ETS Minas: Métodos matemáticos Tema 1 Preliminares

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1 ETS Minas: Métodos matemáticos Tema 1 Preliminares Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Septiembre 2008, versión 1.7 Contenido 1. Desigualdades. 2. Funciones monótonas. 3. Valor absoluto. 4. Extremos absolutos sobre intervalos cerrados. 5. Extremos absolutos para funciones de la forma h(x) = g(x). 6. Números complejos. 1 Desigualdades Definición : a b 0 b a. Interpretación geométrica eje horizontal: a b a estáalaizquierda de b. Interpretación geométrica eje vertical: a b a está por debajo de b. 1.1 Propiedades a, b, c, d son números reales, 1. ¾ a b a c. b c 2. ¾ a b a + c b + c. c R 3. ¾ a b a + c b + d. c d 1

2 Francisco Palacios Tema 1: Preliminares a b c>0 a b c<0 ¾ ac bc. ¾ ac bc. El punto más delicado es la propiedad 5, cuando multiplicamos una desigualdad por un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte. Por ejemplo, si tenemos 2 < 3 y multiplicamos por 4, resulta 8 > 12. Los errores suelen producirse cuando resolvemos desigualdades como la que aparece en el ejemplo siguiente. Ejemplo 1.1 Determina el menor entero n que cumple Tomamos logaritmos y obtenemos (0.85) n n ln(0.85) ln( ). Observemos que como ln(x) es una función creciente, el signo de la desigualdad se conserva. Como ln(0.85) = , al pasarlo dividiendo, debemos invertir el signo de la desigualdad n ln( ) ln(0.85) = Finalmente, como n es entero, el resultado es n = Inecuaciones ax + b 0 Las inecuaciones de este tipo pueden resolverse usando las reglas habituales de manipulación de ecuaciones, con una excepción: si pasamos dividiendo o multiplicando un número negativo debemos invertir el signo de la desigualdad. Ejemplo 1.2 Resuelve la inecuación 2x 3 1. Aplicando las propiedades de las desigualdades, resulta 2x 3 1, 2x 4, x 2, la solución es x (, 2].

3 Francisco Palacios Tema 1: Preliminares Inecuaciones f(x) 0 Para resolver inecuaciones más generales, usamos la siguiente propiedad: una función sólo puede cambiar de signo cuando se anula o en los puntos de discontinuidad. Por lo tanto, si x 1 <x 2 < <x n son todos los ceros y discontinuidades de una función f, entonces la función debe tener signo constante en los intervalos determinados por esos puntos (,x 1 ), (x 1,x 2 ),...,(x n 1,x n ), (x n, + ). Ejemplo 1.3 Resuelve la desigualdad 2x 1 <x 2. x En primer lugar escribimos la desigualdad en la forma 2x 1 x +2< 0 x ydefinimos la función f(x) = 2x 1 x +2. x Ahora, el problema se reduce a determinar los intervalos dónde f es negativa. Escribimos f(x) en la forma 4x 1 x2 f(x) =. x La función f tiene una discontinuidad en x 1 =0. Por otra parte, f tiene dos ceros, que son las soluciones de la ecuación 4x 1 x 2 =0, escribimos la ecuación en forma normal x 2 4x +1=0 y obtenemos las soluciones x 2 =2 3= , x 3 =2+ 3= Porlotanto,lafunciónf tiene signo constante en los intervalos ³ I 1 =(, 0),I 2 = 0, 2 ³ 3,I 3 = 2 3, 2+ ³ 3,I 4 = 2+ 3, + Para determinar qué signo toma f en cada intervalo, tomamos un valor de prueba f( 1) = 6, f(0.1) = 6. 1, f(1) = 2, f(4) = 1 4, por lo tanto, la solución es ³ I 2 I 4 = 0, 2 3 ³ 2+ 3, +. 2

4 Francisco Palacios Tema 1: Preliminares. 4 2 Funciones monótonas 2.1 Definiciones La función f es creciente en un intervalo I si para todo par de valores x, x 0 I con x<x 0, se cumple f(x) <f(x 0 ). La función f es decreciente en un intervalo I si para todo par de valores x, x 0 I con x<x 0, se cumple f(x) >f(x 0 ). Función monótona ½ creciente decreciente Vemos que las funciones crecientes conservan el sentido de las desigualdades, en tanto que las funciones decrecientes invierten el sentido de las desigualdades. 2.2 Criterios de monotonía El signo de la primera derivada nos permite estudiar el crecimiento y decrecimiento de funciones. Si una función f es continua en un intervalo [a, b] y tiene derivada positiva en cada punto interior, esto es, f 0 (x) > 0 para x (a, b), entonces la función es creciente en [a, b]. Si una función f es continua en un intervalo [a, b] y f 0 (x) < 0 para x (a, b), entonces la función es decreciente en [a, b]. Para usar estos criterios debemos resolver desigualdades del tipo f 0 (x) < 0, f 0 (x) > Extremos de funciones monótonas Determinar el valor máximo y el valor mínimo de una función sobre un intervalo cerrado es inmediato cuando la función es monótona. m = min f(x) =f(a) x [a,b] Si f(x) es creciente en [a, b] M = max f(x) =f(b) x [a,b] m = min f(x) =f(b) x [a,b] Si f(x) es decreciente en [a, b] M = max f(x) =f(a) x [a,b]

5 Francisco Palacios Tema 1: Preliminares. 5 Ejemplo 2.1 Dada f(x) =x 2 ln(x), calcular M = max x [2,3] f 00 (x). Tenemos f(x) =x 2 ln(x), f 0 (x) =2x ln x + x, La función objetivo es f 00 (x) =2lnx +3. h(x) =2lnx +3 Estudiamos la monotonía de la función h, para ello calculamos su derivada h(x) = 2 x, como h 0 (x) > 0 en [2, 3], tenemos que h es creciente en el intervalo. Por lo tanto M = max h(x) =h(3) = 2 ln = x [2,3] 3 Valor absoluto Para a real, el valor absoluto se define como ½ a si a<0 a = a si a 0 También se cumple a = a Propiedades Si a, b son números reales, se cumple. 1. a a =0si y sólo si a =0. 3. ab = a b. 4. a = a (b 6= 0). b b 5. a n = a n.

6 Francisco Palacios Tema 1: Preliminares a + b a + b. (desigualdad triangular) 7. a b a b. 8. d(a, b) = a b. (distancia) 9. x a δ equivale a x [x δ,x+ δ]. En este curso, emplearemos frecuentemente las propiedades del valor absoluto para obtener cotas superiores de error. Ejemplo 3.1 Aplicando las propiedades del valor absoluto, calcula una cota superior de h(x) = 23x2 +sin(x) cos x 2 5 x 3 +2, x [0, 1]. Aplicando la desigualdad triangular, resulta 23x2 +sin(x) cos x 2 5 x x 2 + sin (x) cos x x Como x [0, 1], 23x 2 =23x Por otra parte, tanto sin x, como cos x 2 toman valores entre 1 y 1, por lo tanto sin (x) cos x 2 = sin (x) cos x 2 1. Para el tercer término, como x [0, 1] obtenemos 5 x 3 +2 = 5 x y teniendo en cuenta que x 3 es decreciente en [0, 1], tenemos +2 5 x En resumen 23x2 +sin(x) cos x 2 5 x =26.5.

7 Francisco Palacios Tema 1: Preliminares. 7 4 Extremos absolutos sobre intervalos cerrados Sabemos que si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f(x) toma un valor máximo y un valor mínimo en [a, b] (Teorema de Weierstrass). Decimos que un c (a, b) es un punto crítico de la función f cuando: obienf 0 (c) =0(punto estacionario), obiennoexistef 0 (c) (punto critico de no derivabilidad). Supongamos que c 1,c 2,...,c n son todos los puntos críticos de f(x) en (a, b), entonces M = max 1),f(c 2 ),...,f(c n ),f(b)}, x [a,b] m = min 1),f(c 2 ),...,f(c n ),f(b)}. x [a,b] Ejemplo 4.1 Calcula los extremos absolutos de f(x) =x 2 4x +3 en el intervalo [0, 3]. La función f es continua en el intervalo cerrado[0, 3]. Determinamos los puntos críticos de f(x) en (0, 3) (puntos críticos interiores). f 0 (x) =2x 4, 2x 4=0 x =2 (0, 3). Tenemos un punto estacionario interior, no hay puntos de no derivabilidad. Calculamos f(0) = 3, f(2) = 1, f(3) = 0 yresulta M = max f(x) =max{f(0),f(2),f(3)} = f(0) = 3, x [0,3] m = min f(x) =min{f(0),f(2),f(3)} = f(2) = 1. x [0,3] 5 Extremos absolutos sobre intervalos cerrados para funciones del tipo h(x) = g(x) En los temas siguientes necesitaremos calcular extremos de funciones del tipo h(x) = g(x).

8 Francisco Palacios Tema 1: Preliminares. 8 Es interesante observar que en este caso particular, podemos calcular los puntos críticos de la función objetivo h determinando los ceros y los puntos críticos de la función g. En efecto, si escribimos h(x) en la forma q h(x) = (g(x)) 2 y derivamos h 0 (x) = g(x) g0 (x) q(g(x)) 2, vemos que los puntos críticos de la función h están incluidos en el conjunto formado por: Puntos de no derivabilidad de g, ceros de g 0 (x) (puntos estacionarios de g(x)), ceros de g(x). Ejemplo 5.1 Calcula los extremos de h(x) = x ln x en el intervalo [ 1 2, 3]. La función objetivo h es continua en el intervalo cerrado [ 1 2, 3]. Por lo tanto, tiene extremos absolutos en el intervalo. Observamos que la función es del tipo h(x) = g(x), con g(x) =x ln x, calculamos la derivada de g resulta: g 0 (x) =lnx +1, Puntos de no derivabilidad de g. La función g es derivable en los puntos x>0, por lo tanto no hay puntos de no derivabilidad en el intervalo (1/2, 3). Puntos estacionarios de g(x): ln x +1=0 x = e 1 = / (1/2, 3). Ceros de g(x) : x ln x =0 ln x =0 x =1.

9 Francisco Palacios Tema 1: Preliminares. 9 El conjunto de ceros y puntos críticos de g en (1/2, 3) sólo tienen el elemento x =1. Finalmente calculamos los valores En definitiva, h(1/2) = ,h(1) = 0, h(3) = max h(x) =h(3) = , min x [1/2,3] h(x) =h(1) = 0. x [1/2,3] Nota. Observemos que si únicamente estamos interesados en determinar el máximo de la función h(x) = g(x) en [a, b], podemos prescindir de los ceros de g(x). ( por qué?) 6 Números complejos 6.1 Definiciones Sean a y b números reales. Tenemos Unidad imaginaria i = 1. Número complejo z = a+bi, a es la parte real, b es la parte imaginaria. Conjugado z = a bi. Módulo z = a 2 + b 2. Ejemplo 6.1 Dado el complejo z =3+2i, tenemos Parte real Re(z) =3. Parte imaginaria Im(z) =2. Conjugado z =3 2i. Módulo z = 9+4= Operaciones Suma Producto (a + bi)+(c + di) =(a + c)+(b + d)i. (a + bi)(c + di) =(ac bd)+i (ad + bc).

10 Francisco Palacios Tema 1: Preliminares. 10 Inverso 1 a + bi = a a 2 + b 2 i b a 2 + b 2. El inverso de z = a + bi puede calcularse usando el conjugado. 1 z = z z z = z z 2. Cociente Se cumple a + bi c + di ac + bd bc ad = c d2 c 2 + d 2 i. z w = z w w w = z w w 2. Ejemplo 6.2 Dados z =3+i, w =2 3i calcula z + w, z 1,zw y z/w. z + w =(3+i)+(2 3i) =5 2i, 1 z = 1 (3 + i) = (3 i) (3 + i) (3 i) = i, zw=(3+i) (2 3i) =9 7i, z w = 3+i (3 + i)(2+3i) = 2 3i (2 3i)(2+3i) = 3+11i Nota La suma y producto de números complejos tienen las mismas propiedades algebraicas que la suma y producto de números reales. 6.3 Propiedades del conjugado En lo que sigue, z y w son números complejos. 1. z = z, 2. z = z z R, 3. z + w = z + w, 4. z w = z w, 5. z = z, µ 1 6. = 1 z z, ³ z 7. = z w w.

11 Francisco Palacios Tema 1: Preliminares Propiedades del módulo Sea z,w C. 1. z 0, 2. z =0si y sólo si z =0, 3. z + w z + w, 4. z w = z w, 5. z 2 = z z. 6.5 Forma polar El complejo z = x + yi está en forma binómica. Asociamos al complejo z el punto Z de coordenadas (x, y) del plano cartesiano OXY. El módulo de z coincide con la distancia de O a Z, el argumento de z es el ángulo θ que forma OZ con OX +. En este resumen expresamos los ángulos en radianes Cálculo de la parte real e imaginaria a partir del módulo y el argumento Dado z = x + yi, si tomamos r = z y θ =arg(z), se cumple ½ x = r cos θ, y = r sin θ Cálculo del módulo y el argumento Sabemos que el módulo es z = p x 2 + y 2. La determinación del argumento es algo más complicada.

12 Francisco Palacios Tema 1: Preliminares. 12 Si x>0 (Z en primer o cuarto cuadrante), un valor del argumento es θ =argz =arctan y x. Si x =0y y>0, es θ = π/2. Si x =0y y<0, es θ = π/2. Cuando x<0 (Z en segundo o tercer cuadrante), un valor del argumento es θ =argz =arctan y x + π. Si conocemos el módulo r y el argumento θ de un complejo, lo representamos en forma polar como z =(r) θ. Observamos que la representación polar no es única, pues si aumentamos el argumento en un múltiplo entero de 2π se obtiene el mismo número complejo z =(r) θ =(r) θ+2kπ, k Z. Ejemplo 6.3 Determina la forma polar de z =1+i, w = 2 2i. Para z =1+i, obtenemos z = 2, θ =arctan(1)= π 4 (Z en primer cuadrante), la forma polar es Para w = 2 2i ³ z = 2 π 4. w =2 2, θ =arctan(1)+π = π 4 + π = 5 π (W en tercer cuadrante), 4 la forma polar es w = ³ π 6.6 Producto en forma polar Dados los complejos en forma polar z 1 =(r 1 ) θ1,z 2 =(r 2 ) θ2, se cumple: z 1 z 2 =(r 1 r 2 ) θ1 +θ 2, z µ 1 r1 = z 2 r 2 θ 1 θ 2,

13 Francisco Palacios Tema 1: Preliminares. 13 Si z =(r) θ y n Z, entonces z n =(r n ) nθ. Ejemplo 6.4 Dados z =1+i, w = 2 2i, calcula z 3,z w y z/w usando la forma polar. Hemos visto en el ejemplo anterior que ³ z = 2, w = por lo tanto ³ z 3 = 2 Ã z 2 w = 2 2 π 4 π 4 3 = = π π ³ 2 2 3π 4 ³ 2 2, 5 4 π = 2+2i, z w =(4)π π =(4)3 2 π = 4i,! µ 1 = Forma trigonométrica y exponencial Dado el complejo en forma polar z =(r) θ, su forma trigonométrica es Para θ real, se define π z = r (cos θ + i sin θ). e iθ =cosθ + i sin θ. Entonces el complejo z =(r) θ,expresadoenforma exponencial, es z = re iθ. La exponencial compleja e iθ cumple las propiedades usuales de las exponenciales 1. e iθ k = e ikθ, 2. e iθ1 e iθ 2 = e i(θ 1+θ 2 ), 3. e iθ 1 e iθ 2 = ei(θ 1 θ 2 ). Ejemplo 6.5 Expresa en forma tigonométrica y exponencial los complejos z =2i, w =1+i, z w.

14 Francisco Palacios Tema 1: Preliminares. 14 Para z =2i, obtenemos la forma polar z =(2)π, por lo tanto 2 ³ z =2 cos π 2 + i sin π =2e i π 2. 2 Para z =1+i, obtenemos la forma polar z = 2 π, por lo tanto 4 z = ³ 2 cos π 4 + i sin π = 2e i π 4. 4 Para calcular z w, usamos la forma exponencial ³ ³ z w = 2e i π 2 2e i π 4 =2 2e i( π 2 + π 4 ) =2 2e i 3 4 π. Podemos usar la forma trigonométrica para obtener la forma binómica de z w 2 2e i 3 4 π =2 2 µcos 34 π + i sin 34 π = 2+2i.