TEMA III: DIAGONALIZACIÓN.

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1 TEMA III: DIAGONALIZACIÓN. OBJETIVOS: Generales: 1. Captar el motivo que justifica el problema de la diagonalización de endomorfismos. 2. Resolver y aplicar dicho problema cuando sea posible. Específicos: Conocerá la relación entre diagonalización y semejanza de matrices. Conocerá los conceptos de valor y vector propio y subespacio propio de un endomorfismo. Sabrá calcular el polinomio característico de un endomorfismo y a partir de el los valores propios de dicho endomorfismo. Sabrá calcular las bases de los subespacios propios asociados a cada valor propio de un endomorfismo. Sabrá calcular la matriz del cambio de base que nos permita obtener la matriz diagonal del endomorfismo. Sabrá estudiar si una matriz es diagonalizable o no en, según el valor de los parámetros que en ella parezcan. Sabrá diagonalizar mediante semejanza ortogonal cualquier matriz simétrica. Sabrá aplicar el problema de la diagonalización cuando sea preciso. BIBLIOGRAFÍA Álgebra lineal con métodos elementales, L. Merino, E. Santos, Álgebra y Geometría Analítica, F. Granero. McGraw- Hill, "Álgebra lineal y teoría de matrices", R. Barbolla y P. Sanz, Álgebra lineal y geometría: curso teórico-práctico, J. García-García y M. López Pellicer. Marfil, Álgebra lineal y geometría: ejercicios, J. García- García y M. López Pellicer. Marfil, Problemas de álgebra lineal: cuestiones, ejercicios y tratamiento en Derive, P. Sanz, Problemas de Álgebra: Espacios vectoriales, M. Anzola y otros, 1981.

2 Álgebra II Dipl. Estadística + Ing. Inf. Gestión I. SEMEJANZA DE MATRICES. EL PROBLEMA DE LA DIAGONALIZACIÓN. Sabemos que dado un endomorfismo f de un espacio vectorial V sobre y elegida una base B de V, la matriz M B (f) identifica completamente a f. Parece entonces que sería conveniente hacer elecciones de bases B de forma que M B (f) sea lo mas sencilla posible. Claramente las matrices diagonales son las mas sencillas a la hora de efectuar operaciones. Parece que lo que debemos buscar es bases donde las matrices de f sean diagonalizables. Este proceso se llama diagonalización de f. Recordemos que dos matrices cuadradas A y B son semejantes si existe una matriz regular P de forma que B = P -1 AP. En este tema nos planteamos dada una matriz A encontrar otra matriz D semejante a A y de forma que D sea diagonal. Dada A n ( ), entonces A es la matriz asociada a un endomorfismo f: n n respecto de la base canónica B de n. Si D es una matriz semejante a A, esto es: D = P -1 AP para cierta matriz regular P, entonces D será la matriz asociada a f respecto de una nueva base B de n de forma que la matriz de cambio de base de B a B sea P. Se trata pues de ver como ha de ser la base B para que la matriz asociada a f sea diagonal. Si B ={u 1,u 2,...,u n }, entonces la matriz asociada a f respecto de B es la matriz cuyas columnas son las coordenadas respecto de B de los vectores f(u 1 ),...,f(u n ) y por tanto si λ 1 0 D = : 0 0 λ2 : : λ n entonces se tendrá que f(u i )=(0,...,λ i,...,0) B =λ i u i para todo i=1,...,n. El problema será encontrar vectores linealmente independientes u 1,...,u n tales que para cada i se verifique f(u i )=λ i u i para ciertos escalares λ 1,...,λ n. II. VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UN ENDOMORFISMO. Sea V un espacios vectorial sobre y sea f:v V una endomorfismo de V. Se dice que el escalar λ es un valor propio (o autovalor) de f si existe un vector no nulo u V de forma que f(u) = λu.

3 Curso Tema 3: Diagonalización Para un escalar λ, llamaremos vector propio (o autovector) asociado a λ a cada vector u de V tal que f(u)= λu. Denotamos por V λ al conjunto de todos los autovectores asociados a λ, esto es: V λ ={u V/ f(u)= λu} Sea V un espacio vectorial sobre de dimensión n, f un endomorfismo de V y sea A la matriz asociada a f respecto de una base de V. Dado λ, se verifica: 1. V λ = Ker(f - λi). 2. V λ es un subespacio vectorial de V. 3. dim(v λ ) = n - rg(a - λi). 4. λ es autovalor de f det(a - λi) =0. Al subespacio V λ recibe el nombre de subespacio propio de λ. III. POLINOMIO CARACTERISTICO. Según hemos visto, para un endomorfismo f de matriz asociada A, un escalar λ es un valor propio de f si, y solo si, det(a - λi) =0; ahora bien, considerando el escalar λ como indeterminada, este determinante a11 λ a12 L a1n a21 a22 λ L a2n det(a - λi)= M M O M an1 an2 L ann λ es un polinomio en λ, p(λ), de grado n que recibe el nombre de polinomio característico de f. Los valores propios serán precisamente las raíces del polinomio característico. En particular se tiene que el número máximo de valores propios de f es exactamente n. Además el polinomio característico de f no depende de la matriz asociada a f que se considere. En general, puede ocurrir que el polinomio característico no tenga exactamente n raíces. Una primera posibilidad involucra al cuerpo que se esté considerando, así si =, todas las raíces del polinomio han de estar en, pero si = puede suceder que el polinomio característico tenga raíces imaginarias que no nos sirven como autovalores, incluso aun cuando tenga todas las raíces en, puede tener menos de n valores propios distintos por la aparición de raíces múltiples. Para cada i, llamaremos multiplicidad algebraica del valor propio λ i a la multiplicidad de λ i como raíz del polinomio característico, es decir, el mayor exponente α i para el cual el factor (λ i -λ) αi aparece en la descomposición

4 Álgebra II Dipl. Estadística + Ing. Inf. Gestión de p(λ). Llamaremos multiplicidad geométrica de λ i a la dimensión d i del subespacio propio V λi, esto es: d i = dim(v λi ) = n - rg(a-λ i I) La relación entre las multiplicidades algebraicas y geométricas viene dada por el siguiente resultado. Sea V un espacio vectorial sobre Κ de dimensión n y sea f: V V un endomorfismo de V de matriz asociada A y sean λ 1,λ 2,...,λ r sus valores propios distintos. Entonces para cada i=1,...,r se tiene 1 d i α i. IV. DIAGONALIZACIÓN DE UN ENDOMORFISMO POR SEMEJANZA. Se dice que una matriz cuadrada A es diagonalizable si existe una matriz diagonal D semejante a A. Diremos que el endomorfismo f:v V es diagonalizable si existe una base de V con respecto a la cual la matriz asociada a f es diagonal. Un endomorfismo f:v V es diagonalizable si existe una base de V formada por vectores propios de f. Lema 1. Vectores propios no nulos asociados a valores propios distintos son linealmente independientes. 2. Los subespacios propios asociados a valores propios distintos son subespacios independientes. Teorema Sea f: V V un endomorfismo y sean λ 1,λ 2,...,λ r sus distintos valores propios. Entonces f es diagonalizable si, y solo si, se verifica las siguientes condiciones: 1. α α r = n (todas las raíces del polinomio característico de f están en ). 2. d i = α i, para cada i = 1,...,r. Corolario Sea A una matriz cuadrada de orden n, si A tiene n valores propios distintos en, entonces es diagonalizable. El problema de la diagonalización se resume: Paso 1: Calculamos el polinomio característico p(λ). Paso 2: Descomponemos p(λ) calculando sus raíces. Si alguna de ellas es compleja, la matriz no será diagonalizable en, pero puede serlo en. Una vez hecho

5 Curso Tema 3: Diagonalización esto, tenemos calculados los valores propios y sus multiplicidades algebraicas. Paso 3: Calculamos las multiplicidades geométricas, d i = n - rg(a - λ i I). Paso 4: Aplicamos el teorema anterior (criterio de diagonalización). Si para algún i se tiene d i α i, entonces la matriz no es diagonalizable. En caso contrario la matriz es diagonalizable y su forma diagonal es la matriz diagonal cuya diagonal está formada por los autovalores repetidos cada uno según su multiplicidad. Paso 5: Obtenemos bases de los subespacios propios V λi = Ker(f - λ i I). Paso 6: Uniendo estas bases se obtiene una base de V para la cual la matriz asociada es D. Así pues la matriz de cambio de base, cuyas columnas son las coordenadas de estos vectores propios, es la matriz de paso P que verifica D = P -1 AP. V. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES SIMÉRICAS. Sea V un espacio vectorial euclídeo, un endomorfismo f:v V se dice simétrico si verifica <f(u), v> = <u, f(v)>, u, v V. Sea V un espacio vectorial euclídeo, sea f:v V un endomorfismo y sea A la matriz asociada a f respecto de una base ortonormal de V. Entonces f es un endomorfismo simétrico si, y solo si, A es una matriz simétrica. Si f:v V es un endomorfismo simétrico, entonces todos los valores propios de f son reales. Toda matriz simétrica real es diagonalizable en. Si λ y µ son valores propios distintos de un endomorfismo simétrico y v y w son vectores propios asociados a λ y µ respectivamente, entonces v w. Corolario Si A es una matriz simétrica real, entonces existe una matriz P ortogonal y una matriz D diagonal tales que D = P t AP. La diagonalización de una matriz real simétrica usando como matriz de paso una matriz ortogonal se denomina diagonalización por semejanza ortogonal y es al mismo tiempo una diagonalización por semejanza y una diagonalización por congruencia.

6 Álgebra II Dipl. Estadística + Ing. Inf. Gestión VI. APLICACIONES DE LA DIAGONALIZACIÓN. Entre las aplicaciones de la diagonalización podemos destacar: a) Calculo de la raíz cuadrada de una matriz diagonalizable: Dada una matriz A n ( ) diagonalizable de forma que todos sus valores propios tienen raíz cuadrada en, entonces existe una matriz C n ( ) tal que C 2 = A. Si A = P -1 DP, donde D es la matriz diagonal y P es la matriz regular, dicha matriz vendrá dada por C = P -1 D ½ P donde la matriz D ½ es diagonal y se obtiene de D calculando la raíz cuadrada de los elementos de la diagonal de la matriz D. b) Calculo de la potencia de una matriz diagonalizable: Dada una matriz A n ( ) diagonalizable en con A = P -1 DP, donde D es la matriz diagonal y m + se tiene que A m = P D m P -1 donde la matriz D m es diagonal y se obtiene de D elevando a m los elementos de la diagonal de D. Si además A fuese regular y p un entero negativo tendríamos A p = (A -1 ) m donde m = -p +. Repitiendo el proceso anterior para A -1 en lugar de A podemos calcular A p.