( x) Operamos. cos ( x) sen (x) cos (x) = cos4 ( x) sen (x) sen (x) En el numerador del término de la izquierda sacamos factor común de coseno cuadrado. cos ( x)[1 sen (x)] = cos4 (x) sen (x) sen ( x) De la relación fundamental 1 sen (x)=cos (x) Sustituimos. cos ( x) cos ( x) = cos4 ( x) sen (x) sen ( x) cos 4 (x) sen (x) = cos4 (x) sen (x) c.q.d.
2 Problemas Tema : Solución a problemas de Trigonometría - Hoja 11 - Todos resueltos página /6 Hoja 11. Problema. Resuelve 4 sen (x)+ cos(x)=4. Usamos la relación fundamental para expresar sen ( x)=1 cos (x). 4 (1 cos (x))+ cos(x)=4 4 4 cos (x)+ cos(x)=4 4 cos (x)+ cos(x)=0 cos (x)+cos(x)=0 Sacamos factor común de coseno. cos(x)[ cos( x)+1]=0 Igualamos cada factor a cero. cos(x)=0 x=90º, 70º,... x=90º +180º k, k Z cos(x)+1=0 cos(x)= 1 x=60º +60º k,k Z, x=00º +60º k,k Z
3 Problemas Tema : Solución a problemas de Trigonometría - Hoja 11 - Todos resueltos página /6 Hoja 11. Problema. Sabiendo que cos(α)= 1 y sen(α)= obtener: a) α b) cos( α) (No usar la calculadora. Dejar resultado en forma fraccionaria) c) tg ( α) (No usar la calculadora. Dejar resultado en forma fraccionaria) a) Coseno negativo y seno negativo genera un ángulo del tercer cuadrante. Usando la calculadora α=109,47º pertenece al segundo cuadrante. 180º 109,47º =70,5 º Por lo tanto, en el tercer cuadrante 180º+ 70,5º =50,5 º del tercer cuadrante. b) cos( α)=cos (α) sen (α)=( 1 ) ( ) = = 7 9 tg (α) c) tg (α)= 1 tg (α), tg (α)= sen(α) cos(α) = 1 = tg (α)= 1 ( ) = 4 =
4 Problemas Tema : Solución a problemas de Trigonometría - Hoja 11 - Todos resueltos página 4/6 Hoja 11. Problema 4 4. Obtener la distancia AB en la siguiente figura sabiendo que α<90º. Si en el triángulo ADB conseguimos el valor del vértice D y el valor del lado AD podremos aplicar el teorema del coseno para obtener la longitud AB. En el triángulo ACD podemos aplicar el teorema del seno: 5,8 sen(15º) = AD sen(0,96 º ) 5,8 sen(0,96 º ) AD= sen(15º) AD 4,4... En el triángulo CDB podemos aplicar el teorema del seno: sen(1,4º ) = 6,71 sen(α) 6,71 sen(1,4º) sen(α)= sen( α)=0,768 α 50,1º Donde hemos considerado el dato del enunciado α< 90º. En el triángulo CDB el vértice D=180º (50,1º +1,4 º )=116,55 º En el triangulo ADB el vértice D=60º 116,55 º 15º=108,45 º Y podemos aplicar el teorema del coseno en el triángulo ADB para obtener AB. (AB) =(6,71) +(4,4) 6,71 4,4 cos(108,45º ) (AB) =81 AB=9
5 Problemas Tema : Solución a problemas de Trigonometría - Hoja 11 - Todos resueltos página 5/6 Hoja 11. Problema 5 5. Resuelve sen(x)+cos x sen x=4 sen x. De la relación fundamental cos (x)=1 sen (x). Sustituimos. sen(x)+1 sen x sen x=4 sen x sen(x)+1 sen x=4 sen x 6 sen x sen(x) 1=0 Resolvemos la ecuación de segundo grado. sen( x)= 1± 1+4 = 1±5 1 1 sen( x)= 1, sen( x)= 1 sen( x)= 1 sen( x)= 1 x=0º +60º k,k Z, x=150º +60º k,k Z x= 19,47º=40,5º+60º k,k Z, x=199,47 º +60ºk, k Z
6 Problemas Tema : Solución a problemas de Trigonometría - Hoja 11 - Todos resueltos página 6/6 Hoja 11. Problema 6 6. Resuelve de manera razonada. No utilizar calculadora y dejar el resultado final en forma fraccionaria. a) Obtener cos(15º) utilizando el dato cos(45º)= b) Obtener cos(10º) utilizando el dato sen(0º)= 1.. c) Obtener cos(10º) utilizando el dato sen(0º)= 1. a) 15º=180º 45º La proyección de 15º sobre el eje horizontal, en la circunferencia goniométrica, es igual en valor absoluto a la proyección de 45º sobre el eje horizontal y cambiado de signo. Por lo tanto: cos(15º)= cos(45º)= b) 10º=90º+0º La proyección de 10º sobre el eje horizontal, en la circunferencia goniométrica, es igual en valor absoluto a la proyección de 0º sobre el eje vertical y cambiado de signo. Por lo tanto: cos(10º)= sen(0º)= 1 c) sen(0º)= 1 cos(0º)= 1 ( 1 ) = La proyección de 10º sobre el eje horizontal, en la circunferencia goniométrica, es igual en valor absoluto a la proyección de 0º sobre el eje horizontal y cambiado de signo. Por lo tanto: cos(10º)= cos(0º)=
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