Ejercicio 1 Dada la matriz A = 1. Calcula los valores propios. 2. Determina una base de vectores propios. 3. Diagonaliza la matriz.

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1 Métodos Numéricos: soluciones Tema 7: Valores y vectores propios Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Mayo 8 Versión. Ejercicio Dada la matriz A µ.. Calcula los valores propios.. Determina una base de vectores propios. 3. Diagonaliza la matriz. 4. Verifica los resultados con Maple.. Valores propios. Calculamos el polinomio característico p(λ) A λi λ λ p(λ) λ λ 3. la ecuación característica p(λ) λ λ 3 Obtenemos λ λ 3. El espectro de A es σ(a) { 3}.. Base de vectores propios. Vectores propios asociados a λ. (A + I) v ~ µ µ µ x y ½ ½ x +y x + y x +y x + y ½ x t y t t R.

2 Soluciones a los ejercicios: Valores y vectores propios Vectores propios µ v tv t µ v.. Vectores propios asociados a λ 3. (A 3I) v ~ µ µ µ x y ½ x +y x + y x y vectores propios Base de vectores propios 3. Diagonalización V µ v tv t µ ½ x t y t µ v V {v v }. D V AV. V. µ t R D µ µ µ µ µ 3 3 µ µ. 6 3 Ejercicio Consideramos la matriz µ a a A. a a. Demuestraqueelpolinomiocaracterísticoes p(λ) λ traza(a) λ +det(a).. Demuestra que A tiene dos valores propios reales distintos si y sólo si [traza(a)] > 4det(A). Recuerdaquelatrazadeunamatrizeslasumadeloselementosdela diagonal.

3 Soluciones a los ejercicios: Valores y vectores propios 3. p(λ) det(a λi) a λ a a λ a (a λ)(a λ) a a λ (a + a ) λ + a a a a λ traza(a) λ +det(a).. La ecuación tiene soluciones λ traza (A) λ +det(a) q traza (A) ± [traza (A)] 4det(A) λ tendremos dos soluciones reales si [traza (A)] 4det(A) >. Ejercicio 3 Consideramos al matriz µ 5 8 A 6 6. Determina el número de valores propios reales de A usando la traza y el determinante... Calcula el polinomio característicos y el espectro. 3. Determina un base de vectores propios y diagonaliza A. 4. Verifica los resultados con Maple.. polinomio característico traza (A) det (A) 8 p (λ) λ λ +8 [traza (A)] 4det(A) 9 > tenemos dos valores propios reales.. Cálculo de los valores propios p (λ) λ λ +8.

4 Soluciones a los ejercicios: Valores y vectores propios 4 λ ± ( Espectro σ (A) {4 7}. Radio espectral ρ (A) Vectores propios 3.. Vectores propios asociados a λ 4. (A 4I) v ~ µ µ µ 9 8 x 6 y ½ 9x +8y 6x +y x +y. ½ x t y t t R. Vectores propios µ µ v t v 3.. Vectores propios asociados a λ 7. (A 7I) v ~ µ 8. µ µ x 6 9 y ½ ½ x +8y x +3y 6x +9y x +3y ( x t y 3t t R. Vectores propios µ µ 3 v t tomamos v /3. Diagonalización Matriz de cambio D D V AV. µ 3 V V µ 3 µ µ µ µ µ µ

5 Soluciones a los ejercicios: Valores y vectores propios 5 Ejercicio 4 Dada la matriz A. Calcula los valores propios Determina una base de vectores propios. 3. Diagonaliza la matriz. 4. Verifica los resultados con Maple.. Valores propios Polinomio característico p (λ) A λi 3 λ λ λ ( a col. + a col) ( a col.) Sacamos factor ( λ) de a columna ( λ) λ 6 λ 5 λ λ 6 5 λ λ ( λ)[(5 λ)( 8 λ)+3++( 8 λ)] ( λ) 4 5λ +8λ + λ +5 6 λ ( λ) λ + λ 6 {z } factorizamos λ ± 5 λ + λ 6 ( p (λ) ( λ)(λ ) (λ +3) espectro σ (A) { 3 }.. Base de vectores propios... Vectores propios asociados a λ 3. (A +3I) v ~

6 Soluciones a los ejercicios: Valores y vectores propios 6 Reducimos por filas (3 a ) ( a ) ( a ) (3 a ) x y z ( a + a ) ( a ) (3 a 3 a ) (3 a ) ½ x y z y x t y z t t R. Vector propio asociado v. Vectores propios asociados a λ (A I) v ~ x y z Reducimos por filas a ( a ) 4 a ( a ) ( a + a ) ( a ) (3 a +5 a ) (3 a ) ½ x y 6z z Vector propio asociado v.3 Vectores propios asociados a λ x t y t z t R.

7 Soluciones a los ejercicios: Valores y vectores propios 7 Reducimos filas ( a +4 a ) ( a ) (3 a 5 a ) (3 a ) 5 a ( a ) (3 a + a ) (3 a ) (A I) v x y z ½ x y 6z y +4z x y +6z 8t +6t t y 4t z t t R. Vectores propios asociados v t 4 t R tomamos Base de vectores propios 3. Diagonalización Matriz de cambio v 3 Inversa por Gauss-Jordan 4 (3 a a ) (3 a ) 4 V {v v v 3 }. D V AV. V 4 4 3

8 Soluciones a los ejercicios: Valores y vectores propios 8 Inversa 4 (3 a + a ) (3 a ) ( a 3 a ) ( a ) ( a 4 3 a ) ( a ) ( a a ) ( a ) V Diagonalizamos D V AV Ver Resolución con Maple Ejercicio 5 Dada la matriz A 4. Calcula los valores propios.. Determina una base de vectores propios. 3. Diagonaliza la matriz. 4. Verifica los resultados con Maple. 4. Valores propios Polinomio característico p (λ) A λi λ 4 λ λ

9 Soluciones a los ejercicios: Valores y vectores propios 9 p (λ) ( λ) (4 λ) ( λ) ( λ) ( λ)[( λ)(4 λ) 4] ( λ) λ 5λ λ ( λ)(λ 5) espectro σ (A) { 5}.. Base de vectores propios.. Vectores propios asociados a λ. Av ~ 4 x y z Reducimos por filas ( a + a ) ( a ) a ( a ) 3 a + a (3 a ) ½ x y y z x t y t z t t R. Vector propio asociado v. Vectores propios asociados a λ. (A I) v ~ 3 x y z ½ ½ x +3y z x + z y y x t y z t t R. Vector propio asociado v

10 Soluciones a los ejercicios: Valores y vectores propios.3 Vectores propios asociados a λ 3 5. (A 5I) v 4 x y 4 z Reducimos filas ( a ) ( a ) ( a ) ( a 4 ) 4 ( a + a ) ( a 4 ) 4 ½ x + y +z y +4z x ( y z) (4t t) t y 4t z t t R. Vectores propios asociados v t 4 t R tomamos Base de vectores propios 3. Diagonalización Matriz de cambio Inversa v 3 4 V {v v v 3 }. D V AV. V V 5

11 Soluciones a los ejercicios: Valores y vectores propios Diagonalizamos D V AV Ver Resolución con Maple. Ejercicio 6 Dada la matriz 5 5 A queremos determinar el valor propio dominante usando el método de la potencia a partir del vector x (). Haz las 4 primeras iteraciones de forma manual.. Escribe un programa Maple que permita aplicar el método de la potencia. Verifica su funcionamiento con el valor de las iteraciones calculadas manualmente. 3. Aproxima el valor propio dominante con 5 decimales. Determina un vector propio asociado.. Iteraciones manuales. x () Fase. y () Ax () x () 5 c

12 Soluciones a los ejercicios: Valores y vectores propios Fase. y () Ax () Fase 3. y (3) Ax () Fase 4. x ().8 x (3) y (4) Ax (3) x (4) c c c Para el resto de los apartados ver Resolución con Maple. Valor propio dominante λ Ejercicio 7 Sea A una matriz de dimensiones n n con espectro entonces se cumple. λ + λ + + λ n traza(a). λ λ λ n det(a). σ(a) {λ λ...λ n } Usando estas propiedades y los resultados del ejercicio anterior determina el espectro de 4 4 A 5 3 Verifica los resultados con Maple.

13 Soluciones a los ejercicios: Valores y vectores propios 3 Tenemos traza(a) 4+3+ det(a) 36 y las relaciones ½ λ + λ + λ 3 λ λ λ 3 36 en el ejercicio anterior hemos obtenido el valor propio λ 6 entonces ½ λ + λ +6 λ λ 636 ½ λ + λ 5 λ λ 6 Despejamos en la primera ecuación y sustituimos en la segunda ½ λ 5 λ λ (5 λ )6 la ecuación de segundo grado λ 5λ +6 y obtenemos λ 5 ± 5 4 que produce las soluciones ½ 5+ λ 3 λ y λ λ 3. por lo tanto el espectro de A es Ejercicio 8 Consideramos la matriz σ (A) { 3 6}. A Determina el valor propio dominante usando el método de la potencia.. Determina el valor propio de módulo mínimo usando el método de la potencia inversa. 3. Usando la traza y el determinante calcula el espectro de A. 4. Verifica los resultados con Maple.

14 Soluciones a los ejercicios: Valores y vectores propios 4 El valor propio dominante es y el valor propio de módulo mínimo es λ λ.969. Calculamos la traza traza (A). Para el determinante simplificamos previamente operando por filas obtenemos las ecuaciones ½ λ3 + λ λ 3 λ 4 6 ½ λ3 + λ λ 3 λ λ λ Ejercicio 9 Consideramos la matriz 4 4 A 5 3 que tiene un valor propio próximo a λ 3... Calcula dicho valor propio y un vector propio asociado usando el método de la potencia desplazada. Inicia las iteraciones con el vector x () 5. Verifica el resultado con Maple. Se obtiene el valor propio λ 3. Ver Resolución con Maple.

15 Soluciones a los ejercicios: Valores y vectores propios 5 Ejercicio Determina una matriz A con espectro λ.3 λ 5.67 λ y que tenga como vectores propios asociados v.3.4 v v Tenemos la relación donde y Obtenemos la inversa de V es V D V AV D V A VDV por lo tanto la matriz buscada es A Para los Ejercicios y3 ver Resolución con Maple. Ejercicio Usando el método de la potencia determina el valor propio dominante y un valor propio asociado para la matriz obtenida en el Ejercicio. Ejercicio Usando el método de la potencia inversa determina el valor propiodemódulomínimoyunvalorpropioasociadoparalamatrizobtenidaenel Ejercicio. Ejercicio 3 Aplicaelmétododelapotenciadesplazadaconλ 5. ala matriz obtenida en el Ejercicio.