4.1. Qué es un número complejo. Representación geométrica.

Transcripción

1 Tema Números complejos.. Qué es un número complejo. Representación geométrica. Un número complejo z C C es el conjunto de los números complejos es una expresión de la forma z a + b i en la que a, b R a y b son números reales e i. El número i recibe el nombre de unidad imaginaria. Este tipo de representación de los números complejos recibe el nombre de forma binómica, ya que está formada por dos partes: la parte real: el número real a, y la parte imaginaria: b i. Si a 0 entonces se dice que el número z es imaginario puro, y si b 0 entonces se trata de un número real. Un número complejo z a+b i tiene asociado su complejo conjugado z, que viene dado por la expresión: z a b i... Representación geométrica de un número complejo La representación geométrica de un número complejo z a + bi se realiza en el plano cartesiano. Para ello se considera que sus coordenadas son a, b, de manera que a es la componente que se representa en el eje de abcisas y la componente imaginaria b se representa en el eje de ordenadas. El punto P a, b recibe el nombre de afijo del número complejo a + bi. El módulo de z representaría el módulo del vector OP que une el origen de coordenadas 0, 0 con el punto P a, b. Dicho vector OP forma un ángulo con el eje de semieje positivo de abcisas, que recibe el nombre de argumento del número complejo z, argz, cuyo valor se calcula de la forma: b α argz arc tg. a

2 Figura.: Representación geométrica de un número complejo. Teniendo en cuenta que: tgα tgα + k, k Z para calcular cual es el argumento asociado a un número complejo será necesario estudiar los signos de a y b, de manera que sea posible detectar en qué cuadrante se encuentra. Debemos tener en cuenta el siguiente cuadro: Segundo cuadrante si a < 0, b > 0, entonces α, b y α arc tg a Primer cuadrante si a > 0, b > 0, entonces α 0, b y α arc tg a Tercer cuadrante si a < 0, b < 0, entonces α, b y α + arc tg a Cuarto cuadrante si a > 0, b < 0, entonces α, b y α arc tg a Aunque existen infinitos ángulos asociados a un argumento, trabajaremos con el argumento principal que es el valor del ángulo comprendido entre 0 y. Si usamos el cuadro anterior, el valor de α estará en dicho rango. Ejemplo.. Calcula el módulo y el argumento del número complejo i. El módulo viene dado por z +. El argumento al estar en el cuarto cuadrante viene dado por: α arc tg 7. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico Curso 0/

3 .. Nociones de trigonometría Antes que nada, debemos decir usaremos tanto los radianes como los grados para medir ángulos. Esto implica el conocimiento de los cambios de escala de uno a otro tipo de medida. Razones trigonométricas directas: Siguiendo la Figura.: sen θ b r lado opuesto hipotenusa, cos θ a r lado continuo hipotenusa Definiciones e identidades pitagóricas: tg θ sen θ cos θ ctg θ cos θ sen θ tg θ sec θ cos θ csc θ sen θ sen θ + cos θ tg θ + sec θ cos θ Aunque las calculadoras científicas efectúan todo tipo de cálculos trigonométricos, no está de más conocer los valores de las principales funciones trigonométricas en algunos ángulos principales: Grados 0 o 0 o 5 o 60 o 90 o Radianes 0 6 sen θ 0 cos θ 0 tg θ 0 No definida Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico Curso 0/

4 Relaciones entre las razones de ciertos ángulos: Ángulos suplementarios sen α sen α cos α cos α Ángulos que difieren en rad. sen + α sen α cos + α cos α Ángulos opuestos sen α sen α cos α cos α Ángulos complementarios sen α cos α cos α sen α Ejemplo.. Calcula cos y sen 7 sen5o. cos cos + cos 0 7 sen sen sen sen Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos: sena + b sen a cos b + sen b cos a cosa + b cos a cos b sen b sen a sena b sen a cos b sen b cos a cosa b cos a cos b + sen b sen a Ejemplo.. Con ayuda de las fórmulas que relacionan la suma o diferencia entre dos ángulos, calcula las siguientes razones trigonométricas: sen 5 sen75o sen + sen cos + cos sen Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico Curso 0/

5 Razones trigonométricas del ángulo doble y el ángulo mitad: sena sen a cos a cosa cos a sen a sena/ ± cosa/ ± cos a + cos a Ejemplo.. Sabiendo que ctg a, calcula el valor de cosa. Sabemos que + tg a cos a y que tg a. Por tanto, ctg a tg a, cos a 5 6 y cosa cos a sen a cos a 7 5. Transformación de productos en sumas: sen a cos b cos a sen b sena + b + sena b sena + b sena b cos a cos b cosa + b + cosa b sen a sen b cosa + b cosa b Ejemplo.. Calcula sen75 o cos5 o. Aplicando la fórmula correspondiente: sen75 o cos5 o sen90o + sen60 o + + Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 5 Curso 0/

6 Transformación de sumas en productos: Ejemplo..5 Calcula sen Como entonces: a + b a b sen a + sen b sen cos a + b a b sen a sen b cos sen a + b a b cos a + cos b cos cos a + b a b cos a cos b sen sen sen sen sen. cos 6 sen. cos sen 6 sen sen. Ejercicio..6 Dos ondas armónicas están descritas por y sen8x 00t, y sen8x 00t. Calcula y + y. y + y [sen8x 00t + sen8x 00t ] 8 sen8x 00t cos Teorema de los senos: Los lados a, b y c de un triángulo se relacionan con sus ángulos opuestos A, B y C, respectivamente, mediante la fórmula: a sen A b sen B c sen C Ejemplo..7 En un triángulo se conoce un lado a 6 y los ángulos B y C 7. Calcula los elementos restantes. Como la suma de los ángulos de un triángulos deben sumar, entonces A. Usando el Teorema de los senos: a sen A b sen B c 6 b c sen C sen 5 luego b 6 6 6, c 6 sen Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 6 Curso 0/

7 Teorema del coseno: El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido entre ambos, es decir: a b + c b c cos A b a + c a c cos B c a + b a b cos C Ejemplo..8 Calcula el lado a de un triángulo sabiendo que el lado b, el lado c y el ángulo entre ambos A. Usando el Teorema del coseno, b + c bc cos A cos Operaciones con números complejos Las operaciones con números complejos están basadas en el hecho de que a y b son números reales e i, luego i. Usando dichas propiedades, se puede definir fácilmente la suma, diferencia y producto de dos números complejos. Suma y diferencia de números complejos: Se realiza sumando/restando por separado la parte real de la parte imaginaria. a + bi ± c + di a ± c + b ± di Ejemplo.. Calcula i + 5i. i + 5i i + 5i + + 5i 5 7i Producto de números complejos: Se realiza teniendo en cuenta que i. a + bi c + di ac bd + ad + bci Ejemplo.. Calcula i5 + i. i5 + i 5 i 5 + i i i 0 5i + i i Como caso particular del producto, se tiene que el producto de un número complejo z por su número complejo conjugado z es el siguiente número real: z z a + bi a bi a + b. La raíz de dicho número recibe el nombre de módulo del número complejo y viene denotado generalmente por: r z z z. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 7 Curso 0/

8 Ejemplo.. Calcula el módulo del número complejo i. El módulo, usando el conjugado de i, que es i + i, viene dado por: z r i + i. Esta operación es fundamental para poder definir el cociente de dos números complejos, ya que para ello se debe racionalizar el divisor es decir, multiplicar numerador y denominador por el conjugado del número complejo que aparece como divisor. De ese modo, Cociente de números complejos: a + bi c + di a + bi c + di c di a + bi c di ac + bd + bc adi c di c + d c + d ac + bd bc ad } c {{ + d + } c + d i }{{} parte real parte imaginaria Ejemplo.. Calcula i + i. i + i i + i i i i + i i Potencia de números complejos: Se realiza teniendo en cuenta las potencias del número i: i 0 i i i i i i i i i i ó i i i i i i 5 i i i i 6 i 5 i i i... Nota..5 Si la potencia es alta, resulta más conveniente efectuarla usando la forma trigonométrica o polar del número complejo. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 8 Curso 0/

9 .. Diferentes formas de escritura: binómica, polar y trigonométrica. Una vez conocidos el módulo y el argumento de un número complejo z a + bi, es posible escribir su forma polar y trigonométrica. Llamamos forma polar de un número complejo z cuyo módulo es r y su argumento α a la expresión: z r α Llamamos forma trigonométrica de un número complejo z cuyo módulo es r y su argumento α a la expresión: z r cosα + senα i Usando entonces la equivalencia existente entre las diferentes formas de escritura de un número complejo, se pueden deducir las siguientes expresiones de las operaciones algebraicas para números complejos escritas en forma polar: Producto: r α s β r s α+β Cociente: r α r s β s α β Potenciación: r α n r n n α Ejemplo.. Efectúa las siguientes operaciones para números complejos escritos en forma polar: 6 6 cos + sin i 6 + i + i : cos 5 cos + sen i sin 5 i i 6 6 i Y las siguientes expresiones de las operaciones algebraicas para números complejos escritas en forma trigonométrica: Producto: r cos α + sen α i s cos β + sen β i r s cosα + β + senα + β i r cos α + sen α i r Cociente: s cos β + sen β i cosα β + senα β i s Potenciación fórmula de De Moivre: r cos α + sen α i n r n cosn α + senn α i Como consecuencia de la definición de la potencia de un número complejo se puede definir la: raíz de un número complejo, que viene dada por la expresión: w n r n z n r α w γ donde γ α + k, k Z n Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 9 Curso 0/

10 Observemos que, dado que consideramos sólo los ángulos comprendidos entre 0 y, existen n raíces distintas de z. Ejemplo.. Efectúa la siguiente operación:. Observemos que γ con γ + k para k 0,,. Es decir, para k 0, γ para k, 5 para k, lo que corresponde a {,, 5 } { + i,, i}..5. Representación fasorial de un número complejo La representación fasorial de un número complejo se basa en la fórmula de Euler: e i ϕ cos ϕ + i sen ϕ Si consideramos que el módulo de un número complejo z es r, entonces la forma fasorial de z viene dada por: donde z r e i ϕ z e i ϕ z cos ϕ + i sen ϕ, Re[z] Re[r e iϕ ] z cos ϕ y Im[z] Im[r e iϕ ] z sen ϕ De se modo, su conjugado z viene dado por la expresión: z r e i ϕ z e i ϕ. Observemos que en este caso es fundamental que: cos ϕ cos ϕ y sen ϕ sen ϕ. Ejemplo.5. Efectúa las siguientes operaciones con números complejos escritos en forma fasorial: e i 8 e i 6 e i 6 0 e i : 7 e i ei Nota.5. La representación fasorial aparece en la asignatura Óptica Física, obligatoria en el primer cuatrimestre de o curso del Grado en Óptica y Optometría. Se usará para escribir la función de onda: ψx, t A e iωt kx+ϕ, pero sólo la parte real representa la onda. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 0 Curso 0/

11 .6. Resolución de ecuaciones En el conjunto de los números reales, las ecuaciones de segundo grado pueden tener soluciones distintas, solución doble o ninguna solución. Esta clasificación depende del discriminante de dicha ecuación. Recordemos para una ecuación de segundo grado de la forma: ax + bx + c 0 sus soluciones son de la forma: x b ± b ac a y su discriminante viene dado por la expresión: En el caso real, discriminante d b ac si d > 0, entonces existen dos soluciones reales distintas: x b + b ac, x b b ac a a si d 0, entonces existe una solución real doble: x b a si d < 0, entonces no hay soluciones reales. En el conjunto de los números complejos d siempre tiene al menos un valor asociado. De ahí que ecuaciones que no tienen solución en el conjunto de los números reales sí la tengan en el conjunto de los números complejos. Este resultado queda perfectamente resumido en el siguiente resultado clásico: Teorema fundamental del álgebra: Carl Frierich Gauss, Toda ecuación algebraica de grado n n un entero positivo con coeficientes reales o complejos tiene n soluciones complejas. Nota.6. Aunque la existencia de n raíces de una ecuación de grado n queda demostrada según el teorema anterior, el cálculo de las n raíces no es evidente. Recordemos que conocemos la fórmula de resolución de ecuaciones de segundo grado y la Regla de Ruffini, pero ambos no son suficientes. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico Curso 0/