Diagonalización simultánea de formas cuadráticas.

Transcripción

1 Diagonalización simultánea de formas cuadráticas Lucía Contreras Caballero Dadas dos formas cuadráticas, si una de ellas es definida positiva, se puede encontrar una base en la que las dos diagonalizan simultáneamente [B] Este resultado no es sólo cierto cuando una de ellas es definida positiva, sino que cuando una de ellas es no degenerada, existen condiciones necesarias y suficientes para que las dos formas cuadráticas sean diagonalizables simultáneamente Cuando una de las formas cuadráticas es no degenerada, si A es la matriz de la forma cuadrática no degenerada y A es la matriz de la otra forma cuadrática, es necesario y suficiente que A 1 A sea diagonalizable para que las dos sean diagonalizables simultáneamente Para estudiar un caso más general, en el que sólo exigimos que una de las formas cuadráticas sea no degenerada utilizamos aquí los conocimientos del espacio dual Recordemos que el espacio dual V n de un espacio vectorial real V n es el espacio vectorial de las aplicaciones lineales definidas en ese espacio con valores reales Cada elemento del dual es una aplicación lineal ψ : V n R a la que corresponde una matriz 1 n : (a 1, a 2,, a n ), tal que R es el cuerpo del espacio vectorial ψ(y) = (a 1, a 2,, a n ) El núcleo de ψ es el conjunto de vectores y que verifican: a 1 + a a n = 0 Es de dimensión n 1 salvo que todos los a i sean nulos en cuyo caso la aplicación ψ es nula y su núcleo es todo el espacio 1

2 Si {e 1, e 2,, e n } es una base de V n, su base dual es {e 1, e 2,, e n} V n Los elementos de la base dual están caracterizados por e i (e j ) = 0, si i j y e i (e i ) = 1 En esta base las coordenadas de la ψ anterior son (a 1, a 2,, a n ) Pasando ahora al problema que nos ocupa, si f : V n V n R es una forma bilineal, al fijar un vector x V n, la aplicación: y f(x, y) es lineal Vamos a escribir ϕ(x) V n esta aplicación que es un elemento del dual definda por: (ϕ(x))(y) = f(x, y) Puede considerarse ϕ como una aplicación de V n en V n Es otra aplicación lineal Para hallar su matriz en una base dada de V n y en la dual de ella en V n tendremos que hallar las coordenadas de las imágenes de los vectores de la base: Tenemos ϕ(e 1 )(y) = (1, 0,, 0)A = (a 11, a 12,, a 1n ) lo que nos dice que las coordenadas de ϕ(e 1 ) en el dual son (a 11, a 12,, a 1n ) (pimera fila de A) Haciendo la misma operación para cada e i, tenemos: ϕ(e i )(y) = (0, 0,, 1,, 0)A = (a i1, a i2,, a in ) lo que nos dice que las coordenadas de ϕ(e i ) en la base dual de la considerada son (a i1, a i2,, a in ) (i-ésima fila de A) Al colocar estas coordenadas en columnas obtenemos la matriz A t como matriz de la aplicación ϕ Proposición 1 Dada una forma cuadrática no degenerada de matriz A, y otra de matriz A, es condición necesaria para que los vectores de una base diagonalicen simultáneamente a dos formas cuadráticas que dichos vectores sean vectores propios de A 1 A Demostración: Suponiendo resuelto el problema de diagonalización simultánea de las formas cuadráticas Q de matriz simétrica A y Q de matriz simétrica A, existe una base de vectores {,,, } tales que f(v i, v j ) = 0 = f (v i, v j ) si i j, o sea, ϕ(v i )(v j ) = 0 = ϕ (v i )(v j ) si i j; dicho de otra 2

3 manera: existe una base de vectores {,,, } tal que kerϕ(v i ) v j si i j y kerϕ (v i ) v j si i j Para cada i estos dos núcleos tienen en común al menos n 1 vectores Por lo tanto, o son coincidentes o uno de ellos es todo el espacio V n Las ecuaciones de los núcleos kerϕ(x) y kerϕ (x) son: kerϕ(v i ) (a 1, a 2,, a n ) kerϕ (v i ) (a 1, a 2,, a n) = 0 donde (a 1, a 2,, a n ) = (v i1, v i2,, v in )A = 0 donde (a 1, a 2,, a n) = (v i1, v i2,, v in )A Cuando Q es no degenerada, (a 1, a 2,, a n ) (0, 0,, 0) ϕ(v i ) Si los dos núcleos son iguales, existe λ tal que Si el segundo núcleo es todo el espacio, En cualquier caso, la igualdad λ(a 1, a 2,, a n ) = (a 1, a 2,, a n) (a 1, a 2,, a n) = (0, 0,, 0) = 0(a 1, a 2,, a n ) λ(a 1, a 2,, a n ) = (a 1, a 2,, a n) es cierta, aún en el caso en que λ = 0 Como a 1 a 2 a n = At La igualdad anterior se expresa: = A, y a 1 a 2 = t A a n = A 3

4 Multiplicando por A 1 tenemos que λa λ = A = A 1 A es decir, el vector v está en una base que las diagonaliza simultánemente, si v es vector propio de A 1 A Es Proposición 2 Si Q es no degenerada, de matriz A, y Q es otra forma cuadrática de matriz A, para que los vectores {,,, } diagonalicen simultáneamente a Q y a Q, es suficiente que los vectores propios de A 1 A correspondan a valores propios distintos Demostración: Vamos a comprobar que f(v i, v j ) = ϕ(v i )(v j ) = 0 = ϕ (v i )(v j ) = f (v i, v j ) Si v i, v j corresponden a valores propios distintos de A 1 A (λ i λ j ) En efecto, por ser las formas bilineales simétricas, ϕ (v i )(v j ) = ϕ (v j )(v i ) y ϕ(v i )(v j ) = ϕ(v j )(v i ) También, como ϕ tiene inversa por ser Q no degenerada, ϕ (v i )(v j ) = ϕ ϕ 1 (ϕ (v i ))(v j ) = (ϕ(ϕ 1 ϕ )(v i ))(v j ) = ϕ(λ i v i )(v j ) = λ i ϕ(v i )(v j ) ϕ (v j )(v i ) = ϕ ϕ 1 (ϕ (v j ))(v i ) = (ϕ(ϕ 1 ϕ )(v j ))(v i ) = ϕ(λ j v j )(v i ) = λ j ϕ(v j )(v i ) de donde λ i ϕ(v i )(v j ) = λ j ϕ(v j )(v i ) es decir (λ i λ j )ϕ(v i )v j = 0 4

5 lo que implica 0 = ϕ(v i )(v j ) = f(v i, v j ) y (ϕ (v i ))(v j ) = λ i ϕ(v i )(v j ) = 0 Según esta condición, podremos diagonalizar simultáneamente las dos formas cuadráticas si todos loa valores propios de A 1 A son simples Con el fin de resolver el problema cuando hay valores propios múltiples veamos que en los subespacios de vectores propios correspondientes a cada valor propio, podemos encontrar vectores propios ortogonales respecto a la forma cuadrática no degenerada Q: Proposición 3 Si Q es una forma cuadrática no degenerada de matriz A, Q es otra forma cuadrática cualquiera de matriz A y la matriz A 1 A es diagonalizable, podemos encontrar una base de vectores propios de A 1 A que diagonaliza simultáneamente a Q y a Q aunque la multiplicidad de los valores propios de A 1 A sea mayor que 1 Si L λi es el subespacio de vectores propios de A 1 A para el valor propio λ i, la restricción de Q a ese subespacio admite una matriz simétrica, que es diagonalizable en ese subespacio, los vectores de L λi que diagonalicen esta restricción son vectores propios de A 1 A que también verifican f(v i, v j ) = 0 y por tanto f (v i, v j ) = (ϕ (v i ))(v j ) = λ i ϕ(v i )(v j ) = 0 Podemos deducir de las proposiciones anteriores que si A 0 y A 1 A es simétrica, las dos formas cuadráticas son diagonalizables simultáneamente Recuperamos el caso en que una de las formas cuadráticas pej Q es definida positiva, ya que como corresponde a un producto escalar, siempre se puede encontrar una base en la que la matriz correspondiente sea I Entonces, si la matriz de Q en la base primitiva era A, al cambiar de base se transforma en una del tipo C t A C En esta nueva base el endomorfismo ϕ 1 ϕ se expresa por IC t A C = C t A C, matriz simétrica, que por tanto es diagonalizable Cálculo de la base que diagonaliza simultáneamente a dos formas cuadráticas Para calcular los valores propios de A 1 A sin calcular A 1, tenemos en cuenta que: λ es valor propio de A 1 A si y sólo si 0 = A 1 A λi = A 1 A λa 1 A = A 1 A λa 0 = A λa Esta última ecuación es la que resolveremos para no calcular inversas En cuanto a los subespacios de vectores propios que las diagonalizan, tienen que satisfacer 5

6 0 = (A 1 A λi)v = (A 1 A λa 1 A)v = A 1 (A λa)v = 0 (A λa)v = 0 Si los valores propios son distintos y cada uno de estos subespacios es de dimensión 1, los vectores propios que los engendran son una base que diagonaliza simultáneamente a Q y a Q Si para algún valor propio λ i el subespacio de vectores propios correspondiente L λi es de dimensión mayor, tendremos que encontrar en cada uno de ellos una base que diagonalice a Q y la unión de estas bases diagonaliza simultáneamente a Q y a Q, por lo demostrado en la proposición 3 Ejercicios: 91 Diagonalizar simultáneamente las formas cuadráticas: a) Q(x, y) = 4xy, Q (x, y) = x 2 + 4xy + 2 b) Q(x, y) = 4xy, Q (x, y) = x 2 + 2xy + 2 c) Q 1 (x, y, z) = x 2 8xy xz + 4yz + 4z 2, Q 2 (x, y, z) = 6x 2 + 8xy + 4 2xz 4yz + 2z 2 (valores de λ : 1, 2, 3) d)q 1 (x, y, z) = 2x 2 4xy 2 + 2xz + 2yz z 2 Q 1 (x, y, z) = 4x 2 + 4xy + 2 2xz 2yz + z 2, (valores de λ : 1, 0) 92 Comprobar que pueden diagonalizarse simultáneamente: Q(x, y, z, t) = 2xy + 2xz 4yz + 4yt + 4t 2 Q (x, y, z, t) = x 2 + 4xt yz + z 2 + 4t 2 93 Comprobar que no son diagonalizables simultáneamente las formas cuadráticas: Q(x, y, z) = 2xy + 2xz + 2yz Q (x, y, z) = 2xy 2xz 2yz Bibliografía: B] F Brickell Matrices and vector spaces George Allen and Unwin Ltd, 1972 [G] L I Golovina Algebra Lineal y algunas de sus aplicaciones Ed Mir