ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA PROGRAMA ANALITICO

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1 ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA PROGRAMA ANALITICO AÑO 2008

2 Unidad I: Números Complejos Comprenda la necesidad de ampliar los conjuntos numéricos con los que habitualmente trabaja, a fin de resolver problemas concretos que se presentan Resuelva operaciones en el conjunto de números complejos y diferencie las condiciones de existencia de las mismas respecto del conjunto de números reales. Analice su aplicación para las diferentes especialidades de las carreras de ingeniería que se dictan en la Facultad Regional Avellaneda. Conjuntos numéricos: introducción a los números complejos. La necesidad de su existencia. Definición del número complejo como par ordenado de números reales. Relación entre los números complejos y las coordenadas de los puntos del plano. Álgebra de los números complejos: concepto de igualdad; operaciones básicas: suma; producto de un complejo por un escalar, producto entre complejos. La unidad imaginaria. El cuadrado de la unidad imaginaria como número entero negativo. Conjugado de un número complejo. Propiedades. Forma binómica de los números complejos. Operaciones: suma, diferencia, producto, cociente. Forma polar. Definición desde el sistema de referencia polar en R 2. Comparación con el sistema cartesiano que define la forma de par ordenado. Cálculo del módulo y argumento de un complejo en la forma polar. Propiedades del módulo aplicando ejercicios de la Guía de Trabajos Prácticos. Obtención del argumento en los cuatro cuadrantes. Forma trigonométrica. Operaciones: producto, cociente, potenciación (fórmula de De Moivre: extensión de su aplicación a exponentes enteros), radicación (demostración). Con un ejemplo numérico probar que la raíz enésima tiene n resultados diferentes. Diferencias de fase (angulares) entre complejos sucesivos en una raíz: visualizar a través de ejemplos. Forma exponencial: indicar como se llega a la misma a partir del desarrollo en serie de potencias de la expresión trigonométrica (sin demostración) Su aplicación en las operaciones básicas: producto, cociente, potenciación, radicación; empleando propiedades de las funciones exponenciales. Demostración a partir de éstas del producto y del cociente. Logaritmo de un complejo: definición. Demostración. Probar con un ejemplo la existencia de infinitos logaritmos para un número complejo. Valor principal. Exponencial compleja: su cálculo mediante ejemplos. Relaciones entre las distintas notaciones. Operaciones aplicables en cada una de ellas. Campos de aplicación. Duración: 1,5 clases

3 Unidad II: Álgebra vectorial Amplíe y profundice conocimientos adquiridos sobre los vectores físicos y geométricos, extendiéndolos a R n. Eliminado: Utilice a los vectores como herramienta básica en el cálculo algebraico. Identifique aplicaciones concretas en el campo de la física, geometría e ingeniería. Sistemas coordenados en R 1, R 2 y R 3. Noción de distancia en cada espacio. Extensión del Teorema de Pitágoras para su cálculo. Definición del vector como segmento orientado. Vectores en R 2 y R 3. Operaciones: adición, producto de un escalar por un vector. Propiedades de cada operación. Introducción al concepto de espacio vectorial. Concepto de módulo o norma. Propiedades del módulo (enunciado) Forma canónica y cartesiana de un vector. Definición del vector como n upla ordenada de números reales. Extensión a R n. Operaciones. Ángulos y Cosenos Directores. Definiciones. Propiedades. Versor asociado. Demostración utilizando un ejemplo numérico. Obtención del versor asociado a partir de los cosenos directores. Condiciones de paralelismo entre vectores. Producto escalar: definición. Aplicaciones en la física: concepto de trabajo de una fuerza en un desplazamiento. Propiedades del producto escalar: enunciado. Condición de ortogonalidad (demostración) Producto escalar de los versores canónicos. Deducción de la expresión del producto escalar en función de las componentes (para R 3 ) Extensión a R n. Interpretación geométrica: proyección de un vector sobre otro y componente ortogonal de un vector respecto de otro. Demostraciones. Noción de producto interior. Vinculación del mismo con la métrica. Producto vectorial: definición. Propiedades. Aplicaciones en la física (momento) Producto vectorial de los versores canónicos. Expresión del producto vectorial para los vectores dados en forma canónica (demostración optativa o bien aplicación utilizando ejemplos numéricos) Cálculo empleando determinantes. Breve introducción a los determinantes: procedimiento de Sarrus para cálculo de determinantes asociados a matrices cuadradas de 3 x 3 (optativo). Regla de Laplace. Interpretación geométrica del producto vectorial (demostración). Producto mixto: definición. Propiedades. Interpretación geométrica. Noción de coplanareidad. Cálculo aplicando determinantes. Breve mención a las propiedades de los determinantes que intervienen en el cálculo del producto mixto.

4 Combinación lineal de vectores. Independencia y dependencia lineal de un conjunto de vectores. Propiedades de los conjuntos linealmente independientes y dependientes. Estudio mediante el uso de sistemas de ecuaciones lineales. Breve referencia al método de Gauss (triangulación y Gauss Jordan) para la resolución de los problemas vinculados con estos temas. Breve mención a los sistemas homogéneos. Introducción al concepto de coordenadas de un vector cuando se trabaje con el tema de combinaciones lineales. Duración: 4 clases

5 Unidad III: Recta en R 2, Plano y Recta en R 3 Aplique los conceptos del álgebra vectorial en la resolución de temas geométricos concretos. Identifique dichos elementos geométricos y los relaciones con sus expresiones algebraicas. Adquiera destreza en el manejo de problemas geométricos relativos al plano y al espacio. 1. Recta en R 2 Deducción de su ecuación aplicando vectores. Deducción de las formas simétrica, implícita, segmentaria y explícita. Definiciones. Relaciones entre ellas. Características. Representación gráfica usando los elementos distintivos que aparecen en cada forma de la ecuación de la recta. Posiciones relativas de dos rectas en R 2. Su estudio mediante sistemas de ecuaciones lineales. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad. Geometría métrica: ángulo; distancia. (demostraciones) Aplicaciones. 2. Plano Deducción de la ecuación general del plano utilizando vectores. Distintos casos: un punto y un vector normal (demostración), dos vectores no paralelos y un punto (utilizando el caso anterior), tres puntos no alineados (ídem) Ecuación paramétrica vectorial de un plano como consecuencia del concepto de producto mixto y de la combinación lineal de vectores. Situaciones particulares de la ecuación del plano: paralelo a los ejes coordenados y a los planos coordenados. Demostración. Forma segmentaria. Trazas de un plano. Posición relativa de dos planos en el espacio. Su estudio mediante sistemas de ecuaciones lineales utilizando los ejercicios de la Guía de Trabajos Prácticos. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad. Deducción utilizando ejemplos de la Guía de Trabajos Prácticos. Geometría métrica: ángulo; distancias (de punto a plano y entre planos paralelos). Demostraciones. Aplicaciones. 3. Recta en R 3 Deducción de las ecuaciones de la recta: vectorial, cartesiana paramétrica y simétricas de la recta aplicando vectores. Recta como intersección de dos planos: demostración a partir de las ecuaciones simétricas. Cálculo y representaciones gráficas (resolviendo el sistema de ecuaciones planteado y también por consideraciones geométricas, obteniendo el vector director como

6 producto vectorial de los normales de cada plano y calculando un punto). Análisis de casos especiales: recta con uno y dos componentes de su vector director nulas (mostrar situaciones gráficas). Planos proyectantes. Deducción a través de un ejemplo de cómo se obtienen desde las ecuaciones simétricas de la recta. Posición relativa entre dos rectas en el espacio. Estudio mediante la utilización de sistemas de ecuaciones lineales y de aplicaciones geométricas y vectoriales. Aplicaciones de los diferentes casos utilizando ejercicios de la Guía de Trabajos Prácticos. Posición relativa entre una recta y un plano. Estudio mediante la utilización de sistemas de ecuaciones lineales y de aplicaciones geométricas y vectoriales. Aplicaciones de los diferentes casos utilizando ejercicios de la Guía de Trabajos Prácticos. Relación entre el vector director de la recta y el normal del plano para cada caso. Proyecciones de un punto sobre un plano, de un punto sobre una recta, de una recta sobre un plano. Geometría métrica. Ángulo entre rectas y entre recta y plano. Deducción de las fórmulas. Distancias: entre rectas alabeadas (demostración), de punto a recta (demostración), entre rectas paralelas (aplicación de la expresión de cálculo a partir del concepto anterior de distancia de punto a recta), entre recta y plano paralelos (utilizar ejemplos de la Guía de Trabajos Prácticos). Aplicaciones. Duración: 5 clases

7 Unidad IV: Álgebra Matricial Adquiera la noción de matriz como una colección ordenada de datos y reconozca a las matrices como un operador básico en el Álgebra Superior. Aprenda a trabajar con matrices y adquiera habilidad en su manejo como herramienta de cálculo. Definición. Clasificación. Propiedades. Operaciones: adición de matrices y producto de una matriz por un escalar. El conjunto de las matrices de orden R n x m como espacio vectorial (breve comentario). Análisis comparativo con los vectores. Partición de matrices en vectores fila y columna. Introducción a las matrices como conjuntos ordenados de vectores. Notación sintética como conjunto de vectores fila o columna. Producto de matrices. Definición. Multiplicación de matrices por bloques de vectores. Propiedades. Matriz Identidad como neutro para el producto. Matriz traspuesta. Enunciado de las propiedades de la trasposición. Breve mención a los procedimientos de demostración de estas propiedades. Definición de matrices particulares (ejemplificar con matrices en R 3 x 3 ): Matriz diagonal. (Verificación utilizando un ejemplo numérico de la propiedad que expresa que el producto de matrices diagonales es conmutativo), Matriz escalar (incluir la Matriz Identidad), Matriz triangular inferior y superior. Matrices simétricas y antisimétricas. Propiedades (enunciado y deducción de la descomposición de una matriz cuadrada en la suma de una simétrica y una antisimétrica, En los demás casos, análisis utilizando ejemplos numéricos) Matriz inversa. Propiedades. Concepto de matrices regulares y singulares. Aplicando la ejercitación de la Guía de Trabajos Prácticos, deducir que ocurre con la inversa del producto de dos matrices cuadradas. Matriz ortogonal. Propiedades. Demostración mediante un ejemplo o con una matriz de 2x2: la matriz asociada a una rotación es ortogonal. Matriz idempotente. Matriz involutiva Matrices complejas. Matriz hermítica. Eliminado: de Concepto de rango de una matriz. Comprobación con un ejemplo sencillo de la igualdad entre el rango fila y el rango columna y su extensión como rango de una matriz. Aplicación de los conceptos de independencia lineal en el cálculo del rango. Operaciones elementales sobre una matriz. Enunciado y verificaciones con ejemplos de cada una de ellas. Método de Gauss Jordan. Explicación y deducción a partir de la aplicación sistemática de las operaciones elementales.

8 Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss Jordan. Deducción de la aplicación de dicho método a partir de la resolución del sistema de ecuaciones lineales resultante (Utilizar un sistema de 2x2) Optativo: descripción y utilización de matrices utilizadas en aplicaciones en las ciencias (matriz de Leontieff, matriz de probabilidad, empleo de las matrices en las cadenas de Markov, etc.) Duración: 1,5 clases

9 Unidad V: Determinantes Reconozca a los determinantes como una aplicación de las matrices cuadradas en los números reales. Conozca sus propiedades y las aplique en el cálculo. Vincule las aplicaciones de los determinantes utilizadas en la Unidad Temática: Álgebra vectorial de manera elemental (producto vectorial, producto mixto) Eliminado: u Eliminado: t Eliminado: á Breve introducción a la historia de los determinantes. Definición de determinante como aplicación de las matrices cuadradas en los números reales. Obtención del determinante a partir del concepto de permutación (ejemplificar con la obtención del determinante de matrices de R 2x2 y de R 3x3, luego extender a R nxn ). Definición de menor complementario y adjunto o cofactor de un elemento de una matriz. Matriz adjunta o cofactor. Ejemplos Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea. Deducción del método de Laplace a partir de la expresión del determinante de una matriz de R 3x3 calculada mediante la definición convencional. Utilidad del método de Laplace para reducir el orden de los determinantes. Propiedades de los determinantes. Enunciado. Deducción a través de aplicaciones prácticas utilizando matrices de R 3x3. Ejemplos. Aplicación de las propiedades para el cálculo de un determinante. Procedimiento de cálculo aplicando las propiedades. Aplicación de Gauss y de Laplace para el cálculo de los determinantes (Regla de Chío) Enunciado y deducción de las propiedades vinculadas con las matrices y con las operaciones con matrices (determinante de un producto de matrices, determinante de la inversa de una matriz, determinante de una matriz ortogonal, de una matriz diagonal, de una matriz triangular, de una idempotente, de una involutiva, etc.) Cálculo de la inversa de una matriz usando determinantes (enunciado) Relación del valor del determinante con el concepto de regularidad o singularidad de una matriz. Relación del valor del determinante con el concepto de regularidad o singularidad de una matriz y con su rango. Aplicaciones. Duración: 1,5 clases

10 Unidad VI: Sistemas de ecuaciones lineales Resuelva eligiendo el método analítico adecuado sistemas de ecuaciones lineales. Utilice sistemas de ecuaciones lineales para modelar la solución de problemas asociados a la física, geometría e ingeniería. Aplique en su resolución los conocimientos adquiridos en el estudio de vectores, matrices y determinantes. Interprete geométricamente sistemas asociados a problemas derivados de los temas de Geometría Analítica tratados en la Unidad Temática n 2: Rectas en R 2 y planos y rectas en R 3. Relacione, en lo que corresponda, el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales con los conceptos de espacios vectoriales que se han tratado en las unidades temáticas previas. Definición de un sistema de ecuaciones lineales. Clasificación (por la cantidad de incógnitas y ecuaciones, por el valor de los términos independientes) Forma matricial. Sistemas equivalentes: propiedades. Deducción a partir del concepto de sistemas equivalente del cálculo de un sistema de ecuaciones por el método de Gauss. Concepto de solución. Concepto y determinación del conjunto solución. Clasificación de un sistema según su conjunto solución. Análisis de la compatibilidad de un sistema. Teorema de Roché Frobenius: enunciado, demostración y aplicaciones. Distintas formas de resolución: enunciado de los métodos de triangulación de Gauss, procedimiento de Gauss Jordan, método de Cramer, método de la matriz inversa. Campos de aplicación de cada uno de ellos. Interpretación geométrica de sistemas. Aplicaciones a problemas de ingeniería. Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos: descripción. Propiedades. Análisis de su compatibilidad aplicando el Teorema de Roché Frobenius y el de Cramer. Análisis de sistemas de ecuaciones lineales paramétricos homogéneos y no homogéneos. Optativo: Breves nociones de programación lineal. Aplicaciones. Duración: 1,5 clases

11 Unidad VII: Espacios Vectoriales Conozca y domine la estructura de espacio vectorial. Compruebe que a través de la misma existen elementos comunes entre diferentes conjuntos algebraicos. Relacione los temas vistos de Geometría Analítica con el concepto de subespacios. Relacione conceptos físicos o geométricos conocidos con sus equivalentes algebraicos abstractos (por ejemplo, la definición de sistemas de referencia con las bases de un espacio vectorial) Definición de espacio vectorial real. Axiomas. Espacio vectorial de: vectores, matrices, polinomios, números complejos, funciones continuas. Definición de subespacio vectorial. Condición necesaria y suficiente para la existencia de un subespacio. Aplicaciones. Subespacios triviales. Sistema de generadores de un espacio vectorial. Explicación del concepto. Ejemplos. Vincularlos al concepto físico de sistemas de referencia o de coordenadas. Concepto de Base y de Dimensión de un Espacio Vectorial. Aplicaciones. Relaciones con la dependencia e independencia lineal. Bases ortonormales. Subespacio generado. Deducción. Aplicaciones. Operaciones con subespacios (intersección, suma, suma directa) Complemento ortogonal de un subespacio. Enunciado de los teoremas de la dimensión en la suma y en el complemento ortogonal de un subespacio. Aplicaciones a la geometría. Aplicaciones con polinomios, vectores y matrices. Duración: 3,5 clases

12 Unidad VIII: Transformaciones lineales Identifique las transformaciones lineales como aplicaciones de los espacios vectoriales y las asocie con el álgebra de matrices y con los conocimientos previamente aprendidos. Reconozca su utilización en aplicaciones relacionadas con la física y la geometría y adquiera habilidad en el planteo y la resolución de problemas vinculados con estos temas. Concepto de transformación lineal. Operadores lineales. Propiedades generales: enunciado y demostración. Matriz asociada a una transformación lineal. Deducción que la transformación matricial es una transformación lineal y con un ejemplo calcular la matriz asociada a una transformación lineal en las bases canónicas. Aplicaciones. Teorema fundamental de las transformaciones lineales. Demostración. Su aplicación a los problemas de la ingeniería. Núcleo e imagen de una transformación lineal. Concepto. Deducción de los mismos como subespacios. Teorema de la dimensión del núcleo y la imagen. Clasificación de las transformaciones lineales: monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo, endomorfismo y automorfismo. Mención de los espacios vectoriales isomorfos. Propiedades. Mención de las condiciones para que una transformación lineal sea un monomorfismo, epimorfismo e isomorfismo. Aplicaciones. Inversa de una transformación lineal. Geometría de las transformaciones lineales en R 2 : identidad, reflexión o simetría, dilatación y contracción, cizallamiento, rotación (vincular la rotación con el concepto de matriz ortogonal). Deducción de la matriz asociada en todos los casos. Aplicaciones. Composición de transformaciones geométricas como caso de aplicación de la composición de transformaciones lineales. Obtención de la matriz asociada para un conjunto de transformaciones geométricas. Deducir la traslación como transformación afín. Cambio de base. Coordenadas. Matriz de cambio de base: deducción. Aplicaciones. Matrices asociadas a una transformación lineal en bases distintas. Relación con las matrices de cambio de base. Concepto de matrices semejantes. Enunciado de las relaciones existentes entre matrices semejantes. Introducción al concepto de diagonalización. Duración: 4,5 clases

13 Unidad IX: Autovalores y Autovectores Diagonalización Expresar las coordenadas de un punto y elementos geométricos en distintos sistemas de referencia. Identifique en el proceso de cambio de sistemas de referencias los distintos conocimientos adquiridos y los aplique. Comprenda la conveniencia del proceso de diagonalización de matrices en la solución de problemas concretos. Autovalores y Autovectores. Concepto. Aplicación en las transformaciones lineales. Interpretación geométrica. Deducción del cálculo de los autovalores y de los autovectores. Definición de polinomio característico de una matriz. Mención al Teorema de Cayley - Hamilton. Ejemplos. Diagonalización de matrices. Definición. Diagonalización ortogonal de matrices simétricas. Enunciado de las propiedades que vinculan la diagonalización con los valores y vectores propios. Breve introducción a la aplicación de los autovalores y autovectores en algunos problemas de ingeniería. Duración: 2 clases

14 Unidad X: Cónicas y Superficies Describa analíticamente los conjuntos de puntos del plano y del espacio que se denominan cónicas y superficies, respectivamente. Reconozca y realice representaciones gráficas de cónicas y superficies. Aplique en su estudio y resolución conocimientos y técnicas adquiridas previamente. Resuelva situaciones problemáticas referidas a la física e ingeniería que involucran estudio de cónicas o superficies. Aplique los conceptos relativos a la diagonalización de matrices para efectuar la rotación de una cónica. 1. Cónicas Introducción geométrica: definición de la superficie cónica indefinida a partir de la rotación de una recta. Obtención de las cónicas (verdaderas y reducibles) como intersección de aquélla con distintos planos. Representaciones gráficas de cada caso. Clasificación de las cónicas: verdaderas y reducibles. Ecuación general de segundo grado con dos variables. Expresión matricial de una cónica (aquella que identifica la forma cuadrática y la lineal, que luego se va a diagonalizar) Análisis y aplicación. Definición de cónica como lugar geométrico. Definición del concepto de excentricidad. Estudio detallado de las cónicas: circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. Ecuación canónica. Deducción (demostrar al menos para la circunferencia y para la parábola). Propiedades. Elementos. Traslación de ejes: aplicación a las curvas estudiadas con centro o vértice en un punto de coordenadas (h, k) pero que mantienen sus ejes de simetría paralelos a los coordenados. Deducción. Utilización del concepto de traslación y del procedimiento de completar cuadrados. Breve introducción al estudio de las ecuaciones paramétricas. Mención de las expresiones paramétricas para las distintas cónicas. Aplicación de los autovalores y autovectores para la rotación de una cónica. Diagonalización de la forma cuadrática. Ejemplos para cónicas verdaderas y cónicas reducibles.

15 Tema opcional de acuerdo al tiempo disponible: problemas de la Guía de Trabajos Prácticos sobre intersección entre rectas y cónicas, rectas tangentes a una cónica e intersecciones entre cónicas. 2. Superficies Definición. Clasificación: verdaderas y reducibles. Ecuación general de segundo grado con tres variables. Expresión matricial. Definición de superficies regladas. Tipos. Definición de superficies de revolución. Fórmula para la obtención de una superficie de revolución (sin demostración) Cuádricas. Ecuación canónica y general de las cuádricas. Representación gráfica. Estudio comparativo de las cuádricas con centro y sin centro de acuerdo a los valores que tomen los coeficientes y el término independiente. Representación gráfica. Análisis de las superficies: intersección con los ejes coordenados, con los planos coordenados, con planos paralelos a los coordenados, simetría. Aplicaciones. Duración: 5 clases