Métodos Numéricos: Ejercicios Resueltos Tema 1: Preliminares

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Cristián Castro Sandoval
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1 Métodos Numéricos: Ejercicios Resueltos Tema : Preliminares Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Curso 2006/07 Febrero 2007, versión. Ejercicio Resuelve las siguientes desigualdades (a) 2 3. (b) 4 +> 2 2. (c) (d) 2 < 2. (e) Resuelve las desigualdades con Maple. (a) Es una inecuación lineal, podemos resolverla directamente. La solución es (, 2]. (b) Es una inecuación lineal. 2 3, 2 4, > 2 2, 2 > 3, > 3/2. La solución es el intervalo abierto ( 3/2, + ). (c) Es una inecuación cuadrática, en este caso no podemos resolverla directamente. Escribimos la inecuación en la forma f()

2 Francisco Palacios Tema : Preliminares. 2 La función f() = 2 2 no tiene puntos de discontinuidad. Determinamos los ceros resolviendo la ecuación 2 2 =0, = 2 ± ½ 4+4 = 2= , = 2 2 =+ 2= La función f() tiene signo constante en los intervalos I =(, ), I 2 =(, 2 ), I 3 =( 2, + ). Para determinar dicho signo, tomamos un punto de prueba en cada intervalo c j I j y calculamos el valor f(c j ). c j f(c j ) signo (, ) 2 (, 2 ) 0 ª ( 2, + ) 3 2 Porlotanto,lasoluciónes, 2 + 2, +. (d) La inecuación no es lineal. La epresamos en la forma f() < 0. 2 < 2, 2 +2< 0, 2 +4 < 0. Para mayor comodidad, cambiamos de signo a toda la desigualdad, > 0. Debemos averiguar en qué intervalos la función f() = toma valores estrictamente positivos. La función f() tiene una discontinuidad en =0; para calcular los ceros, resolvemos 2 4 +=0, = 4 ± 6 4 = 4 ± 2 = 4 ± 2 3 =2± La función f() puede cambiar de signo en los puntos = 0, 2 = 2 3 ' , 3 = 2+ 3 '

3 Francisco Palacios Tema : Preliminares. 3 Por lo tanto, tiene signo constante en los intervalos I =(, ), I 2 =(, 2 ), I 3 =( 2, 3 ), I 4 =( 3, + ). Para determinar dicho signo, tomamos un punto de prueba en cada intervalo c j I j y calculamos el valor f(c j ). c j f(c j ) signo (, ) 6 ª (, 2 ) ( 2, 3 ) 2 ª ( 3, + ) 4 4 La solución es I 2 I 4 = 0, , +. Ejercicio 2 Determina del dominio de las siguientes funciones (a) f() = 2. (b) f() =ln( 2 ). (c) f() = 2 2. (d) Representa gráficamente las funciones y verifica los resultados. (a) Paraquelaraízcuadradaestédefinida, se ha de cumplir 2 0. Resolvemos la inecuación cuadrática y obtenemos Dom(f) =(, ] [, + ). (b) Para que el logaritmo esté definido, se debe cumplir 2 >0. Resulta Dom(f) =(, 0) (, + ). (c) Paraquelaraízcuadradaestébiendefinida, debe cumplirse 2 2 0, además, debemos evitar que el denominador se anule, por lo tanto Dom(f) ={ R :2 2 > 0}

4 Francisco Palacios Tema : Preliminares. 4 Si resolvemos la desigualdad 2 2 > 0 resulta Dom(f) = ³ 2, 2. (d) Ver resolución con Maple. Ejercicio 3 Consideramos la función f() = 2 ln. (a) Calcula M = ma [2,3] f 000 (), m = min [2,3] f 000 (). (b) Calcula las derivadas con Maple; usa un gráfico para estimar M y m. (a) Calculamos f 000 () La función objetivo es f() = 2 ln, f 0 () =2 ln +, f 00 () =2ln +3, f 000 () = 2. h() = 2. Observamos que la función h() es continua en el intervalo cerrado [2, 3]. Calculamos la derivada de h() h 0 () = 2 2, h 0 () es negativa en [2, 3], por lo tanto, h() es decreciente en el intervalo M = ma h() =h(2) =, [2,3] m = min h() =h(3) = 2 [2,3] 3. (b) Ver resolución con Maple. Ejercicio 4 Consideramos la función f() =e.

5 Francisco Palacios Tema : Preliminares. 5 (a) Calcula M = ma [0,2] f (iv) (), m = min [0,2] f (iv) (). (b) Calcula las derivadas con Maple; usa un gráfico para estimar M y m. (a) Calculamos f (4) () f() =e, La función objetivo es f 0 () =e + e, f 00 () =2e + e, f 000 () =3e + e, f (4) () =4e + e. h() =4e + e. Calculamos la derivada de la función objetivo h 0 () =5e + e. h 0 () es suma de términos positivos y, por lo tanto, es positiva en [0, 2]; entonces resulta que la función objetivo h() es creciente en el intervalo. M = ma [0,2] h() =h(2) = 6e2, m = min h() =h(0) = 4. [0,2] (b) Ver resolución con Maple. Ejercicio 5 Sean dos números reales a<b,estudia si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas. En caso de ser falsas, encuentra un contraejemplo. (a) a 3 >b 3. (b) a< b. (c) ln a<ln b. (d) a 2 <b 2. (e) cos a<cos b. (f) e a <e b.

6 Francisco Palacios Tema : Preliminares. 6 (g) e a <e b. (a) Es falsa. Si tomamos f() = 3 y calculamos la primera derivada, resulta f 0 () =3 2, que es positiva para todo R. Obtenemos que f() = 3 es una función creciente en todo R, en consecuencia, si a<b,debe ser a 3 <b 3. (b) Si a y b son números reales arbitrarios, a o b pueden no eistir. f() = está bien definida y es creciente en el intervalo [0, + ), por lo tanto si 0 a<b,entonces se cumple a< b. (c) Este caso es parecido al anterior, si a 0, la desigualdad ln a<ln b no tiene sentido. Por otra parte, la función f() =ln está bien definida y es creciente en el intervalo (0, + ), por lo tanto, si 0 <a<b,entonces se cumple ln a<ln b. (d) En general es falsa. Tomemos por ejemplo a = 2 y b =, entonces tenemos a<bysinembargoa 2 >b 2. La función f() = 2 es creciente en el intervalo [0, + ), por lo tanto, si 0 a<b,entonces se cumple a 2 <b 2. (e) En general es falsa. (f) Cierta, f() =e es creciente en todo R. (g) Falsa, f() =e es decreciente en todo R. Ejercicio 6 Determina el menor n N que verifica e 80n e 80n , 2e n2, e n2, 00e n 2, 9 r 00e n = 0 e ' Como n debe ser un número natural, la solución es n =6. Ejercicio 7 Consideramos la función h() = 232 +sincos

7 Francisco Palacios Tema : Preliminares. 7 (a) Usando las propiedades del valor absoluto, determina una cota superior de la función en el intervalo [0, ]. (b) Representa la función con Maple y verifica el resultado. (a) Aplicamos la desigualdad triangular: 232 +sincos sin cos Si [0, ], resulta que las epresiones 23 2, sin cos 2, y son todas 3 +2 positivas, por lo tanto 232 +sincos sin cos , El primer término es creciente y el último decreciente ma [0,] 232 =23, ma [0,] 3 +2 = 2 El comportamiento del término sin cos 2 no está tan claro, no obstante, como sin y cos 2, podemos asegurar que sin cos 2. Finalmente, obtenemos: 232 +sincos =24.5. Nota. Observa que en este caso no sería correcto el siguiente razonamiento: como sin y cos 2, entonces sin cos 2. En general si a b y c d, no podemos garantizar que ac bd. En efecto, podemos tomar 2 y 3, si multiplicamos término a término las desigualdades, resulta 6. La siguiente propiedad sí es cierta: si a b y 0 c d, entonces ac bd. Como sin y 0 cos 2, sí que podemos afirmar que sin cos 2 yporlotanto sin cos 2. (b) Ver resolución con Maple. Ejercicio 8 Consideramos la función f() = ln. (a) Determina los etremos absolutos de f() sobre el intervalo [ 2, 3].

8 Francisco Palacios Tema : Preliminares. 8 (b) Representa la función con Maple y verifica el resultado. (a) La función f() es continua en el intervalo cerrado [/2, 3], por lo tanto tiene etremos absolutos en [/2, 3]. Los etremos absolutos de f() pueden producirse en Puntos frontera del intervalo: =/2, =3. Puntos interiores (/2, 3) que son puntos críticos de f(). Como f() es de la forma f() = g(), con g() = ln, los puntos críticos de f() se producen en una de las tres situaciones siguientes: (i) g() =0, (ii) g 0 () =0, (iii) g 0 () no eiste. (i) Resolvemos ln() = 0, ln = 0, =. (ii) g 0 () =ln +. Resolvemos ln + = 0, ln =, = e = e ' / (/2, 3). (iii) Finalmente, observamos que g() es derivable en todo el intervalo (/2, 3). Calculamos el valor de f() sobre los puntos candidatos Por lo tanto M = f() / ma f() =f(3) = , m = min f() =f() = 0. (/2,3) (/2,3) (b) Ver resolución con Maple. Ejercicio 9 Dada la función f() = 2 ln y el intervalo [a, b] =[, 2]

9 Francisco Palacios Tema : Preliminares. 9 (a) Determina una cota superior para f (iv) (t), t [a, b]. (b) Usa la cota obtenida para determinar un valor de h, lo más grande posible, que verifique E s (h) < E s (h) = b a 80 h4 f (iv) (t), t [a, b]. (a) Calculamos f (iv) (). f() = 2 ln, f 0 () = 2 ln +, f 00 () = 2ln +3, f 000 () = 2, f (iv) () = 2 2. La función objetivo es g() = 2 2 = 2 2. Calculamos g 0 () = 4/ 3, queesnegativaentodoelintervalo[, 2]; por lo tanto, g() es decreciente en el intervalo M = ma [,2] f (iv) () = ma g() =g() = 2 [,2] =2. (b) Queremos determinar un valor de h tal que b a 80 h4 f (iv) (t) , t [a, b]. Sustituimos el valor de a y b y aplicamos las propiedades del valor absoluto b a 80 h4 f (iv) (t) = 80 h4 f (iv) (t) = f 80 h4 (iv) (t) Teniendo en cuenta la cota superior obtenida en el apartado anterior, resulta b a 80 h4 f (iv) (t) 80 h4 2= h4 90. Eigimos h

10 Francisco Palacios Tema : Preliminares. 0 y resolvemos la desigualdad h , h 4p = Si tomamos h =0.2590, podemos garantizar que se cumple b a 80 h4 f (iv) (t) para todo t [, 2]. Ejercicio 0 Consideramos la función f() =e /2. (a) Calcula una cota superior M n tal que f (n) (t) M n, t [0, ]. (b) Usa M n+ para determinar un valor de n N, lomenorposible,que verifique f (n+) (t) R n () = (n +)! n , t, [0, ]. (a) Calculamos algunas derivadas de f(t) f(t) = e t/2, f 0 (t) = 2 e t/2, f 00 (t) = 4 e t/2, f 0 (t) = 2 e t/2, f 00 (t) = 2 2 e t/2, f 000 (t) = 8 e t/2, f 000 (t) = 2 3 e t/2. La función objetivo es h(t) = f (n) (t) = 2 n e t/2, calculamos la primera derivada de h(t) h 0 (t) = 2 n+ e t/2, que es negativa para todo valor de t, por lo tanto, h(t) es decreciente y resulta M n =maf (n) (t) =ma t [0,] t [0,] h(t) =h(0) = 2 n.

11 Francisco Palacios Tema : Preliminares. (b) Aplicamos la propiedad ab = a b y resulta f (n+) (t) (n +)! n+ = f (n+) (t) n+. (n +)! Como [0, ], tenemos n+, para f (n+) (t) usamos la cota superior del apartado (a). f (n+) (t) (n +)! n+ M n+ (n +)! = 2 n+ (n +)!. Eigimos 2 n+ (n +)! Recordamos que n N, por lo tanto, podemos resolver la desigualdad calculando algunos valores n 2 n+ (n+)! 4 2! = ! = ! = ! = ! = ! = La solución es n =6.

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