Geometría afín y proyectiva, 2016 SEMANA 4

Transcripción

1 Geometría afín y proyectiva, 2016 SEMANA 4 Sonia L. Rueda ETS Arquitectura. UPM September 30, 2016

2 Geometría afín y proyectiva 1. Álgebra Lineal 2. Geometría afín y eucĺıdea 3. Cónicas y cuádricas

3 Álgebra Lineal 1.1 Matrices. Sistemas de ecuaciones lineales. 1.2 Espacios y subespacios vectoriales. Bases y dimensión. 1.3 Ecuaciones de subespacios vectoriales. Operaciones con subespacios vectoriales. 1.4 Aplicaciones lineales. 1.5 Diagonalización.

4 Contenidos Valores propios y vectores propios de un endomorfismo de una matriz cuadrada Polinomio característico Raices de un polinomio y su multiplicidad Multiplicidad de un valor propio Diagonalización de endomorfismos y matrices cuadradas

5 La matriz cuadrada A = y la matriz diagonal D = son equivalentes, verifican D = P 1 AP where P =

6 Sea V un espacio vectorial real. Si f : V V es un endomorfismo, cuya matriz D en una base de V es diagonal, muchos problemas relacionados con f se simplifican. Por ejemplo: clasificar f (inyectiva, sobreyectiva o biyectiva); obtener sus invariantes; calcular f n, n N. Dada una matriz cuadrada A (asociada a un endomorfismo) estudiamos a continuación cómo obtener una matriz diagonal D equivalente a A D = P 1 AP where P =

7 Valores propios y vectores propios de un endomorfismo de una matriz cuadrada Polinomio característico Raices de un polinomio y su multiplicidad Multiplicidad de un valor propio Diagonalización de endomorfismos y matrices cuadradas

8 Sea V un espacio vectorial real no nulo y f : V V un endomofismo. Definición Un escalar λ R es un valor propio (o autovalor) de f si existe un vector no nulo v V tal que f (v) = λv. Definición Si λ es un valor propio de f, un vector v V que satisface f (v) = λv se llama vector propio (o autovector) de f asociado a λ. Ejemplo Sea f : R 3 R 3 el endomorfismo definido por f (x, y, z) = (x + 3y + 3z, 3x 5y 3z, 3x + 3y + z). Tenemos que λ = 2 es un valor propio de f ya que existe un vector no nulo v = ( 1, 1, 0) tal que f (v) = 2v. Así v es un vector propio de f asociado a λ = 2.

9 Proposición El conjunto de todos los vectores propios de f asociados al valor propio λ de f V λ = {v V f (v) = λv} es un subespacio vectorial de V llamado subespacio propio de f asociado a λ. Observaciones Sea id : V V la aplicación identidad en V. 1. V λ = Ker(f λid). 2. Si λ R es valor propio de f entonces el endomofismo f λid no es inyectivo. 3. En particular, λ = 0 es un valor propio de f f no es inyectivo Ker(f ) = V 0 {0 V }. 4. Hay endomorfismos que no tienen valores propios, y por tanto tampoco tienen vectores propios.

10 Proposición Sean λ 1,..., λ p valores propios distintos de f. 1. Sea v i un vector propio no nulo de f asociado a λ i, i = 1,..., p entonces v 1,..., v p son linealmente independientes. 2. V λ1 + + V λp es suma directa. Observación Si dimv = n entonces f tiene a lo sumo n valores propios diferentes, en caso contrario tendría más de n vectores propios linealmente independientes.

11 Sea A una matriz cuadrada n n cuyas entradas son números reales, esto es A M n n (R). Definición Un escalar λ R es un vector propio de A si existe un vector columna no nulo X M n 1 (R) tal que AX = λx. Definición Si λ es valor propio de A, un vector columna X M n 1 (R) que verifica AX = λx se llama vector propio de A asociado a λ. Sea I n la matriz identidad de tamaño n n.

12 Observaciones Supongamos que dimv = n y sea B una base de V. Sea f : V V un endomorfismo cuya matriz asociada en la base B es A. Se verifica que: 1. λ es valor propio de f λ es valor propio de A det(a λi n ) = Sea v V y X el vector columna de las coordenadas de v en la base B, esto es X M n 1 (K). Tenemos que, v es un vector propio de f X es un vector propio de A (A λi n )X = dimv λ = n rango(a λi n ).

13 Ejemplo Sea f : R 3 R 3 el endomorfismo definido por f (x, y, z) = (3x, x + 2y, 4x + 2z). Sea B 3 la base canónica de R 3. La matriz de f en la base B 3 es A = M f (B) = Dado que (A 3I 3 ) = 2 el sistema (A 3I 3 )X = 0, es decir x y = z 0 tiene una solución no nula. Por tanto, λ = 3 es valor propio de f y A. El subespacio propio V 3 tiene dimv 3 = 1 y ecuaciones cartesianas Cartesian equations of V 3 { x + y = 0 4x z = 0.

14 Así V 3 = {(a, a, 4a) a R}. Por otra parte, (A 2I 3 ) = 1, entonces λ = 2 es valor propio de f y A, dimv 2 = 2. Resolviendo (A 2I 3 )X = 0, es decir x y z = tenemos que V 2 = {(0, a, b) a, b R} y que la ecuación cartesiana de V 2 es x =

15 Valores propios y vectores propios de un endomorfismo de una matriz cuadrada Polinomio característico Raices de un polinomio y su multiplicidad Multiplicidad de un valor propio Diagonalización de endomorfismos y matrices cuadradas

16 Sea R[x] el conjunto de los polinomios en x con coeficientes resales. Definición Sea p(x) un polinomio en R[x]. Un escalar λ R es una raiz de p(x) si p(λ) = 0. Equivalentemente, λ es raiz de p(x) sí y sólo si (x λ) divide a p(x), es decir, existe un polinomio q(x) R[x] tal que p(x) = (x λ)q(x). Definición Sea λ una raiz del polinomio p(x). Llamamos multiplicidad de λ al mayor número natural m tal que (x λ) m divide a p(x), p(x) = (x λ) m q(x), q(x) R[x].

17 Todo polinomio de R[x] de grado mayor o igual que uno tiene todas sus raices en C. Por otra parte, existen polinomios en R[x] que no tienen raices en R. Por ejemplo, x tiene coeficientes reales pero sólo raices complejas. Proposición Sea p(x) R[x] un polinomio de grado n cuyas raices reales son λ 1,..., λ p con multiplicidades m 1,..., m p respectivamente. Entonces: 1. Existe q(x) R[x] tal que p(x) = (x λ 1 ) m1 (x λ p ) mp q(x) por tanto m m p n. 2. Si p(x) C[x] todas sus raices pertenecen a C por tanto p(x) = (x λ 1 ) m1 (x λ p ) mp con m m p = n.

18 Definición Sea A M n n (R). El polinomio característico de A es det(a λi n ) y su ecuación característica es det(a λi n ) = 0. Proposición Sean A y A matrices en M n n (R). Si A y A son matrices del mismo endomorfismo en bases diferentes (equivalentes) entonces tienen el mismo polinomio característico. Sea V un espacio vectorial real no nulo y sea f : V V un endomorfirmo. Observación 1. Todas las matrices asociadas a f en distintas bases de V tienen el mismo polinomio característico. 2. El recíproco de la proposición anterioir no es cierto.

19 Definición El polinomio característico de f es el polinomio característico the cualquier matriz asociada a f en las distintas bases de V. Analogamente su ecuación característica. Ejemplo Calculemos el polinomio característico del endomorfismo f de R 5 definido por f (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = ( x 2, x 1 + x 3, 2x 3 x 4, 2x 4 + 6x 5, 3x 5 ). Sea B 5 la base canónica de R 5 y A = M f (B 5 ), entonces:

20 det(a λi 5 ) = 0 λ λ λ λ λ =(3 λ)(2 λ) 2 0 λ λ =(3 λ)(2 λ) 2 (λ 2 + 1). =

21 Sea V un espacio vectorial real no nulo y f : V V un endomorfismo. Sea A M n n (R). Definición Sea λ un vector propio de f (o A). Llamamos multiplicidad de λ a la multiplicidad como raiz de la ecuación característica de f (o A). Teorema Sea λ un valor propio de f (o A) de multiplicidad m. Entonces 1 dimv λ m.

22 Observaciones 1. Sea λ un valor propio de f (o A) con multiplicidad m. Si m = 1 entonces dimv λ = 1 2. Si A, A M n n (R) son matrices equivalentes entonces tienen los mismos valores propios, con las mismas multiplicidades y dimensiones de subespacios propios iguales.

23 Proposición Supongamos que dimv = n. Sean λ 1,... λ p los valores propios distintos de f (o A), m 1,..., m p sus multiplicidades y d 1,..., d p las dimensiones de los subespacios propios correspondientes. Entonces, el número máximo de vectores propios linealmente independientes de f (o A) es d d p. Además, p d d p m m p n. Observación El polinomio característico podría no tener todas sus raices reales y en ese caso m m p < n. De hecho podría no tener raices reales y por tanto no tendría valores propios.

24 Ejemplo Calculemos los valores propios de A junto con sus multiplicidades y la dimensión de los subespacios propios, A = El polinomio característico es det(a λi 3 ) = λ 3 + 4λ 2 + 5λ + 2 = (λ + 2)(λ + 1) 2. Obtenemos λ 1 = 2 con multiplicidad m 1 = 1 y λ 2 = 1 con multiplicidad m 2 = 2. Las dimensiones son d 1 = dimv λ1 = 3 (A λ 1 I 3 ) = 1, d 2 = dimv λ2 = 3 (A λ 2 I 3 ) = 2.

25 Valores propios y vectores propios de un endomorfismo de una matriz cuadrada Polinomio característico Raices de un polinomio y su multiplicidad Multiplicidad de un valor propio Diagonalización de endomorfismos y matrices cuadradas

26 Sea V un espacio vectorial real no nulo y sea f : V V un endomorfismo. Sea A M n n (R). Definición El endomorfismo f es diagonalizable si existe una base B de V tal que la matriz M f (B ) es diagonal. Entonces, diagonalizar f es encontrar B. Definición La matriz A es diagonalizable si existe una matriz diagonal D y una matriz inversible P M n n (R) tal que D = P 1 AP. Así, diagonalizar A significa obtener D y P.

27 Observaciones 1. Supongamos que A es la matriz de f en la base B. Entonces: f es diagonalizable A es diagonalizable. 2. Si D = P 1 AP es una diagonalización de A entonces 2.1 D = M f (B ) es la matriz de f en la base B de V formada por vectores propios. 2.2 P = M(B, B) es la matriz de cambio de coordenadas de B a B. Proposición Un endomorfismo f es diagonalizable sí y sólo si existe una base de V formada por vectores propios de f.

28 Teorema Supongamos que dimv = n. Sean λ 1,..., λ p los valores propios distintos de f (o A), m 1,..., m p sus multiplicidades y d 1,..., d p las dimensiones de los subespacios propios. Las sigueintes son condiciones necesarias y suficientes para que exista una base de V formada por vectores propios. 1. El polinomio característico de f tiene sólo raices reales λ 1,..., λ p, es decir m m p = n. 2. La multiplicidad de cada valor propio coincide con la dimensión de su subespacio propio, m i = d i, i = 1,..., p.

29 Corolario Supongamos que f es diagonalizable. Sean λ 1,..., λ p los valores propios de f con multiplicidades m 1,..., m p respectivamente. Sea B i una base del subespacio propio V λi con m i = d i elementos, i = 1,..., p. Entonces: 1. B = B 1 B p es una base de V compuesta por vectores propios de f. 2. La matriz de f en la base B es diagonal y su diagonal principal contiene a los elementos λ 1,. m. 1., λ 1, λ 2,. m. 2., λ 2,..., λ p,. mp.., λ p

30 Ejemplos Sea f : R 3 R 3 el endomorfismo definido por f (x, y, z) = (x + 2y + 10z, 2x + y + 10z, x y 6z) cuya matriz en la base canónica B 3 de R 3 es la matriz A con valores propios λ 1 = 2 y λ 2 = 1. Una base de V λ1 es y de V λ2 es B λ1 = {( 2, 2, 1)} B λ2 = {( 5, 0, 1), ( 1, 1, 0)}. Entonces la base de R 3 formada por vectores propios de f es B = B λ1 B λ2 = {( 2, 2, 1), ( 5, 0, 1), ( 1, 1, 0)}.

31 Concluimos que, D = P 1 AP = M f (B ) = where P =