TRIGONOMETRÍA. Razones trigonométricas :

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1 Razones trigonométricas : TRIGONOMETRÍA B B' α O A A' senα = AB/OB=A'B'/OB' cosα = OA/OB=OA'/OB' tgα = AB/OA = A'B'/OA' cotgα = OA/AB = OA'/A'B' secα = OB/OA = OB'/OA' cosecα = OB/AB = OB'/A'B' Relación entre las razones trigonométricas : tgα = senα/cosα cotgα = cosα/senα = /tgα secα = /cosα cosecα = /senα sen α + cos α = tg α + = sec α cotg α + = cosec α Signo de las razones trigonométricas : senα cosα Reducción al primer cuadrante : sen(80-x)=senx cos(80-x)=-cosx sen(80+x)=-senx cos(80+x)=-cosx sen(60-x)=-senx cos(60-x)=cosx sen(90-x)=cosx cos(90-x)=senx sen(90+x)=cosx cos(90+x)=-senx sen(70-x)=-cosx cos(70-x)=-senx sen(70+x)=-cosx cos(70+x)=senx sen(-x)=-senx cos(-x)=cosx Razones trigonométricas de adición : sen(x+y) = senxcosy + senycosx sen(x-y) = senxcosy - senycosx cos(x+y) = cosxcosy - senxseny cos(x-y) = cosxcosy + senxseny Fórmulas del ángulo doble : senx = senxcosx cosx = cos x - sen x

2 Fórmulas del ángulo mitad : x + cosx cos = x sen = cosx Transformación de sumas en productos : x + y x y sen x + sen y = sen cos x y x + y sen x sen y = sen cos x + y x y cosx + cos y = cos cos x + y x y cosx cos y = sen sen Tª del seno : a sen A b c = = =r sen B sen C Tª del coseno : a = b + c - b c cosa Fórmulas de Briggs y Herón : (siendo a+b+c=p) A (p c)(p b) sen = b c A cos S = = p(p a) b c p(p a)(p b)(p c)

3 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Núm Concepto Observaciones Pasar de grados a radianes Pasar de radianes a grados Mediante una regla de tres (sabiendo que 60º valen A rad.) Mediante una regla de tres (sabiendo que 60º valen A rad.) a) Si el ángulo está en grados: Reducir ángulos al primer giro Se divide entre 60º y se calcula el resto de la división. b) Si el ángulo está en radianes: Se divide entre A y se calcula el resto de la división. Definiciones de seno, coseno y tangente en un ángulo agudo (triángulo rectángulo). 4 Conocimientos previos: A) Teorema de Pitágoras B) La suma de los ángulos de un triángulo es de 80º. Definiciones de cosecante, secante y cotangente Las inversas de las funciones anteriores 6 Propiedades en un ángulo agudo Razones trigonométricas de los ángulos de 0º,0º, 4º, 60º y 90º Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera (circunferencia) Signos de las razones trigonométricas en cada cuadrante Conviene sabérselas de memoria. (Cuadro del final) Saber dibujar el ángulo y localizar los cuadrantes 0 Propiedades en un ángulo cualquiera

4 Determinación de ángulos a) gráficamente b) numéricamente (con calculadora) Relación entre las razones trigonométricas de ángulos de diferente cuadrante. ELEMENTOS Resolución de triángulos rectángulos a) Suma de los ángulos de un triángulo (80º) b) Teorema de Pitágoras RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS c) Definiciones de las razones trigonométricas. ÁNGULOS MÁS IMPORTANTES DEL PRIMER CUADRANTE Grados 0º 0º 4º 60º 90º Radianes 0 rad A /6 rad A /4 rad A / rad A / rad RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA Núm Concepto Observaciones Parte primera: Identidades trigonométricas Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

5 Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos Razones trigonométricas del ángulo doble 4 Razones trigonométricas del ángulo mitad Transformaciones de sumas y diferencias en productos 7 Transformaciones de productos en sumas Parte II:

6 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL SENO TEOREMA DEL SENO Como ya sabes por la definición de las razones trigonométricas: h=bsena, y h=asenb luego bsena=asenb, de donde se obtiene una de las igualdades del teorema del seno: La otra se obtiene igual considerando otra de las alturas del triángulo. TEOREMA DEL COSENO DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL COSENO Observa que el triángulo ha quedado dividido en dos triángulos rectángulos.por el teorema de Pitagoras se tiene que a =(c-p) +h y h =b -p. Luego se obtiene a =(c-p) +h =(c-p) +b -p =c +p -pc+b -p =c +b - pc y como p=bcosa tenemos el teorema ACTIVIDADES () A qué altura estará volando un avión que es visto por dos observadores con una distancias de 00m entre ellos, si los ángulos de elevación son de 60º y 0º? () Un agricultor quiere vender la parcela de la figura. Cuánto obtendrá por ella sise la pagan a ptas. el m? () El piloto de un avión observa un punto del terreno con un ángulo de depresión de 0º. Dieciocho segundos más tarde, el ángulo de depresión obtenido sobre el mismo punto es de º. Si vuela horizontalmente y a una velocidad de 400 millas/hora, halla la altitud del vuelo. (4) La longitud de un hilo que sujeta una cometa es de metros. Si el ángulo de elevación de la cometa es de 0º, qué altura alcanza la cometa? () Un avión vuela a 0m de altura, y el piloto observa que el ángulo de depresión de un aeropuerto próximo es de º. Qué distancia le separa del mismo en ese instante? (6) Dos poblaciones A y B, están situadas en una carretera que va del norte al sur. Otra población C, a 0 km en línea recta de la carretera anterior, está situada a 0º suroeste de A y a 0º suroeste de B. Qué distancia separa a A de B?. Halla el valor del lado x en cada uno de los siguientes triángulos: h 0 m 40º 0 m a) 0 x 60º b) x 4º c) x 0º 0. Calcula los ángulos agudos que cumplen: i.sen = ii.tag = iii.cos = - 0

7 . Completa la siguiente tabla: Grados 0º 0º º Radianes 4/9 7/ 4. Determina las razones trigonométricas de los dos ángulos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide cm y uno de sus catetos mide cm.. Reduce al primer giro estos ángulos: i.90º ii.0º iii.7º iv.999º 6. Indica, sin calcular su valor, el signo de las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: i.79º ii.4º iii.-8º iv.-0º v./4 vi.7/ vii./4 c viii.4/ 7. Si cos =/6 y es un ángulo agudo, calcula: i.sen (90º ) ii.cos (80º - ) iii.cos (-) iv.sen ( 90 + ) 8. Si sen x = / y x pertenece al cuarto cuadrante, calcula cos x y tag x. 9. Si cos x =, qué se puede asegurar del ángulo x? 0. Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles falsas. Razona tu respuesta. i.un ángulo de 70º es un ángulo de dos vueltas y, uno de 60º, es un ángulo de una vuelta. ii.el ángulo de 00º se puede expresar así: 00º = vueltas + 0º iii.el seno de 00º es igual al seno del ángulo de 0º iv.el ángulo de 780º tiene el mismo seno que el ángulo de 60º (sen 780º = sen 60º) v.el seno de 90º es igual a vi.el coseno de 80º es igual a - vii.del triángulo rectángulo isósceles de la figura se obtiene que tag 4º = viii.el seno de un ángulo es siempre menor que. ix.si el sen =, el ángulo vale. x.si el seno de un ángulo agudo vale /, entonces el coseno es 4/. xi.si sen = /, entonces cos = c xii.como una circunferencia tiene radianes, resulta que 60º = radianes y 4º = /4 xiii.la figura del margen indica que sen = sen (80º - ) xiv.la figura del margen indica que sen (-) = sen xv.la figura del margen indica que cos (-) = - cos. Si el arc sen =, entonces = 4º Si la arc tag =, entonces = º. Para medir la altura de una montaña se obtuvieron las medidas de la figura adjunta. Si los dos puntos de observación están situados a 00 metros sobre el nivel del mar, qué altura alcanza la montaña? 4º 0º km 4. Un observador está situado a 70 metros de la cabeza de un tren de 80 m de longitud. Si el ángulo que forman las visuales hacia la cabeza y la cola del tren es de º, a qué tren distancia se encuentra la cola? 80m 70m º

8 ACTIVIDADES DE REFUERZO 7 Razones trigonométricas de ángulos agudos. Calcula la medida, en grados y radianes, de cada uno de los siguientes ángulos: a) El ángulo de un triángulo equilátero. b) Los ángulos de un rombo, uno de los cuales mide 0.. Utiliza la calculadora para hallar x en cada uno de los siguientes casos, determinando los ángulos agudos con una precisión de segundos y redondeando las razones angulares a las milésimas: x tan 0; cos x 0,7; x sen 7; x cos ; sen x 0,8; tan x 7,. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide cm, y uno de sus catetos, cm. Halla las razones trigonométricas del ángulo opuesto al cateto menor y el área del triángulo. Haz un dibujo explicativo de los cálculos realizados. 4. Las rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior, que dista del centro 0 m, forman un ángulo de 48. Teniendo en cuenta que las rectas tangentes son perpendiculares a los radios en el punto de tangencia, halla el área del círculo. Haz un dibujo aproximado que te ayude en tus cálculos.. Calcula el valor de las razones desconocidas del ángulo agudo en los siguientes casos: 4 a) sen h 0,8 b) cos h c) tan h 6. Si x es un ángulo agudo, simplifica todo lo que sea posible las siguientes expresiones: cos x cos x cos x sen x A B sen x sen x sen x cos x 7. Las medidas, en metros, de las diagonales de un rombo son proporcionales a los números 6 y 8. Con esos datos, halla los dos ángulos del rombo. Haz un dibujo que te ayude a resolver el problema. 8. Se observa la copa, D, deunárbol desde un punto, B, del suelo, bajo un ángulo de 0. El punto B dista 8 m del pie, A, del árbol. Cuál es su altura? A qué distancia d del punto B en la línea AB tendríamos que situarnos para observar su copa desde un punto C con un ángulo de 0? D h C 0 0 B d 8 m A 9. En la figura, el ángulo Ap es de 90, y los segmentos AD y DC tienen la misma medida. Son iguales los ángulos y? Razona tu respuesta. C B β α D A 0. En el paralelogramo ABCD, calcula la medida de la diagonal BD yelárea del paralelogramo. D C 6 m h 0 D' A 8 m B Gauss 4. o ESO - Opción B Actividades de refuerzo

9 SOLUCIONES 80 x 60. a) 60 x rad b) Si 0, 0. En radianes: x 0 x rad y rad 6 6. x tan 0 0,70 cos x 0,7; x x sen 7 0,966 x cos cos 0,966 sen x 0,8; x 7 48 tan x 7,; x 8 8. En el triángulo ABC, rectángulo en A, por el teorema de Pitágoras, se tiene: b cm. Se trata de hallar las razones del ángulo Bp. b C sen B a a = c b cos B a A b c = tan B. c Área: S b c 0 cm 4. Los triángulos ABC y ABC son iguales y rectángulos en A y A. En ABC se tiene: R C A' CA R sen 4 ; 0,4 ; R 0,0 m CB 0 A 0 El área del círculo es: S R ; S 0 m. a) cos h 0,64 0,6 h 0,8 tan, h 0,6 b) sen h 0,94 9 tan h 9,8 h c) cos 0,6 h sen h 0,8 h 4 B B ( cos x)( cos x) cos x 6. A ( sen x)( sen x) sen x ( sen x) sen x tan sen x cos x 4 4 cos x sen x B sen x cosx (cos x sen x)(cos x sen x) sen x cos x cos x sen x tan x sen x cos x tan x 7. AC 6k y BD 8k. En el triángulo rectángulo OAB, se tiene: OB 4k 4 tan OA k 7 48 Por tanto, 90 6 Los ángulos del rombo son, por tanto: r DAB 06 6 r ABC D x A α β O 8. En el triángulo rectángulo ABD se tiene: DA DA tan 0 BA 8 DA 0,9 m, que es la altura del árbol. En el triángulo ACD se tiene: DA 0,9 tan 0 CA 8 d d 0, m, que es la distancia entre C y B. 9. No son iguales, para ello ponemos el siguiente ejemplo: AB 4yAD DC ; se tiene: AD En ABD: tan 6 AB 4 AC 6 En ABC: tan () AB Por tanto: ( ) En el triángulo DAD: h sen A ; h 6 sen 0 m 6 DA cos A ; DA 6 cos 0,0 m 6 La diagonal mide BD h (8 AD), m, y el área, S h AB 4 m. C B Actividades de refuerzo Gauss 4. o ESO - Opción B

10 ACTIVIDADES DE REFUERZO 8 Razones trigonométricas de cualquier ángulo. Expresa los siguientes ángulos como suma de un número entero de vueltas y un ángulo menor que 60 ( ): rad rad. Indica en qué cuadrante están situados cada uno de los siguientes ángulos: rad rad 7. En una circunferencia de 0 m de radio, un arco mide 6 metros. Calcula en grados y radianes el ángulo central que le corresponde. 4. Dados los ángulos 78, 60, 0, indica en qué cuadrante están situados los siguientes ángulos: A 4 B 4 6. Sin hacer uso de la calculadora, calcula el valor exacto de las expresiones: A sen 70 4 tan cos 00 B sen tan 900 cos 40 C sen tan 40 cos 6. Sabiendo que es un ángulo agudo, tal que cos 0,6, calcula las siguientes razones trigonométricas: cos (80 ) sen (80 ) tan (90 ) sen (900 ) 7. Con ayuda de la calculadora y utilizando el modo angular en grados, halla, con tres cifras decimales significativas, los valores de las siguientes razones trigonométricas: 8 cos 8 tan sen ( 00) cos 7 8. Calcula el valor del seno y el coseno de un ángulo del cuarto cuadrante cuya tangente vale. Expresa las 4 soluciones en forma fraccionaria. 9. Halla, sin hacer uso de la calculadora, qué ángulos de la circunferencia goniométrica cumplen las siguientes condiciones: a) Su seno vale b) Su coseno vale c) Su tangente vale 0. Halla los ángulos x tales que 0 x 60, si verifican las igualdades siguientes: x 40 a) sen (x 60) b) tan Gauss 4. o ESO - Opción B Actividades de refuerzo

11 SOLUCIONES Está situado en el tercer cuadrante Está situado en el segundo cuadrante.. Está situado en el primer cuadrante Está situado en el segundo cuadrante.. El ángulo en grados es: L arco ;86 4 L circunf 40 El ángulo en radianes es: L arco 6 ;, rad L 40 circunf 4. A 4 78 (60) Es del primer cuadrante. 7 B (60) 0 Es del cuarto cuadrante.. A sen 70 4 tan cos 00 () 4 () B sen tan 900 cos 40 sen tan 80 cos 4 0 C sen tan40 cos Aplicando la relación fundamental, se tiene: sen cos ; sen 0,64 0,6 cos (80 ) cos 0,64 sen (90 ) cos 0,8 4 tan (90 ) cos (90 ) sen 0,6 sen (80 ) sen 0,6 sen (900 ) sen ( ) sen (80 ) 0, cos 8 0,906; tan tan 4,8 7 7 sen ( 00) 0,940; cos cos 780 0, 8. De la relación cos se tiene: tan 4 cos 9 6 sen De la definición de tangente tan : cos 4 sen tan cos 4 9. a) De sen 0,sisen, b) De cos 0,sicos, c) De tan 4, si tan, a) sen (x 60) x 60 0; x 7 x 60 00; x 0 x 40 b) tan x 40 ; x 6 x 40 ; x 4 Actividades de refuerzo Gauss 4. o ESO - Opción B

12 Matemáticas 4º ESO, opción B Trigonometría Ejercicios de refuerzo.- Determina las razones trigonométricas de los siguientes ángulos, relacionándolos con algunos ángulos notables (0º, 0º, 4º, 60º, 90º, 80º, 70º, 60º), indicando en qué cuadrante se encuentran: a) 40º b) º c) º d) 70º e) 70º.- Calcula el valor de los siguientes ángulos y el resto de las razones trigonométricas, sabiendo que: a) sen α = - / y α III cuadrante b) con α = -/ y α II cuadrante c) tag α = y α IV cuadrante.- Calcula el seno y la tangente de un ángulo agudo, sabiendo que su coseno vale: a) 0,4 b) 0.8 c) 0,947 d) 0, 4.- Calcula el coseno y la tangente de un ángulo agudo, sabiendo que su seno vale: 4 a) b) c) d) Expresa los resultados en forma de fracción..- Calcula el seno y la tangente de un ángulo agudo, sabiendo que su coseno vale: 7 a) b) c) d) 4 Expresa los resultados en forma de expresiones racionales. Tercera relación fundamental: Al dividir los dos miembros de la primera relación fundamental por cos α : sen α + cos α α cos α = sen + = tan α + = cos α cos α cos α cos α cos α cos α A este resultado se le conoce como Tercera relación fundamental de la Trigonometría y sirve para relacionarnos la tangente con el coseno de un ángulo. Cuarta relación fundamental Al dividir los dos miembros de la primera relación fundamental por sen α : sen α + cos α sen α cos α = + = + = sen α sen α sen α sen α sen α tan α sen α A este resultado se le conoce como Cuarta relación fundamental de la Trigonometría y sirve para relacionarnos la tangente con el seno de un ángulo. A la luz de estos resultados, realiza las actividades siguientes. 6.- Calcula senα y cosα, sabiendo que la tangente de α vale: a) 0,76 b),8 c) 8,76 d) La tangente de un ángulo agudo α vale. Calcula senα y cosα expresando los resultados mediante fracciones y radicales. 8.- La tangente de un ángulo agudo α vale. Calcula el senα y cosα dando los resultados mediante expresiones radicales. 9.- Si α es un ángulo agudo y senα =, calcula el valor de la expresión senα + cosα - 6tanα 0.- Halla el valor de las letras en los siguientes triángulos: a) b) c) d) 9 αα x b 4 c 6, º 6 x α a 7,.- La altura de los ojos de un observador es de,60 m. El observador ve el punto más alto de un poste con un ángulo de elevación de º. La distancia entre los pies del observador y el pie del poste es de 6 metros. Calcula la altura del poste..- Desde un punto del suelo se ve la altura de una torre con un ángulo de elevación de 48º. Si se retrocede 0m, se ve la misma torre pero bajo un ángulo de 4º. Calcula la altura de la torre..- Desde la orilla de un río se ve un árbol en la otra orilla bajo un ángulo de 40º, y si se retrocede 4m se ve bajo un ángulo de 8º. Calcula la altura del árbol y la anchura del río.

13 4.- Dos observadores situados a 70 metros de distancia ven un globo situado entre ellos y en el mismo plano vertical bajo ángulos de elevación de º y 70º. Halla la altura del globo y las distancias que los separan de cada uno de los dos observadores..- La diagonal de un rectángulo mide 7cm y forma con uno de los lados un ángulo de 9º. Calcula la medida de los lados del rectángulo, así como su área. 6.- Calcula el área de un rombo sabiendo que uno de sus ángulos es de 4º y que su lado mide m. 7.- Indica el cuadrante al que pertenece cada uno de los siguientes ángulos expresados en grados: a) 0º b) º c) 00º d) º e) 6º f) 76º g) 9º h) 0º 8.- Indica el cuadrante al que pertenece cada uno de estos ángulos expresados en radicales: 7π 7π π π π 6π 49π 8π a) rad b) rad c) rad d) rad e) rad f ) rad g) rad h) rad El coseno de un ángulo del cuarto cuadrante vale. Calcula el seno y la tangente de ese mismo ángulo La tangente de un ángulo del tercer cuadrante vale. Calcula el seno y el coseno de ese mismo ángulo. 6.- Responde a las siguientes preguntas y razones la respuesta: a) Puede el coseno de un ángulo del segundo cuadrante valer? b) Puede el seno de un ángulo del segundo cuadrante valer? c) Puede la tangente de un ángulo del tercer cuadrante valer? d) Puede la tangente de un ángulo del cuarto cuadrante valer? e) Puede el seno de un ángulo del segundo cuadrante valer?.- El seno de un ángulo del tercer cuadrante vale 7.- La tangente de un ángulo del segundo cuadrante vale. Calcula el coseno y la tangente de ese mismo ángulo. 0. Calcula el seno y el coseno de ese mismo ángulo. 4.- El coseno de un ángulo del cuarto cuadrante vale. Calcula el seno y la tangente del mismo ángulo..- Sin ayuda de la calculadora, indica los valores de las siguientes razones trigonométricas: a) sen 0º b) con (-0) c) tan º d) sen º e) tan(-º) f) tan 0º g) sen 00º h) cos º i) tan 0º j) sen (-0º) k) cos 0º l) tan 00º 6.- Indica la medida de todos los ángulos x tales que se verifique que: a) senx = b)cos x = 0 c) tanx = 7.- Indica la medida de todos los ángulos x menores que 60º tales que se verifique que: a) sen x = b)cos x = c) tan x = 8.- Sin ayuda de la calculadora, halla el valor de las siguientes razones trigonométricas: a) senº b) tan960º π π c)cos rad d)cos 0º e) sen rad Expresa las razones trigonométricas de 70º, 60º, 00º y 40º en función de las de 0º. 0.- Expresa las razones trigonométricas de º en función de las de -º..- Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Razona tu respuesta. a) Un ángulo de 70º es un ángulo de dos vueltas y, uno de 60º, es un ángulo de una vuelta. b) El ángulo de 00º se puede expresar así: 00º = vueltas + 0º c) El seno de 00º es igual al seno del ángulo de 0º d) El ángulo de 780º tiene el mismo seno que el ángulo de 60º e) El seno de 90º es igual a c f) El coseno de 80º es igual a - g) Del triángulo rectángulo isósceles de la figura se obtiene que tan 4º = h) El seno de un ángulo es siempre menor que i) Si sen α =, el ángulo α vale 90º c π f ) tan rad