pero por otra parte la suma de sus lados debe ser 12

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1 UNIDAD 1: NUMEROS COMPLEJOS. 1.1 Origen de los números Complejos y definiciones Un poco de historia. El gran matemático Diofanto (275 d.c) construyó un triángulo con una cuerda en la que había realizado 12 nudos (equidistantes). Los lados medían 3, 4 y 5 unidades. Evidentemente el triángulo es rectángulo, cumple el teorema de Pitágoras: = 5 2 Al ser un triángulo rectángulo es fácil comprobar que el área es 6 unidades. Con la misma cuerda trató de construir otro triángulo rectángulo de forma que su área fuese 7 unidades. Su planteamiento fue el siguiente: un cateto mediría x como el área debía ser 7, el otro cateto será 14/x. la hipotenusa debe cumplir el teorema de Pitágoras pero por otra parte la suma de sus lados debe ser 12 Por tanto se debe cumplir la ecuación: De donde se llega fácilmente a: Cuya solución Diofanto expresó como Pero no conocía ningún número que elevado al cuadrado fuese igual a 1, por tanto, el problema no tenía solución. Este problema planteado por Diofanto tardaría siglos en resolverse. En el siglo XVI Rafaello Bombelli fue uno de los primeros en admitir que era útil que los números negativos tuviesen raíces cuadradas. A mediados del siglo XVI, el filósofo y matemático italiano Gerolamo Cardano y sus contemporáneos comenzaron a experimentar con soluciones de ecuaciones que incluían las raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo, Cardano sugirió que el número real 40 se puede expresar como Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 1

2 En 1777 el matemático suizo Leonhard Euler ( ) simbolizó la raíz cuadrada de 1 con la letra i (por imaginario). Kaspar Wessel dio una explicación a la raíz cuadrada de 1. Basta suponer un triángulo ABC isósceles en A, situado sobre unos ejes de coordenadas. Aplicando el teorema de la altura Esta idea también sugerida por Jean-Robert Argand fue utilizada más tarde por Carl Friedrich Gauss para dar la interpretación geométrica de los números complejos. Gauss, en su tesis doctoral de 1799, demostró su famoso teorema fundamental del álgebra, que dice que todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja. En 1825, continuando con el estudio de las funciones complejas, el matemático francés Augustin L. Cauchy generalizó el concepto de integrales definidas de funciones reales para funciones de variable compleja Necesidad de ampliar números Reales (R). Cuando aprendemos a contar estamos utilizando números naturales, es por eso por lo que cuando se habla de conjuntos numéricos se suele comenzar por el conjunto de los números naturales (N) y se va ampliando progresivamente según lo vamos necesitando. Vamos a ir viendo las sucesivas ampliaciones hasta llegar a R y como este conjunto es insuficiente. Los números naturales son 1, 2, 3,.. (el 0 no es un número natural). Los números enteros aparecen cuando queremos hacer operaciones del tipo 1 2, que no tienen sentido en N. Los números enteros (Z) son 0, 1, 1, 2, 2,... Los números racionales surgen cuando intentamos hacer algunas divisiones como 1/2. Los números racionales (Q) son Esto significa que cualquier cociente de números enteros en el que el denominador no sea 0 es un número racional. Los números racionales también se pueden escribir como números decimales. Los números irracionales son los números decimales que no son racionales. Estos números aparecen al calcular raíces como Para diferenciar a los irracionales de los racionales basta con escribirlos en forma decimal. En este caso los números con infinitas cifras decimales y que no son periódicos, son irracionales; y los restantes (es decir, los periódicos o los que tienen un número finito de decimales) son racionales. El conjunto formado por la unión de racionales e irracionales se llama R, son los números reales. Sin embargo nos volvemos a encontrar con problemas del tipo, para resolverlos ampliaremos el conjunto de los números reales. Llegamos así a los números complejos, que representamos por C. Con este nuevo conjunto tenemos resueltos todos los problemas, al menos "de momento". Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 2

3 1.1.3 Definición de número complejo, el plano complejo, Llamaremos C al conjunto de los pares de números reales (a, b) con las siguientes propiedades: Igualdad: (a, b) = (c, d) si a = c y b = d Suma: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) Producto: (a, b) (c, d) = (ac - bd, ad + bc) Ejemplo 1 Dados z 1 = (1, 2) y z 2 = (3, 1) podemos calcular su suma y su producto: z 1 + z 2 = (1, 2) + (3, 1) = (1+3, 2+1) = (4, 3) z 1 z 2 = (1, 2) (3, 1) = ( , ) = (1, 7) Dado un número complejo z = (a, b) llamamos parte real de z al número real a y lo representamos como Re(z) = a de la misma forma, b es la parte imaginaria de z y se representa por Im(z) = b. Ejemplo 2 Si z = (1, 4) entonces Re (z) = 1 e Im (z) = Forma binómica, estándar, canónica, cartesiana o rectangular. El número complejo (a, b) lo podemos representar en forma binómica como a+bi. Ejemplo 3 Dados los números complejos (1, 1) y (2, 3) vamos a calcular las partes real e imaginaria de su producto: (1, 1)(2, 3) = (2 3, 3+2) = ( 1, 5) Re ( 1, 5) = 1 e Im ( 1, 5) = Los números complejos de la forma (a, 0) Si hacemos corresponder a cada número real a, el número complejo (a, 0), tenemos una relación biunívoca. Es decir, por cada número real a hay un número complejo de la forma (a, 0) y por cada número complejo de la forma (a, 0) hay un número real a. Además la suma y el producto se conservan con esta relación: Ahora vemos que tenía sentido lo de parte real de un número complejo. Observación Dentro de los números reales había números racionales y números irracionales. De la misma forma en C podemos hablar de números reales (los que tienen su parte imaginaria nula) y de números imaginarios (aquellos cuya parte imaginaria no es nula). Se llaman números imaginarios puros a los que tienen nula la parte real, los de la forma (0, b). Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 3

4 1.1.6 Números imaginarios puros, definición de la unidad imaginaria. El número 1 es la unidad en los números reales, y en forma compleja se escribe como (1, 0). Esto quiere decir que construimos los demás números reales a partir de éste. De la misma forma si consideramos el conjunto formado por los números imaginarios puros tendremos que todos los números se construyen a partir del (0, 1). Sería lógico pues, llamar unidad imaginaria a este número. A esta unidad imaginaria la llamaremos i. Y se define como: i = de donde: i 2 = -1 Veamos una propiedad fundamental de i: i 2 = (0, 1) (0, 1) = (0-1, 0+0) = (-1, 0) = -1 de donde: i = Con esta propiedad ya tenemos resuelto el problema de las raíces cuadradas de números negativos, veamos como: Observación Si nos fijamos en el ejemplo veremos que el producto de un número imaginario puro por uno real es otro imaginario puro. Ejemplo 4 Vamos a calcular todas las potencias de i desde n= 10 hasta n=10 y sacar alguna conclusión. i 0 = 1, i 1 = i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1, i 5 = i,... ordenando los resultados desde n = -10 hasta n = 10 tenemos: 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1 La conclusión más elemental es que cualquier potencia de i es 1, i, 1 ó i, y que las potencias de i se van repitiendo de forma periódica, de 4 en Representación gráfica. Sobre el eje horizontal (eje real) representamos la parte real y sobre el eje vertical (eje imaginario) la parte imaginaria. Se llama afijo de un número complejo al punto (a, b) del plano con el que se corresponde en su representación gráfica. Ver figura 1.1. Figura 1.1 Representación gráfica de un número complejo. Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 4

5 1.2 Propiedades. Y 1.3 Operaciones Fundamentales de los números complejos Suma de números complejos (a,0) La suma de dos números complejos es otro complejo que tiene por componente real la suma de las componentes reales y por componente imaginaria la suma de las componentes imaginarias de los sumandos. Como la adición es ley de composición interna en el conjunto R de los números reales, a+c y b+d son números reales. Por consiguiente, la operación así definida es una aplicación CxC en C y por tanto una ley de composición interna en C. La suma de dos complejos conjugados es un número real. Sean dos complejos conjugados (a,b) y (a,-b). Se tiene: Propiedades de la adición en C. Puesto que la suma de complejos equivale a dos sumas de números reales, sus propiedades son las mismas que en R: I. Asociativa: Sea x=(a, b), y = (c, d), z = (e, f), se cumple: (x+y)+z = [(a, b)+(c, d)]+(e, f) = (a+c, b+d)+(e, f) = (a+c+e, b+d+f) = (a,b)+(c+e, d+f) = (a, b)+[(c, d)+(e, f)] = x+(y+z) II. Conmutativa: x + y = y + x Sea x= (a, b), y = (c, d) por la conmutatividad en R tenemos: x+y= (a, b)+(c, d) = (a+c, b+d) = (c+a, d+b) = (c, d)+(a, b) = y+x III. Elemento neutro. El elemento neutro es (0,0), pues: Al complejo (0,0) se le llama complejo cero, y es el elemento neutro de la adición. IV. Elemento simétrico A todo complejo (a,b) le corresponde un simétrico u opuesto de él, que es el número (-a,-b) Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 5

6 1.3.3 Sustracción de números complejos. Como consecuencia de la estructura de grupo aditivo de los números complejos, la operación inversa o resta está siempre definida. Se llama resta de dos complejos (a, b) y (c, d) al complejo que resulta de sumar al primero (minuendo) el opuesto del segundo (sustraendo) Multiplicación de números complejos. El producto de dos números complejos es otro complejo que se obtiene escribiendo los complejos dados en forma binómica y realizando la multiplicación algebraica, teniendo en cuenta que i 2 = -1. Es decir: Como se ve, esta operación es una aplicación de CxC en C, luego es una ley de composición interna definida en C. Para dos números reales (a,0) y (b,0), se obtiene en particular: que coincide con la definición dada en R. El producto de dos números complejos conjugados es un número real. Sean dos complejos conjugados (a, b) y (a, -b). Se tiene: Propiedades de la multiplicación en C. Puesto que el producto de complejos se basa en el producto de reales, sus propiedades serán las mismas que las del producto en R: I. Asociativa: II. III. IV. Conmutativa: Elemento neutro: El elemento neutro es (1, 0), pues: (a, b)(1, 0)=(a1-b0, a0+b1)=(a, b) (1, 0)(a, b)=(1a-0b, 1b+0a)=(a, b) El número complejo (1,0) es el elemento unidad, elemento neutro de la multiplicación. Elemento simétrico: A todo número complejo (a, b) distinto del (0,0) le corresponde un simétrico o inverso de él (a, b ) que cumple: (a, b).(a, b ) = (1, 0) Para hallar el simétrico de (a, b) formaremos el producto indicado e identificaremos resultados: (a,b).(a,b ) = (aa -bb,ab +ba )=(1,0) Luego : Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 6

7 Y por tanto el inverso de (a, b) es: V. Distributiva: Conjugado de un número complejo El conjugado del número complejo z= (a, b) es otro número complejo binómica, el conjugado de z= a + bi es. Observación Si queremos resolver una ecuación con coeficientes reales como. En forma, tendremos: Es decir, las soluciones complejas de una ecuación con coeficientes reales cumplen la siguiente propiedad: si z es solución de la ecuación entonces su conjugado también lo es. Esto es una propiedad muy importante de las ecuaciones con coeficientes reales porque nos ayuda mucho a saber el número de soluciones reales de una ecuación. Por ejemplo, en una ecuación de segundo grado con coeficientes reales, o las dos soluciones son reales o las dos complejas. Una cuestión muy típica es: puede una ecuación de tercer grado con coeficientes reales tener dos soluciones reales? La respuesta es NO, y el motivo es que si la ecuación tiene dos soluciones reales, tiene una solución imaginaria z, pero entonces también es solución, con lo cual tenemos dos soluciones imaginarias, y no una como sería en caso de haber dos soluciones reales. En conclusión, el número de soluciones imaginarias de una ecuación con coeficientes reales siempre es PAR Inverso de un número complejo. Sea z = (a, b) y consideramos. Si calculamos z z' tenemos: es decir z' es el inverso de z. Cuando a 2 + b 2 = 0 no tiene sentido z', pero esto ocurre porque si a 2 + b 2 = 0 entonces a = 0 y b = 0, o sea que z = (0, 0) = 0, y 0 no tiene inverso porque no se puede dividir por 0. Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 7

8 1.3.8 División de números complejos. Sean z = (a, b) y z' = (c, d), y queremos calcular su cociente. Utilizando que tendremos que dividir dos números complejos es multiplicar uno por el inverso del otro. Siguiendo con el ejemplo tendremos que calcular el inverso de z' y multiplicarlo por z. El inverso de z' es. Si ahora lo multiplicamos por z = (a, b): O mejor dicho para dividir dos números complejos se escribe el cociente indicado en forma binómica, y se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. Ejemplo 5 Dados z 1 = (1, 2) y z 2 = (1, 1) vamos a calcular. Hay dos formas de calcular esta división, la primera sería sustituir en la expresión que hemos obtenido de la división de complejos o seguir los pasos que hemos dado hasta conseguirla. Pero hay una segunda forma que es la que se utiliza normalmente: Esta forma también se suele utilizar con los números escritos en forma binómica Forma polar de un número complejo Módulo y argumento. Argumento principal Se llama módulo de un número complejo z = (a, b) a la distancia del origen de coordenadas al afijo de dicho número. Es decir, el módulo de z es, y se representa por z. Se llama argumento de un número complejo al ángulo que forma el semieje real con el segmento que une el origen de coordenadas y el afijo del número. Se representa por arg(z) o simplemente por α. Es evidente que si α es un argumento de un número complejo z, entonces también lo es α + 2kπ. Es decir que un número complejo tiene infinitos argumentos. Se llama argumento principal de un número complejo al único argumento de éste que está en el intervalo ( π, π). Ver figura 1.2. Figura 1.2 Representación gráfica de un número complejo en forma polar. Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 8

9 1.4.2 Cálculo del argumento Dado un número complejo z = (a, b) es muy fácil calcular su módulo, pero no lo es tanto calcular su argumento. En la figura 1.2 es evidente que, de donde deducimos que. Pero esto no es cierto totalmente, porque con esto, z = (a, b) y z = ( a, b) tendrían el mismo argumento, y eso no es verdad. Para calcular α debemos calcular y observar el cuadrante al que pertenece z para saber así cual es el ángulo α. Ejemplo 6 Sean z 1 = (1, 1) y z 2 = ( 1, 1), y vamos a calcular sus módulos y sus argumentos: Pero esto es el resultado de la calculadora, nosotros sabemos que arctg 1 = 45º + 180ºk. Ahora el problema es determinar el valor de k para cada número, pero eso no es difícil: z 1 = (1, 1) está en el cuarto cuadrante, por tanto el argumento debe ser un ángulo de dicho cuadrante, y eso se tiene para k = 0, o sea α= 45 o. z 2 = ( 1, 1) está en el segundo cuadrante, por tanto el argumento debe ser un ángulo de dicho cuadrante, y eso se tiene para k = 1, o sea α=135 o. Por otra parte es evidente que la diferencia entre el argumento de un número complejo y el de su opuesto debe ser 180 o Forma módulo-argumental o polar. Un número complejo z del que conocemos su módulo z y su argumento α lo podemos escribir como z α, a esta forma se le llama forma módulo-argumental o polar. Ejemplo 7 El número (1, 1) que está en forma de par tiene módulo (1, 1) = 45º y su argumento es 45º, por tanto: Forma trigonométrica de un número complejo. Ya sabemos calcular el módulo y el argumento de un número complejo conociendo a y b. Ahora vamos a hacer lo contrario, a partir del módulo y el argumento vamos a calcular a y b. Figura 1.3 Representación gráfica de un número complejo en forma trigonométrica. Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 9

10 Si nos fijamos en el triángulo podemos deducir: Dado un número complejo z, se llama forma trigonométrica a z (cos α + i sen α), esto se obtiene fácilmente de: Ejemplo 8 Vamos a escribir el número (1, 1) en forma trigonométrica: Forma exponencial de un número complejo. De la figura 1.3 es evidente que si z = a + ib, módulo z y su argumento α, entonces: La Fórmula o relación de Euler, atribuida al matemático Leonhard Euler, establece que: e i α = cos α + i sen α para todo número real α. Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria y sen, cos son funciones trigonométricas. Como cos (-α) = cos α y sen (-α) = - sen α, también se tiene que: e - i α = cos α i sen α Usando la formula de Euler y la ecuación (*), se tiene: (*) o sea, z = z e i α Operaciones con complejos en forma polar Sean z = z α y w = w β, entonces: Producto de complejos en forma polar. Inverso de un complejo. Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 10

11 Cociente en forma polar. Ejemplo 9 Dados z = 6 120º y w = 3 60º vamos a calcular Potencia de un número complejo en forma polar. Utilizando el producto en forma polar, tenemos que si, entonces Ejemplo 10 Sea z = 2 60º, entonces: 1.5 Fórmula de Moivre Si, en forma trigonométrica tendremos z = z (cos α + i sen α). Utilizando ahora la expresión de la potencia de un número complejo llegamos a. Ahora bien en forma trigonométrica se escribe como z n (cos nα + i sen nα) y ( z (cos α + i sen α)) n. Si igualamos las dos expresiones y quitamos los módulos, obtenemos la fórmula de MOIVRE: (cos α + i sen α) n = cos n α + i sen n α Ejemplo 11 Usando la fórmula de Moivre vamos a hallar las expresiones de cos 4α y sen 4α en función de cos α y sen α. Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 11

12 (cos α + i sen α) 4 = cos 4 α + 4cos 3 α i sen α + 6cos 2 α i 2 sen 2 α + 4cos α i 3 sen 3 α + i 4 sen 4 α Igualando esta expresión a cos 4α + i sen 4α tendremos que las partes reales deben ser iguales, de donde: cos 4α = cos 4 α 6cos 2 α sen 2 α + sen 4 α De la misma forma, las partes imaginarias deben ser iguales: sen 4α = 4cos 3 α sen α 4cos α sen 3 α Raíces n-ésimas de un número complejo. Sea, entonces: Vamos a justificar esto, sea w una raíz n-ésima de z, entonces debe cumplirse w n = z. Si y, entonces: (El 2kπ aparece porque el argumento de un número complejo no es único, sino que todo número complejo tiene infinitos argumentos.) Por tanto : De aquí deducimos que hay n raíces diferentes, porque si empezamos dándole valores a k desde 0, al llegar a n tenemos. Las raíces de un número complejo cumplen algunas propiedades interesantes, entre ella podemos destacar que la suma de todas las raíces de un número complejo es 0. Ejemplo 12 Vamos a calcular las raíces cuartas de º. para k = 0, z 0 =2 30º por tanto tenemos: para k = 1, z 1 =2 120º para k = 2, z 2 =2 210º para k = 3, z 3 =2 300º Aquí utilizamos porque el ángulo está dado en grados Raíces n-ésimas de la unidad. Las raíces n-ésimas de la unidad se estudian por separado por las propiedades algebraicas que verifican. De ellas, la más importante es: Si de entre todas las raíces n-ésimas de la unidad nos quedamos con la de menor argumento no nulo (z), se cumple que las restantes raíces se obtienen como z 2, z 3, z 4... Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 12

13 Ejemplo 13 Vamos a comprobar que la suma de las raíces quintas de la unidad es cero. El número 1 en forma polar se escribe como 1 0º, por tanto tendremos: para k = 0 z 0 = 1 0º = (cos0º + i sen0º) = (1, 0) para k = 1 z 1 = 1 72º = (cos72º + i sen72º) = ( 0.309, 0.951) para k = 2 z 2 = 1 144º = (cos144º + i sen144º) = ( 0.809, 0.587) para k = 3 z 3 = 1 216º = (cos216º + i sen216º) = ( 0.809, 0.587) para k = 4 z 4 = 1 288º = (cos288º+ i sen288º) = ( 0.309, 0.951) Sumando todas las raíces tenemos (1, 0)+( 0.309, 0.951)+( 0.809, 0.587)+( 0.809, 0.587)+( 0.309, 0.951) = (0, 0) Interpretación geométrica de las raíces n-ésimas. Las raíces (afijos) n-ésimas de un número complejo están situadas en los vértices de un polígono regular de n lados centrado en el origen. Ejemplo 14 En el ejemplo 12 vimos las raíces cuartas de º su representación gráfica se muestra en la figura 1.4a. Ejemplo 15 En el ejemplo 13 vimos las raíces quintas de la unidad, su representación gráfica se muestra en la figura 1.4b. a) b) Figura 1.3 Interpretación geométrica de las raíces n-ésimas. Bibliografía: Análisis de Variable Compleja / Lars V. Ahlfors, / Aguilar 1971, Madrid Variable Compleja / Murray R. Spiegel, / McGraw Hill 1988, Madrid Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 13